Dritto

Le linee rossa e blu su questo grafico hanno la stessa pendenza ; le linee rossa e verde hanno la stessa intercetta y (attraversano l' asse y nello stesso punto ).

Rappresentazione di un segmento di linea.

Nella geometria euclidea , la retta o la retta è una retta che si estende nella stessa direzione ; quindi ha una sola dimensione e contiene un numero infinito di punti . Detta linea può anche essere descritta come una successione continua di punti estesi in un'unica direzione.

È una delle entità geometriche fondamentali , insieme al punto e al piano . Sono considerati concetti a priori, poiché la loro definizione è possibile solo dalla descrizione delle caratteristiche di altri elementi simili. Un esempio delle difficoltà di definire la retta da punti è il cosiddetto paradosso di dicotomia di Zeno , che illustrava la scomparsa della retta suddividendola in punti perché allora non esisteva il concetto di assemblare detta retta da punti, poiché l'unione di due punti sono un punto. Le righe sono generalmente denominate con una lettera minuscola .

In geometria analitica, le rette in un piano possono essere espresse da un'equazione del tipo y = mx + b , dove x , y sono variabili in un piano cartesiano . In tale espressione m è chiamata "pendenza della retta" ed è relativa all'inclinazione che la retta assume rispetto ad una coppia di assi che definiscono il piano, mentre b è il cosiddetto "termine indipendente" o "ordinata a l'origine" y è il valore dell'ordinata del punto in cui la retta interseca l'asse verticale nel piano.

Definizioni e postulati di Euclide relativi alla linea

Euclide , nel suo trattato intitolato Gli Elementi , stabilisce diverse definizioni relative alla retta e alla retta:

• Una linea è una lunghezza senza larghezza (Libro I, definizione 2).
• Le estremità di una linea sono punti (Libro I, definizione 3).
• Una retta è quella che giace in egual modo rispetto ai punti che si trovano su di essa (Libro I, definizione 4).

Caratteristiche del rettilineo

• La linea continua indefinitamente in entrambe le direzioni.
• Nella geometria euclidea , la distanza più breve tra due punti è la retta.
• La linea può essere definita come l'insieme di punti situati lungo l'intersezione di due piani.

Semidritto

Raggio di fulmine

Si chiama raggio ciascuna delle due parti in cui una linea è divisa quando è tagliata in uno qualsiasi dei suoi punti. È la parte di una retta formata da tutti i punti che si trovano ad un lato di un punto fisso della retta, detto origine , dal quale si estende indefinitamente in una direzione.

Raggio opposto

Il raggio opposto di un raggio è l'altro raggio della linea che definisce il primo. ]

• Ogni raggio ha un solo raggio opposto.
• Un raggio e il raggio opposto hanno la stessa origine.

Equazione della retta nel piano

In un piano cartesiano , possiamo rappresentare una linea da un'equazione generale definita in quel piano, sia da coordinate che utilizzano punti e vettori, sia da funzioni che specificano tali coordinate.

Pendenza e y-intercetta

Data una retta passante per un punto, , e una pendenza : $P=(x_{0},y_{0})\,$ $m\,$

L'equazione della retta può essere ottenuta dalla formula della pendenza (equazione punto-pendenza):

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\!$

dove è la tangente dell'angolo che la retta forma con l' asse delle ascisse X . $m$

Esempi

a) L'equazione della retta che passa per il punto ed ha pendenza di è: ${\ displaystyle A=(-5,3)}$${\ displaystyle m = 2}$

Sostituendo nell'equazione precedente abbiamo:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$

${\ displaystyle y-3=2(x-(-5))\!}$

$y-3=2(x+5)\!$

$y-3=2x+10\!$

$y-2x-3-10=0\!$

$y-2x-13=0\!$

b) L'equazione della retta che passa per il punto e ha una pendenza di : $A=(2,-4)$$m=-{\frac {1}{3}}$

$x+3y+10=0\!$

Dimostrazione

Sostituendo i dati nell'equazione si ottiene quanto segue: $y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$ ${\ displaystyle y-(-4)=-1/3(x-2)\!}$ ${\ displaystyle 3(y+4)=-1(x-2)\!}$ $3y+12=-x+2\!$ $x+3y+12=2\!$ $x+3y+10=0\!$

Forma semplificata dell'equazione della retta

Equazione di intercettazione della pendenza della retta da due punti del piano.

Se la pendenza m è nota e il punto in cui la retta interseca l'asse delle ordinate è ( 0, b ), possiamo dedurre, partendo dall'equazione generale della retta, : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

${\ displaystyle yb = m (x-0) \!}$ ${\ displaystyle yb = mx \!}$ ${\ displaystyle y = mx + b \!}$

Questa è la seconda forma dell'equazione della retta e viene utilizzata quando sono note la pendenza e l'intercetta y, che chiameremo . $b$

Forma segmentale dell'equazione della linea (equazione simmetrica)

Linea che taglia l'asse delle ordinate in e l'ascissa in . $b$$un$

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\!$.

Dimostrazione

Se il problema è trovare l'equazione di una retta, nota e (l'ascissa e l'ordinata dell'origine), sono noti due punti della retta che sono i seguenti: $un$$b$ ${\ displaystyle (0, b) \!}$Y$(a,0)\!$ Con questi punti puoi trovare una tale equazione, ma prima devi calcolare la pendenza: $m=\left({\frac {0-b}{a-0}}\right)={\frac {-b}{a}}$ Quindi sostituisci nell'equazione , usando due punti qualsiasi, in questo caso (a, 0) : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ $ay=-bx+ab\!$ $bx+ay=ab\!$ e dividendo l'intera equazione per il termine indipendente : $ab$ ${\frac {bx}{ab}}+{\frac {ay}{ab}}={\frac {ab}{ab}}\!$ ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\!$ L'equazione della retta si ottiene nella sua forma simmetrica. Questa equazione viene solitamente utilizzata per ottenere l'equazione di una retta di cui sono note le intersezioni con gli assi e quando, dall'equazione di una retta, si vuole conoscere i punti in cui detta retta interseca gli assi.

Equazione generale della linea

L'equazione generale di una retta è data dall'espressione con y , ​ dove rappresenta la pendenza della retta e indica l'ordinata all'origine, dati sufficienti per rappresentare qualsiasi retta nel piano cartesiano. $Ascia+Di+C=0\!$${\ displaystyle A, B, C \ in \ mathbb {R} \!}$$B\neq 0\!$${\frac {-A}{B}}\!$${\frac {-C}{B}}\!$

Equazione normale della linea (prima forma)

La forma normale della linea ( Equazione di Hesse ):

${\ displaystyle x \ \ cos \ omega +y \ \ sin \ omega -d = 0 \!}$

Essendo d il valore della distanza tra la retta e l'origine delle coordinate, l'angolo omega ω è l'angolo tra la perpendicolare alla retta e la parte positiva dell'asse delle ascisse. ]

Se invece dell'angolo della normale ω si usa l'angolo della retta α , tra la retta e l'asse delle ascisse:

${\ displaystyle x \ \ sin \ alpha -y \ \ cos \ alpha + d = 0 \!}$

Essendo d il valore della distanza tra la retta e l'origine delle coordinate, l'angolo alfa α è l'angolo tra la retta e la parte positiva dell'asse delle ascisse, la cui tangente esprime il valore della pendenza della retta.

Dimostrazione

Per ottenere detta equazione da un'equazione della forma , è necessario calcolare innanzitutto: $Ascia+Di+C=0\!$ $\lambda ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$ dividendo i parametri dell'equazione per otteniamo quello e . Finalmente senza eccezioni. ] $\lambda$$cos\omega ={\frac {A}{\lambda}}$$sin\omega ={\frac {B}{\lambda}}$$-d={\frac {C}{\lambda}}$

Equazione normale della linea (seconda forma)

${\frac {Ax+By+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}=0$

Prendendo il valore positivo o negativo della radice, a seconda dei casi.

Fascio di linee che passano per un punto

Rette passanti per il punto: (2,4).

Per determinare la trave delle rette del piano passante per il punto si usa l'equazione $P=(x_{0},y_{0})\,$

$y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$, dove il parametro m assume qualsiasi valore reale. Questa famiglia di linee ha la caratteristica comune di passare per lo stesso punto , con una diversa pendenza. ]$P$

Dimostrazione

L'equazione della retta deve essere: ${\ displaystyle y = mx + b \,}$ E deve passare attraverso il punto , quindi dovrà essere soddisfatto: $(x_{0},y_{0})\,$ $y_{0}=mx_{0}+b\,$ Risolvendo per b , abbiamo questa equazione: $b=y_{0}-mx_{0}\,$ Sostituendo b nell'equazione generale della retta: $y=mx+(y_{0}-mx_{0})\,$ Termini di ordinazione: $y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$ Questa equazione definisce un fascio di rette nel piano che passa per il punto , il valore di m è la pendenza di ciascuna delle rette che fanno parte del fascio ad eccezione della retta verticale passante per detto punto. $(x_{0},y_{0})$

Linea passante per due punti

Se passa per due punti e , dove , l'equazione della retta può essere espressa come: $(x_{1},y_{1})$$(x_{2},y_{2})$$x_{1}\neq x_{2}$

$y={\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;(x-x_{1})+y_{1}$

Dimostrazione

Devono rispettare la formula generale , risultando in un sistema di due equazioni con due incognite m e b : ${\ displaystyle y = mx + b \,}$ $y_{1}=mx_{1}+b\,$ $y_{2}=mx_{2}+b\,$ eliminiamo l'incognita b , risolvendo nella prima equazione e sostituendo nella seconda: $b=y_{1}-mx_{1}\,$ $y_{2}=mx_{2}+(y_{1}-mx_{1})\,$ termini di raggruppamento: $y_{2}-y_{1}=m(x_{2}-x_{1})\,$ schiarimento m : $m={\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$ questo valore, m , è quello della pendenza della retta che passa per i due punti: e . Azzerando ora il valore di b da una delle equazioni del sistema, ad esempio dalla prima, abbiamo: $(x_{1},y_{1})$$(x_{2},y_{2})$ $b=y_{1}-mx_{1}\,$ e sostituendo m , al suo valore già calcolato; $b=y_{1}-{\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;x_{1}\,$ Abbiamo le due incognite m e b azzerate, a seconda delle coordinate dei due punti per cui devono passare, quindi l'equazione generale della retta, con i parametri già calcolati, è: $y={\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;x+y_{1}-{\cfrac {y_{2}-y_ {1}}{x_{2}-x_{1}}}\;x_{1}$

Formule per trovare "x" e "y" in una linea data da coordinate.

Abbiamo una retta data da due punti e , di cui vogliamo trovare e lungo di essa. Otteniamo la pendenza e utilizziamo le rispettive formule per trovarli: ${\overline {AB}}$$A(x_{A};y_{A})$$B(x_{B};y_{B})$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$$m_{\overline {AB}}$

$m_{\overline {AB}}={y_{B}-y_{A} \oltre x_{B}-x_{A}}$

$x={y-y_{A} \oltre m_{\overline {AB}}}+x_{A}$

$y=m_{\overline {AB}}(x-x_{A})+y_{A}$

Dove:

${\ displaystyle x}$e : ordinata e ascissa da trovare; ${\ displaystyle y}$

$x_{A}$, , , : rispettive ordinate ed ascisse dei punti A e B della retta ; $y_{A}$$x_{B}$ $y_{B}$${\overline {AB}}$

$m_{\overline {AB}}$: pendenza della linea . ${\overline {AB}}$

Formule per trovare il punto di intersezione di due rette dato dai loro punti di coordinate.

Per ottenere le coordinate del punto di intersezione di due rette e , possiamo utilizzare le seguenti formule. $(x_{I};y_{I})$${\overline {AB}}$${\overline {CD}}$

$x_{I}={(m_{\overline {AB}}*x_{A})-y_{A}-(m_{\overline {CD}}*x_{C})+y_{C} \sopra m_{\overline {AB}}-m_{\overline {CD}}}$

$y_{I}=m_{\overline {AB}}(x_{I}-x_{A})+y_{A}$

Dove:

$x_{I}$y : ordinata e ascissa dell'intersezione. $y_{I}$

Linea che non passa per l'origine

In coordinate polari, una retta che passa ad una distanza d > 0, ha un'equazione data da:

$\rho (\theta)={\frac {d}{\cos(\theta -\theta{0})}}$

dove la pendenza della retta è data da . $1/\tan \theta 0}$

Rettilinei notevoli

Rette perpendicolari.

• L'equazione di una linea verticale risponde all'equazione generale (costante).$x=x_{v}$

• L'equazione di una linea orizzontale risponde all'equazione generale (costante).$y=y_{h}$

• Una retta trigonoidale che passa per l'origine O (0, 0) , soddisferà la condizione b = 0 , essendo la sua equazione: .${\ displaystyle y = (m) (x) \;}$

• linea secante

• linea tangente

• Due righe qualsiasi:

$y=\sinistra(m_{1}\destra)\sinistra(x\destra)+b_{1}\!$

$y=\sinistra(m_{2}\destra)\sinistra(x\destra)+b_{2}\!$

sarà parallelo se e solo se . Inoltre, saranno coincidenti quando:$m_{1}=m_{2}\;$$b_{1}=b_{2}\;$

sarà perpendicolare se e solo se , ovvero:$m_{1}=-1/m_{2}\;$$(m_{1})(m_{2})=-1\;$

Linee nel piano come spazio vettoriale e affini

Da due punti del piano affine

Dati due punti nel piano, P e Q , su una retta, ogni punto di questa (cioè l'intera retta) può essere descritto dall'equazione:

$P+\lambda {\vec {PQ}}$, dove può assumere qualsiasi valore.$\lambda$

Esempio

Dati e , allora la retta sono i punti , tali che e . ${\ displaystyle P = (1,2)}$$Q=(3.5)$$(x,y)$${\ displaystyle x = 1+ \ lambda (3-1)}$${\ displaystyle y = 2+ \ lambda (5-2)}$

Usare un punto e un vettore

Dati un punto e un vettore nel piano, P y , una retta è completamente definita dall'equazione: $\vec{v}$

$P+\lambda {\vec {v}}$, dove può assumere qualsiasi valore.${\ displaystyle \ lambda}$

Esempio

Dato e (chiamato vettore direttore), allora la retta sono i punti , tali che e . $P=(5,-2)$${\vec {v}}=(3,1)$$(x,y)$${\ displaystyle x = 5+ \ lambda (3)}$${\ displaystyle y = -2+ \ lambda (1)}$

Rettilinei notevoli

• L'equazione di una linea verticale avrebbe un vettore direttore del tipo .${\vec {v}}=(0,1)$
• L'equazione di una linea orizzontale avrebbe un vettore regista del tipo .${\vec {v}}=(1,0)$
• Una retta passante per l'origine è una retta che passa per l'origine delle coordinate con .${\ displaystyle P = (0,0) \ in r}$
• Date due righe qualsiasi

$P+\lambda{1}{\vec {v}}$

$Q+\lambda{2}{\vec {w}}$

sarà parallelo se e solo se .${\vec {v}}=\alpha {\vec {w}}$

sarà perpendicolare se e solo se e sono perpendicolari, cioè il loro prodotto scalare è zero.$\vec{v}$${\vec {w}}$

Linee come prodotto punto

Ogni retta, implicitamente, esplicitamente o come vettore, può essere espressa come prodotto scalare di vettori:

$(x,y)=(b_{x},b_{y})+\lambda (u_{x},u_{y})\freccia sinistra\lambda ={\frac {x-b_{x}} {u_{x}}}\;\;\;\;y\;\;\;\;\lambda ={\frac {y-b_{y}}{u_{y}}}\Leftrightarrow$ ${\frac {x-b_{x}}{u_{x}}}={\frac {y-b_{y}}{u_{y}}}\freccia destra-sinistra$ ${\frac {x}{u_{x}}}+{\frac {-y}{u_{y}}}={\frac {b_{x}}{u_{x}}}+{ \frac {-b_{y}}{u_{y}}}\Freccia destra-sinistra$ $(x,y)\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {1}{u_{x}}}\\{\frac {-1}{u_{y}}}\end{pmatrix} }={\frac {b_{x}}{u_{x}}}+{\frac {-b_{y}}{u_{y}}}$

cioè, rinominando le costanti:

$(x,y)\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c$

• Sì . Pertanto, il vettore è perpendicolare alla retta e ai suoi vettori direttori, e quindi a tutte le sue parallele.${\ displaystyle (x, y) \ perp (a, b) \ freccia destra c = 0}$${\ displaystyle (a, b)}$$ascia+di=0$

Equazione della linea nello spazio

Linea determinata da un sistema di equazioni

Sistema di 2 equazioni e 3 variabili.

Linea nello spazio usando un sistema di 2 equazioni e 3 incognite:

$\sinistra\{{\begin{matrix}x&+y&+z&=4\\x&-y&+3z&=7\end{matrix}}\destra.$

• Questa equazione è equivalente all'intersezione di due piani nello spazio.

Linea determinata da vettori

Linea nello spazio usando un punto, , e un vettore, : $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$$u=(u_{x},u_{y},u_{z})$

$(x,y,z)=(p_{x},p_{y},p_{z})+\lambda (u_{x},u_{y},u_{z})$

• Il vettore è chiamato vettore direttore.$o\,$

Posizioni relative tra le righe

• Due rette saranno parallele se hanno vettori di direzione paralleli.
• Due linee saranno coincidenti se condividono almeno due punti diversi.
• Due rette si intersecano se non sono parallele e hanno un punto in comune.
• Due rette saranno complanari ​ se sono contenute in qualche piano.
  • Due rette sono complanari se e solo se coincidono, si intersecano o sono parallele.
• Due rette si intersecano ​ se non sono parallele e non hanno punti in comune.

Vedi anche

• Punto (geometria)
• Segmento
• Riga numerica
• linea tangente
• Regressione lineare
• linea proiettiva
• Piano (geometria)
• Funzione lineare

Collegamenti esterni

• Portale:Matematica . Contenuti relativi alla matematica .
• Wikizionario contiene definizioni e altre informazioni su straight .
• Weisstein, Eric W. «Linea» . In Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (in inglese) . Wolfram Research . 
• The Straight (spagnolo).