Rovný

Červené a modré čáry v tomto grafu mají stejný sklon ; červená a zelená čára mají stejný průsečík y ( křižují osu y na stejném místě ).

Znázornění úsečky.

V euklidovské geometrii , přímka nebo přímka je čára, která se prodlužuje ve stejném směru ; má tedy pouze jeden rozměr a obsahuje nekonečný počet bodů . Uvedenou linii lze také popsat jako souvislou posloupnost bodů prodloužených v jednom směru.

Je to jedna ze základních geometrických entit spolu s bodem a rovinou . Jsou považovány za apriorní pojmy, protože jejich definice je možná pouze z popisu charakteristik jiných podobných prvků. Příkladem obtíží při definování přímky z bodů je takzvaný Zenónův paradox dichotomie , který ilustroval zmizení přímky jejím rozdělením na body, protože tehdy neexistoval žádný koncept, jak tuto přímku sestavit z bodů, protože spojení dva body jsou bod. Řádky jsou obvykle pojmenovány malým písmenem .

V analytické geometrii lze přímky v rovině vyjádřit rovnicí typu y = mx + b , kde x , y jsou proměnné v kartézské rovině . V uvedeném výrazu se m nazývá „sklon přímky“ a souvisí se sklonem, který má přímka vzhledem k dvojici os, které definují rovinu, zatímco b je takzvaný „nezávislý člen“ nebo „ordinační k počátek" y je hodnota pořadnice bodu, ve kterém přímka protíná svislou osu v rovině.

Euklidovy definice a postuláty související s linií

Euclid ve svém pojednání nazvaném The Elements zavádí několik definic souvisejících s přímkou ​​a přímkou:

• Čára je délka bez šířky (Kniha I, definice 2).
• Konce úsečky jsou body (Kniha I, definice 3).
• Přímka je přímka, která leží rovnoměrně vzhledem k bodům, které jsou na ní (Kniha I, definice 4).

Charakteristika rovného

• Linka pokračuje do nekonečna v obou směrech.
• V euklidovské geometrii je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body přímka.
• Čáru lze definovat jako množinu bodů umístěných podél průsečíku dvou rovin.

Polopřímé

Paprsek blesku

Nazývá se paprsek , každá ze dvou částí, na které je čára rozdělena, když je přerušena v některém z jejích bodů. Je to část úsečky tvořená všemi body, které se nacházejí na jedné straně pevného bodu úsečky, nazývaného počátek , ze kterého se neomezeně rozprostírá jedním směrem.

Opačný paprsek

Opačný paprsek paprsku je druhý paprsek od čáry, která definuje první. ]

• Každý paprsek má pouze jeden opačný paprsek.
• Paprsek a jeho opačný paprsek mají stejný původ.

Rovnice přímky v rovině

V kartézské rovině můžeme přímku reprezentovat obecnou rovnicí definovanou v této rovině, buď pomocí souřadnic pomocí bodů a vektorů, nebo pomocí funkcí, které tyto souřadnice specifikují.

Sklon a průsečík y

Je dána přímka procházející bodem, a sklon : $P=(x_{0},y_{0})\,$ $m\,$

Rovnici přímky lze získat ze vzorce sklonu (rovnice bod-sklon):

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\!$

kde je tečna úhlu, který přímka svírá s osou X . $m$

Příklady

a) Rovnice přímky, která prochází bodem a má sklon je: $A=(-5,3)$$m=2$

Dosazením do výše uvedené rovnice máme:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$

$y-3=2(x-(-5))\!$

$y-3=2(x+5)\!$

$y-3=2x+10\!$

$y-2x-3-10=0\!$

$y-2x-13=0\!$

b) Rovnice přímky, která prochází bodem a má sklon : $A=(2,-4)$$m=-{\frac {1}{3}}$

$x+3y+10=0\!$

Demonstrace

Dosazením dat do rovnice získáme následující: $y-y_{1}=m(x-x_{1})\!$ $y-(-4)=-1/3(x-2)\!$ $3(y+4)=-1(x-2)\!$ $3y+12=-x+2\!$ $x+3y+12=2\!$ $x+3y+10=0\!$

Zjednodušený tvar rovnice přímky

Rovnice sklonu a průsečíku přímky ze dvou bodů v rovině.

Pokud je známý sklon m a bod, kde přímka protíná osu pořadnice je ( 0, b ), můžeme z obecné rovnice přímky odvodit : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

$yb=m(x-0)\!$ $yb=mx\!$ $y=mx+b\!$

Toto je druhý tvar rovnice přímky a používá se, když jsou známy sklon a průsečík y, které budeme nazývat . $b$

Segmentový tvar rovnice přímky (symetrická rovnice)

Čára, která ořezává osu pořadníku dovnitř a úsečku dovnitř . $b$$A$

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\!$.

Demonstrace

Pokud je problém najít rovnici přímky, známé a (úsečka a osa pořadnice k počátku), jsou známy dva body přímky, které jsou následující: $A$$b$ $(0,b)\!$Y$(a,0)\!$ S těmito body můžete najít takovou rovnici, ale nejprve musíte vypočítat sklon: $m=\left({\frac {0-b}{a-0}}\right)={\frac {-b}{a}}$ Poté dosaďte do rovnice pomocí libovolných dvou bodů, v tomto případě (a, 0) : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ $ay=-bx+ab\!$ $bx+ay=ab\!$ a dělení celé rovnice nezávislým členem : $ab$ ${\frac {bx}{ab}}+{\frac {ay}{ab}}={\frac {ab}{ab}}\!$ ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\!$ Rovnice přímky je získána v jejím symetrickém tvaru. Tato rovnice se obvykle používá k získání rovnice přímky, jejíž průsečíky s osami jsou známé, a když je z rovnice přímky požadováno znát body, kde tato přímka protíná osy.

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky je dána výrazem s y , ​ kde představuje sklon přímky a označuje ordinátu v počátku, což je dostatek dat k reprezentaci jakékoli přímky v kartézské rovině. $Ax+By+C=0\!$$A,B,C\in \mathbb {R} \!$$B\neq 0\!$${\frac {-A}{B}}\!$${\frac {-C}{B}}\!$

Normální rovnice přímky (první tvar)

Normální tvar čáry ( Hesseho rovnice ):

$x\ \cos \omega +y\ \sin \omega -d=0\!$

Vzhledem k tomu, že d je hodnota vzdálenosti mezi přímkou ​​a počátkem souřadnic, úhel omega ω je úhel mezi kolmicí k přímce a kladnou částí osy úsečky. ]

Pokud se místo úhlu normály ω použije úhel přímky α , mezi přímkou ​​a osou úsečky:

$x\ \sin \alpha -y\ \cos \alpha +d=0\!$

Vzhledem k tomu, že d je hodnota vzdálenosti mezi přímkou ​​a počátkem souřadnic, je úhel alfa α úhel mezi přímkou ​​a kladnou částí osy úsečky, jejíž tečna vyjadřuje hodnotu sklonu přímky.

Demonstrace

Abychom získali uvedenou rovnici z rovnice tvaru , je nejprve nutné vypočítat: $Ax+By+C=0\!$ $\lambda ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$ dělením parametrů rovnice získáme, že a . Konečně bez výjimky. ] $\lambda$$cos\omega ={\frac {A}{\lambda }}$$sin\omega ={\frac {B}{\lambda }}$$-d={\frac {C}{\lambda }}$

Normální rovnice přímky (druhý tvar)

${\frac {Ax+By+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}=0$

Podle potřeby se vezme kladná nebo záporná hodnota odmocniny.

Svazek čar procházejících bodem

Přímky procházející bodem: (2,4).

Pro určení svazku přímek roviny procházející bodem se používá rovnice $P=(x_{0},y_{0})\,$

$y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$, kde parametr m nabývá reálné hodnoty. Tato rodina čar má společnou vlastnost procházet stejným bodem, , s různým sklonem. ]$P$

Demonstrace

Rovnice přímky musí být: $y=mx+b\,$ A musí projít bodem , pak bude muset být splněn: $(x_{0},y_{0})\,$ $y_{0}=mx_{0}+b\,$ Při řešení pro b máme tuto rovnici: $b=y_{0}-mx_{0}\,$ Dosazením b v obecné rovnici přímky: $y=mx+(y_{0}-mx_{0})\,$ Podmínky objednávky: $y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$ Tato rovnice definuje svazek čar v rovině, která prochází bodem , hodnota m je sklon každé z čar, které jsou součástí svazku, kromě svislé čáry procházející tímto bodem. $(x_{0},y_{0})$

Čára procházející dvěma body

Pokud prochází dvěma body a , kde , rovnici přímky lze vyjádřit jako: $(x_{1},y_{1})$$(x_{2},y_{2})$$x_{1}\neq x_{2}$

$y={\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;(x-x_{1})+y_{1}$

Demonstrace

Musí vyhovovat obecnému vzorci , výsledkem je systém dvou rovnic se dvěma neznámými mab :$y=mx+b\,$ $y_{1}=mx_{1}+b\,$ $y_{2}=mx_{2}+b\,$ odstraníme neznámou b , vyřešíme v první rovnici a dosadíme ve druhé: $b=y_{1}-mx_{1}\,$ $y_{2}=mx_{2}+(y_{1}-mx_{1})\,$ termíny seskupení: $y_{2}-y_{1}=m(x_{2}-x_{1})\,$ čištění m : $m={\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,$ tato hodnota m je hodnota sklonu přímky, která prochází dvěma body: a . Nyní vymažeme hodnotu b z jedné z rovnic systému, například z první, máme: $(x_{1},y_{1})$$(x_{2},y_{2})$ $b=y_{1}-mx_{1}\,$ a dosazení m za jeho již vypočítanou hodnotu; $b=y_{1}-{\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;x_{1}\,$ Máme dvě neznámé ma b vyčištěné , v závislosti na souřadnicích dvou bodů, kterými musí projít, pak obecná rovnice přímky s již vypočítanými parametry je: $y={\cfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\;x+y_{1}-{\cfrac {y_{2}-y_ {1}}{x_{2}-x_{1}}}\;x_{1}$

Vzorce pro nalezení "x" a "y" v řádku zadaném souřadnicemi.

Máme přímku danou dvěma body a , z nichž chceme podél ní najít e . Získáme sklon a pomocí příslušných vzorců je najdeme: ${\overline {AB}}$$A(x_{A};y_{A})$$B(x_{B};y_{B})$$x$$y$$m_{\overline {AB}}$

$m_{\overline {AB}}={y_{B}-y_{A} \over x_{B}-x_{A}}$

$x={y-y_{A} \over m_{\overline {AB}}}+x_{A}$

$y=m_{\overline {AB}}(x-x_{A})+y_{A}$

Kde:

$x$a : pořadnice a úsečka k nalezení; $y$

$x_{A}$, , , : příslušné souřadnice a úsečky bodů A a B přímky ; $y_{A}$$x_{B}$ $y_{B}$${\overline {AB}}$

$m_{\overline {AB}}$: sklon čáry . ${\overline {AB}}$

Vzorce k nalezení průsečíku dvou přímek zadaných jejich souřadnicovými body.

K získání souřadnic průsečíku dvou přímek a , můžeme použít následující vzorce. $(x_{I};y_{I})$${\overline {AB}}$${\overline {CD}}$

$x_{I}={(m_{\overline {AB}}*x_{A})-y_{A}-(m_{\overline {CD}}*x_{C})+y_{C} \over m_{\overline {AB}}-m_{\overline {CD}}}$

$y_{I}=m_{\overline {AB}}(x_{I}-x_{A})+y_{A}$

Kde:

$x_{I}$y : pořadnice a úsečka průsečíku. $y_{I}$

Čára, která neprochází počátkem

V polárních souřadnicích má přímka, která prochází ve vzdálenosti d > 0, rovnici danou vztahem:

$\rho (\theta )={\frac {d}{\cos(\theta -\theta{0})}}$

kde sklon čáry je dán vztahem . $1/\tan \theta 0}$

Pozoruhodné rovinky

Kolmé přímky.

• Rovnice svislé přímky odpovídá obecné rovnici (konstantě).$x=x_{v}$

• Rovnice vodorovné přímky odpovídá obecné rovnici (konstantě).$y=y_{h}$

• Trigonoidální čára, která prochází počátkem O (0, 0) , bude splňovat podmínku b = 0 , přičemž její rovnice: .$y=(m)(x)\;$

• sečnová čára

• tečna

• Libovolné dva řádky:

$y=\left(m_{1}\right)\left(x\right)+b_{1}\!$

$y=\left(m_{2}\right)\left(x\right)+b_{2}\!$

bude paralelní tehdy a jen tehdy, když . Kromě toho se budou shodovat, když:$m_{1}=m_{2}\;$$b_{1}=b_{2}\;$

bude kolmá právě tehdy, když , tj.$m_{1}=-1/m_{2}\;$$(m_{1})(m_{2})=-1\;$

Čáry v rovině jako vektorový prostor a afinní

O dva body afinní roviny

Jsou- li dány dva body v rovině, P a Q , na přímce, každý její bod (tj. celá přímka) lze popsat rovnicí:

$P+\lambda {\vec {PQ}}$, kde může mít jakoukoli hodnotu.$\lambda$

Příklad

Dané a , pak linka je body , takové že e . $P=(1,2)$$Q=(3.5)$$(x,y)$$x=1+\lambda (3-1)$$y=2+\lambda (5-2)$

Použití bodu a vektoru

Daný bod a vektor v rovině, P y , je přímka plně definována rovnicí: $\vec{v}$

$P+\lambda {\vec {v}}$, kde může mít jakoukoli hodnotu.$\lambda$

Příklad

Dané a (nazývané ředitel vektor), pak přímka je body , takové, že e . $P=(5,-2)$${\vec {v}}=(3,1)$$(x,y)$$x=5+\lambda (3)$$y=-2+\lambda (1)$

Pozoruhodné rovinky

• Rovnice svislé čáry by měla ředitelský vektor typu .${\vec {v}}=(0,1)$
• Rovnice vodorovné čáry by měla ředitelský vektor typu .${\vec {v}}=(1,0)$
• Čára přes počátek je čára, která prochází počátkem souřadnic s .$P=(0,0)\in r$
• Vzhledem k libovolným dvěma řádkům

$P+\lambda{1}{\vec {v}}$

$Q+\lambda{2}{\vec {w}}$

bude paralelní tehdy a jen tehdy, když .${\vec {v}}=\alpha {\vec {w}}$

budou kolmé právě tehdy, když a jsou kolmé, to znamená, že jejich bodový součin je nula.$\vec{v}$${\vec {w}}$

Čáry jako bodový součin

Každá přímka, buď implicitně, explicitně nebo jako vektor, může být vyjádřena jako bodový součin vektorů:

$(x,y)=(b_{x},b_{y})+\lambda (u_{x},u_{y})\Leftright\lambda ={\frac {x-b_{x}} {u_{x}}}\;\;\;\;y\;\;\;\;\lambda ={\frac {y-b_{y}}{u_{y}}}\Leftrightarrow$ ${\frac {x-b_{x}}{u_{x}}}={\frac {y-b_{y}}{u_{y}}}\Leftrightarrow$ ${\frac {x}{u_{x}}}+{\frac {-y}{u_{y}}}={\frac {b_{x}}{u_{x}}}+{ \frac {-b_{y}}{u_{y}}}\Leftrightarrow$ $(x,y)\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {1}{u_{x}}}\\{\frac {-1}{u_{y}}}\end{pmatrix} }={\frac {b_{x}}{u_{x}}}+{\frac {-b_{y}}{u_{y}}}$

to znamená přejmenování konstant:

$(x,y)\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c$

• Ano _ Vektor je tedy kolmý na přímku a její direktorové vektory, a tedy na všechny její rovnoběžky.$(x,y)\perp (a,b)\Rightarrow c=0$$(a,b)$$ax+by=0$

Rovnice přímky v prostoru

Přímka určená soustavou rovnic

Systém 2 rovnic a 3 proměnných.

Čára v prostoru pomocí systému 2 rovnic a 3 neznámých:

$\left\{{\begin{matrix}x&+y&+z&=4\\x&-y&+3z&=7\end{matrix}}\right.$

• Tato rovnice je ekvivalentní průsečíku dvou rovin v prostoru.

Čára určená vektory

Čára v prostoru pomocí bodu, a vektoru, : $p=(p_{x},p_{y},p_{z})$$u=(u_{x},u_{y},u_{z})$

$(x,y,z)=(p_{x},p_{y},p_{z})+\lambda (u_{x},u_{y},u_{z})$

• Vektor se nazývá ředitelový vektor.$nebo\,$

Relativní pozice mezi řádky

• Dvě čáry budou rovnoběžné , pokud budou mít vektory rovnoběžného směru.
• Dvě čáry budou shodné, pokud sdílejí alespoň dva různé body.
• Dvě přímky se protínají , pokud nejsou rovnoběžné a mají společný bod.
• Dvě čáry budou koplanární ​, pokud jsou obsaženy v nějaké rovině.
  • Dvě přímky jsou koplanární právě tehdy, pokud se shodují, protínají nebo jsou rovnoběžné.
• Dvě přímky se protínají ​, pokud nejsou rovnoběžné a nemají společné body.

Viz také

• Bod (geometrie)
• Segment
• Číselná řada
• tečna
• Lineární regrese
• projektivní linie
• Rovina (geometrie)
• Lineární funkce

Externí odkazy

• Portál: Matematika . Obsah související s matematikou .
• Wikislovník obsahuje definice a další informace na straight .
• Weisstein, Eric W. "Řádek" . V Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (v angličtině) . Wolfram Research . 
• Straight (španělsky).