Numero transfinito

Nella teoria degli insiemi , numero transfinito è il termine originale introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor per riferirsi agli ordinali infiniti , che sono maggiori di qualsiasi numero naturale .

Nella terminologia moderna, quando ci si riferisce a ordinali o cardinali , "transfinito" e " infinito " sono sinonimi . ^{[ 1} ]

Primi numeri transfiniti

Come per i numeri naturali , i numeri transfiniti possono essere considerati cardinali o ordinali :

ω (omega): è il più piccolo ordinale transfinito . I suoi elementi sono i numeri naturali , come sono costruiti nella teoria degli insiemi , e rappresenta il tipo di ordine di questi.
ℵ ₀ , alef-0 : è il primo numero alef e il primo cardinale transfinito (assumendo l' assioma di scelta ). È congiuntisticamente identico a ω, ma vengono utilizzate notazioni diverse per evidenziare l'aspetto ordinale o cardinale degli insiemi numerabili .
ℵ ₁ , alef-1 : è il secondo numero alef e il cardinale successivo a ℵ ₀ (assumendo l'assioma di scelta).
c = 2 ^{ℵ ₀} : è il cardinale del continuo , il numero cardinale dei punti di una retta o dei numeri reali .

Assumendo l' assioma della scelta , tutto ciò che può essere dimostrato con gli assiomi di Zermelo-Fraenkel è:

\aleph{0}<\aleph{1}\leq c

L' ipotesi del continuo afferma che infatti c = ℵ ₁ . Tuttavia, il lavoro di Kurt Gödel e Paul Cohen mostra che l'ipotesi è indipendente da questi assiomi: non può essere confutata o provata da essi. Cioè, utilizzando gli assiomi di Zermelo-Fraenkel (ZF), si può verificare che i tre cardinali precedenti soddisfano . L' ipotesi del continuo afferma che infatti . Gödel ha dimostrato nel 1938 che questa ipotesi è coerente con gli assiomi ZF, e quindi può essere presa come un nuovo assioma per la teoria degli insiemi. Tuttavia, nel 1963 Paul Cohen ha dimostrato che la negazione dell'ipotesi del continuo è coerente anche con gli assiomi ZF, il che dimostra che questa ipotesi è totalmente indipendente dagli assiomi ZF. Cioè, possono essere costruite sia "teorie degli insiemi cantoriane" (in cui l'ipotesi del continuo è vera) sia "teorie degli insiemi non cantoriane" (in cui l'ipotesi del continuo è falsa). Questa situazione è simile a quella delle geometrie non euclidee . $\aleph{0}<\aleph{1}\leq c$ $c=\aleph{1}$

Aritmetica dei cardinali transfiniti

Per i numeri transfiniti l' addizione , la moltiplicazione e il potenziamento possono essere estesi senza ambiguità . Siano ad esempio due insiemi disgiunti e , l'addizione e la moltiplicazione possono essere costruite dal cardinale dell'unione e dal prodotto cartesiano di questi due insiemi: $a={\mbox{carta}}(A)\;$ $b={\mbox{carta}}(B)\;$

$a+b:={\mbox{carta}}(A\cup B)\qquad a\times b:={\mbox{card}}(A\times B)$

È facile verificare che queste operazioni siano ben definite poiché:

$\forall {\bar {A}},{\bar {B}}:{\begin{cases}a={\mbox{card}}({\bar {A}})\\b={ \mbox{card}}({\bar {B}})\\{\bar {A}}\cap {\bar {B}}=\varnothing \end{cases}}\to {\begin{cases} {\mbox{card}}({\bar {A}}\cup {\bar {B}})=a+b\\{\mbox{card}}({\bar {A}}\times {\ barra {B}})=a\cdot b\end{casi}}$

Sebbene addizione e moltiplicazione non presentino problemi, sottrazione e divisione non sono definite. A differenza di quanto accade con i cardinali finiti, le operazioni equivalenti alla sottrazione o alla divisione non possono essere definite in modo univoco. La sottrazione e la divisione possono essere introdotte tra i cardinali finiti grazie al fatto che dall'insieme dei cardinali finiti, che coincidono con i numeri naturali , si può costruire l'insieme degli interi e dei numeri razionali . La costruzione degli interi e dei razionali è possibile perché ogni cardinale finito è regolare rispetto alla somma, cioè per ogni cardinale finito a, b e c > 0 vale: $\mathbb{N}$

${\begin{casi}a+c=b+c&\Rightarrow a=b\\a\cdot c=b\cdot c&\Rightarrow a=b\end{casi}}$

Queste ultime due proprietà infatti non sono mai soddisfatte quando uno dei cardinali è transfinito, se si verificano le seguenti uguaglianze: $\max(a,b)>\aleph{0}$

${\ displaystyle a + b = \ max (a, b) \ qquad a \ cdot b: = \ max (a, b)}$

I cardinali transfiniti dotati di addizione o moltiplicazione costituiscono un monoide commutativo . A causa della mancanza di regolarità dei cardinali transfiniti, il teorema di simmetrizzazione di un monoide, che permetterebbe di definire sottrazione e divisione, non è applicabile.

Il potenziamento richiede la creazione di un insieme più complicato, ma è altrettanto ben definito. Se A e B sono due insiemi qualsiasi e e possiamo definire l'esponenziale come il cardinale dell'insieme di funzioni da B ad A : $a={\mbox{carta}}(A)\;$ $b={\mbox{carta}}(B)\;$ $a^{b}\;$

$a^{b}={\mbox{card}}(A^{B})\qquad A^{B}:=\{f|f:B\to A\}$

Un caso particolare interessante si ha quando a = 2, in questo caso possiamo ad esempio A = {0,1}, e l'insieme A ^B può essere naturalmente identificato con l' insieme delle parti di B o insieme di potenze.

$2^{b}={\mbox{carta}}(\{0.1\}^{B})={\mbox{carta}}({\mathcal {P}}(B))$

Il potenziamento ha anche curiose proprietà di saturazione, quindi per i cardinali di tipo alef abbiamo:

$\aleph\alpha}^{\aleph\beta}}={\begin{casi}\aleph\alpha}&\aleph\beta }<\aleph\alpha} \\\aleph ? +1}&\aleph ? }\geq \aleph ? }\end{casi}}$

Storia e sviluppo

Georg Cantor si rese conto che era possibile parlare del numero di elementi in un insieme infinito proprio come si parla del numero di elementi in un insieme finito . Cioè, ha scoperto che era possibile "misurare" la dimensione di un insieme infinito, e in effetti confrontare la dimensione di due insiemi infiniti per scoprire che uno era "maggiore" dell'altro, e ha teorizzato in una certa misura rigoroso su questi idee: la teoria dei numeri transfiniti. ^{[ citazione necessaria ]}

Cantor ha sostenuto che il disprezzo dei matematici per l'infinito e la sua natura era dovuto a un abuso di questo concetto. Ciò che Cantor intendeva dire era che il termine infinito si applicava indistintamente a tutti gli insiemi non finiti, poiché, tra questi, era possibile prenderne alcuni che sono, in qualche modo, misurabili e di dimensioni comparabili. Le riflessioni di Cantor e il successivo studio di tutto questo iniziarono quando, intuendo qualche risultato non banale, si chiese se fosse possibile mettere l'insieme dei numeri naturali in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri reali . Ben presto Cantor poté dimostrare che tale corrispondenza non esisteva, rivelando così una differenza tra l'infinità di due insiemi infiniti, che fu, tutto sommato, un risultato molto interessante. Cantor dimostrò anche che, contrariamente a quanto si potrebbe pensare, l'insieme dei numeri razionali , che ha la proprietà della densità, corrisponde uno a uno con l'insieme dei numeri naturali. ^{[ citazione necessaria ]}

È facile fare un esempio di due insiemi che, uno avente tutti gli elementi dell'altro e più, corrispondono uno a uno. Prendi, ad esempio, il caso dei numeri naturali: ^{[ citazione necessaria ]}

${\ displaystyle 1, \ quad 2, \ quad 3, \ quad 4, \ ldots}$

e prendiamo ora solo quei numeri che sono il quadrato di un numero naturale (chiaramente non tutti i numeri naturali soddisfano questa caratteristica, quindi molti di loro vengono scartati):

$1(=1^{2}),\quad 4(=2^{2}),\quad 9(=3^{2}),\quad 16(=4^{2}),\ ldot$

È appena necessario spiegare ulteriormente per rendersi conto che esiste una corrispondenza uno a uno tra e il suo sottoinsieme $\mathbb{N}$

${\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid (\ esiste m \ in \ mathbb {N} ) \ m ^ {2} = n \}}$ .

Inoltre, Cantor ha scoperto che la misurazione di un insieme (finito o infinito) può essere eseguita in due modi: uno di essi considera nient'altro che il numero di elementi in un insieme, mentre l'altro tiene conto dell'ordine degli elementi .elementi di un insieme. Numeri cardinali e numeri ordinali derivano da questa distinzione , che può anche essere transfinita. Per gli insiemi finiti, questi due concetti sono equivalenti. Tuttavia, i due concetti differiscono quando applicati a insiemi infiniti. ^{[ citazione necessaria ]}

Vedi anche

Riferimenti

^ Sebbene alcuni autori, come Suppes, 1960 usino "transfinito" per distinguere tra "infinito" e " Dedekind-infinito ".

Ivorra, Carlos, Logica e teoria degli insiemi , Estratto 22-04-2011 ..
Suppes, Patrick (1960). Teoria degli insiemi assiomatici (in inglese) . D. Van Nostrand Company. LCCN 60010291 .

Collegamenti esterni

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[1] Sebbene alcuni autori, come Suppes, 1960 usino "transfinito" per distinguere tra "infinito" e " Dedekind-infinito ".

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