Poligono a stella - Star polygon
 {5/2} |
 |5/2| |
| Un pentagono a stella regolare , {5/2}, ha cinque vertici d'angolo e bordi intersecanti, mentre il decagono concavo , |5/2|, ha dieci bordi e due serie di cinque vertici. I primi sono utilizzati nelle definizioni di poliedri stellari e tassellature uniformi stellari , mentre i secondi sono talvolta utilizzati nelle tassellature planari. | |
 Piccolo dodecaedro stellato |
 Tassellazione |
In geometria , un poligono a stella è un tipo di poligono non convesso e, più comunemente, un tipo di decagono. I poligoni delle stelle regolari sono stati studiati in modo approfondito; mentre i poligoni stellati in generale sembrano non essere stati formalmente definiti, tuttavia alcuni notevoli possono sorgere attraverso operazioni di troncamento su poligoni regolari semplici ea stella.
Branko Grünbaum ha identificato due definizioni primarie usate da Johannes Kepler , una è quella dei poligoni regolari a stella con bordi intersecanti che non generano nuovi vertici, e la seconda è quella dei semplici poligoni concavi isotossici .
Il primo utilizzo è compreso nei poligrammi che comprendono poligoni come il pentagramma ma anche figure composte come l' esagramma .
Una definizione di poligono a stella , usata nella grafica delle tartarughe , è un poligono con 2 o più giri ( numero di giri e densità ), come negli spirolaterali .
Etimologia
I nomi dei poligoni a stella combinano un prefisso numerico , come penta- , con il suffisso greco -gram (in questo caso generando la parola pentagram ). Il prefisso è normalmente un cardinale greco , ma esistono sinonimi che utilizzano altri prefissi. Ad esempio, un poligono o enneagramma a nove punte è anche conosciuto come nonagramma , usando l' ordinale nona dal latino . Il suffisso -gram deriva da γραμμή ( grammḗ ) che significa linea.
Poligono a stella regolare
 {5/2} |
 {7/2} |
 {7/3} ... |
Un "poligono a stella regolare" è un poligono equiangolo equilatero e autointersecante .
Un poligono a stella regolare è indicato dal suo simbolo Schläfli { p / q }, dove p (il numero di vertici) e q (la densità ) sono relativamente primi (non condividono fattori) e q ≥ 2. La densità di un poligono può chiamato anche numero di virata , la somma degli angoli di virata di tutti i vertici divisa per 360°.
Il gruppo di simmetria di { n / k } è il gruppo diedro D n di ordine 2 n , indipendente da k .
I poligoni delle stelle regolari furono studiati sistematicamente per la prima volta da Thomas Bradwardine e successivamente da Johannes Kepler .
Costruzione tramite connessione di vertice
I poligoni a stella regolari possono essere creati collegando un vertice di un poligono semplice, regolare, di lati p a un altro vertice non adiacente e continuando il processo fino a raggiungere nuovamente il vertice originale. Alternativamente per gli interi p e q , può essere considerato costruito collegando ogni q- esimo punto di p punti regolarmente spaziati in una disposizione circolare. Ad esempio, in un pentagono regolare, si può ottenere una stella a cinque punte tracciando una linea dal primo al terzo vertice, dal terzo vertice al quinto vertice, dal quinto vertice al secondo vertice, dal secondo vertice al quarto vertice e dal quarto vertice al primo vertice.
Se q è maggiore della metà di p , allora la costruzione risulterà nello stesso poligono di p - q ; connettere ogni terzo vertice del pentagono produrrà un risultato identico a quello di connettere ogni secondo vertice. Tuttavia, i vertici verranno raggiunti nella direzione opposta, il che fa la differenza quando i poligoni retrogradi sono incorporati in politopi di dimensioni superiori. Ad esempio, un antiprisma formato da un pentagramma progrado {5/2} risulta in un antiprisma pentagrammico ; la costruzione analoga da un "pentagramma incrociato" retrogrado {5/3} risulta in un antiprisma incrociato pentagrammico . Un altro esempio è il tetrahemihexahedron , che può essere visto come un "triangolo incrociato" {3/2} cuploid .
Poligoni stellari regolari degenerati
Se p e q non sono coprimi, risulterà un poligono degenere con vertici e archi coincidenti. Ad esempio {6/2} apparirà come un triangolo, ma può essere etichettato con due serie di vertici 1-6. Questo dovrebbe essere visto non come due triangoli sovrapposti, ma come un doppio avvolgimento di un singolo esagono unicursale.
Costruzione tramite stellazione
In alternativa, un poligono a stella regolare può essere ottenuto anche come sequenza di stellazioni di un poligono convesso con nucleo regolare . Le costruzioni basate sulla stellazione consentono anche di ottenere composti poligonali regolari nei casi in cui la densità e la quantità di vertici non sono coprimi. Quando si costruiscono poligoni stellari da stellazione, tuttavia, se q è maggiore di p /2, le linee divergeranno invece infinitamente e se q è uguale a p /2, le linee saranno parallele, con entrambe non risultanti in ulteriori intersezioni in Euclide spazio. Tuttavia, può essere possibile costruire alcune tali poligoni nello spazio sferico, analogamente al monogon e Digon ; tali poligoni non sembrano ancora essere stati studiati in dettaglio.
Poligoni stellari isotossici semplici
Quando le linee intersecanti vengono rimosse, i poligoni stella non sono più regolare, ma può essere visto come semplice concava isotoxal 2 n -gons, vertici a due raggi differenti, che non necessariamente devono corrispondere gli angoli regolari poligono stellato alternata. Branko Grünbaum in Tilings and Patterns rappresenta queste stelle come | n / d | che corrispondono alla geometria del poligramma {n/d} con una notazione {n α } più in generale, che rappresenta una stella di n lati con ogni angolo interno α<180°(1-2/ n ) gradi. Per | n / d |, i vertici interni hanno un angolo esterno, , come 360°( d -1)/ n .
| |n/d| {n α } |
{3 30° } |
{6 30° } |
|5/2| {5 36° } |
{4 45° } |
|8/3| {8 45° } |
|6/2| {6 60° } |
{5 72° } |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| α | 30° | 36° | 45° | 60° | 72° | ||
| ? | 150° | 90° | 72° | 135° | 90° | 120° | 144° |
Stella isotossale |
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Poligramma correlato {n/d} |
 {12/5} |
{5/2} |
 {8/3} |
 2{3} Figura a stella |
 {10/3} |
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Esempi in piastrelle
Questi poligoni sono spesso visti nei modelli di piastrellatura. L'angolo parametrico α (gradi o radianti) può essere scelto per abbinare gli angoli interni dei poligoni vicini in uno schema a mosaico. Johannes Kepler nella sua opera del 1619 Harmonices Mundi , che include, tra le altre tassellature d'epoca, tassellature non periodiche come quelle tre pentagoni regolari e un pentagono a stella regolare (5.5.5.5/2) che possono stare attorno a un vertice, e sono legate alle moderne tassellature di penrose .
| triangoli di stelle | quadrati di stelle | Esagoni stellati | Ottagoni di stelle | ||
|---|---|---|---|---|---|
 (3.3* α.3.3** α) |
 (8.4* /4.8.4* /4) |
 (6.6* /3.6.6* /3) |
 (3.6* /3.6** /3) |
 (3.6.6* /3.6) |
 Non da bordo a bordo |
Interni
L'interno di un poligono a stella può essere trattato in modi diversi. Tre di questi trattamenti sono illustrati per un pentagramma. Branko Grünbaum e Geoffrey Shephard ne considerano due, come poligoni stellari regolari e 2 n -goni isogonali concavi.
Questi includono:
- Quando si verifica un lato, un lato viene trattato come esterno e l'altro come interno. Ciò è mostrato nell'illustrazione a sinistra e si verifica comunemente nel rendering della grafica vettoriale al computer .
- Il numero di volte in cui la curva poligonale si snoda attorno a una data regione ne determina la densità . All'esterno viene assegnata una densità pari a 0 e qualsiasi regione di densità > 0 viene trattata come interna. Questo è mostrato nell'illustrazione centrale e si verifica comunemente nel trattamento matematico dei poliedri . (Tuttavia, per poliedri non orientabili la densità può essere considerata solo modulo 2 e quindi il primo trattamento è talvolta usato invece in quei casi per coerenza.)
- Quando è possibile tracciare una linea tra due lati, la regione in cui si trova la linea è trattata come all'interno della figura. Questo è mostrato nell'illustrazione a destra e si verifica comunemente quando si realizza un modello fisico.
Quando viene calcolata l'area del poligono, ciascuno di questi approcci fornisce una risposta diversa.
Nell'arte e nella cultura
I poligoni stellari hanno un posto di rilievo nell'arte e nella cultura. Tali poligoni possono o non possono essere regolari ma sono sempre altamente simmetrici . Esempi inclusi:
- Il pentagono a stella {5/2} ( pentagramma ) è anche conosciuto come pentalfa o pentangle, e storicamente è stato considerato da molti culti magici e religiosi avere un significato occulto .
- Anche i poligoni stellari {7/2} e {7/3} ( eptagrammi ) hanno un significato occulto, in particolare nella Kabbalah e nella Wicca .
- Il poligono a stella {8/3} ( ottagramma ), è motivo geometrico frequente nell'arte e nell'architettura islamica Mughal ; il primo è sullo stemma dell'Azerbaigian .
- Una stella a undici punte chiamata endecagramma è stata utilizzata sulla tomba di Shah Nemat Ollah Vali.
 Un {8/3} ottagramma costruito in un ottagono regolare |
.svg) Sigillo di Salomone con cerchio e punti (figura a stella) |
Guarda anche
- Elenco di politopi e composti regolari#Stars
- Stella magica
- stella morava
- Pentagramma mirifico
- Stella regolare 4-politopo
- Rub el Hizb
- Stella (glifo)
- Poliedro a stella , poliedro di Keplero-Poinsot e poliedro a stella uniforme
Riferimenti
- Cromwell, P.; Poliedri , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . P. 175
- Grünbaum, B. e GC Shephard; Piastrelle e modelli , New York: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
- Grunbaum, B. ; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993) , ed. T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capitolo 26. pp. 404: Regular Star-Polytopes Dimension 2)
- Branko Grünbaum , Metamorphoses of polygons , pubblicato in The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , (1994)
