Fibrazione dello spazio del percorso - Path space fibration

Nella topologia algebrica, la fibrazione dello spazio dei percorsi su uno spazio basato è una fibrazione della forma ${\displaystyle (X,*)}$

${\ Displaystyle \ Omega X \ hookrightarrow PX {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ a }} X}$

dove

• ${\displaystyle PX=\operatorname {Map} (I,X)=\{f\due punti I\to X\mid f\ {\text{continuo}},f(0)=*\}}$, dotato della topologia compact-open , è lo spazio detto spazio dei cammini di X ,
• ${\displaystyle\Omega X}$è la fibra di oltre il punto base di X ; quindi è lo spazio del ciclo di X .${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

Lo spazio è costituito da tutte le mappe da I a X che potrebbero non conservare i punti base; è chiamato spazio di cammino libero di X e la fibrazione data da, diciamo, , è chiamata fibrazione di spazio di cammino libero . ${\displaystyle X^{I}}$${\displaystyle X^{I}\to X}$${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

La fibrazione dello spazio del percorso può essere intesa come duale rispetto al cono di mappatura . La fibrazione ridotta è detta fibra di mappatura o, equivalentemente, fibra di omotopia .

Mappatura dello spazio del percorso

Se c'è una mappa qualsiasi, lo spazio del percorso di mappatura di è il pullback della fibrazione lungo . Poiché una fibrazione rimanda a una fibrazione, se Y si basa, si ha la fibrazione ${\displaystyle f\due punti X\to Y}$ ${\displaystyle P_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

dove e è la fibra di omotopia , il pullback della fibrazione lungo . ${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}Y}$${\displaystyle f}$

Nota anche la composizione ${\displaystyle f}$

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

dove la prima mappa invia x a ; qui denota il percorso costante con valore . Chiaramente, è un'equivalenza di omotopia; quindi, la scomposizione di cui sopra dice che ogni mappa è una fibrazione fino all'equivalenza dell'omotopia. ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$${\displaystyle c_{f(x)}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \phi}$

Se è una fibrazione per cominciare, allora la mappa è un'equivalenza fibra-omotopia e, di conseguenza, le fibre di oltre il percorso-componente del punto base sono omotopia equivalenti alla fibra omotopia di . ${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle f}$

Spazio del percorso di Moore

Per definizione, un percorso in uno spazio X è una mappa dall'intervallo unitario I a X . Sempre per definizione, il prodotto di due cammini tale è il cammino dato da: ${\displaystyle\alpha,\beta}$${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{casi}\alpha (2t)&{\text{if}}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t- 1)&{\text{se }}1/2\leq t\leq 1\\\end{casi}}}$.

Questo prodotto, in generale, non riesce ad essere associativo sul naso: , come si vede direttamente. Una soluzione a questo fallimento è passare alle classi di omotopia: si ha . Un'altra soluzione è quella di lavorare con cammini di lunghezze arbitrarie, portando alle nozioni di spazio dei cammini di Moore e fibrazione dello spazio dei cammini di Moore, descritte di seguito. (Una soluzione più sofisticata è ripensare la composizione: lavorare con una famiglia arbitraria di composizioni; vedere l'introduzione dell'articolo di Lurie, che porta alla nozione di opera .) ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta)\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha)}$${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$

Dato uno spazio basato , poniamo ${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle P'X=\{f\due punti [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

Un elemento f di questo insieme ha un'estensione univoca all'intervallo tale che . Pertanto, l'insieme può essere identificato come un sottospazio di . Lo spazio risultante è chiamato spazio del percorso di Moore di X , in onore di John Coleman Moore , che introdusse il concetto. Quindi, proprio come prima, c'è una fibrazione, la fibrazione dello spazio del percorso di Moore : ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$${\displaystyle \operatorname {Mappa} ([0,\infty ),X)}$

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to}}X}$

dove p invia ogni f : [0, r ] → X a f ( r ) ed è la fibra. Si scopre che e sono equivalenti all'omotopia. ${\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}$${\displaystyle\Omega X}$${\displaystyle \Omega 'X}$

Ora, definiamo la mappa del prodotto:

${\displaystyle \mu:P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

da: per e , ${\displaystyle f\due punti [0,r]\a X}$${\displaystyle g\due punti [0,s]\a X}$

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{casi}f(t)&{\text{se}}0\leq t\leq r\\g(tr)&{\text{ if }}r\leq t\leq s+r\\\end{casi}}}$.

Questo prodotto è manifestamente associativo. In particolare, con μ ristretto a Ω ' X × Ω ' X , abbiamo che Ω ' X è un monoide topologico (nella categoria di tutti gli spazi). Inoltre, questo monoide Ω ' X agisce su P ' X attraverso l'originale μ . In effetti, è una fibra X ' . ${\displaystyle p:P'X\to X}$

Appunti

Riferimenti

• Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Appunti delle lezioni di topologia algebrica (PDF) . Laurea Magistrale in Matematica. 35 . Providence, RI: Società matematica americana . pp. xvi+367. doi : 10.1090/gsm/035 . ISBN 0-8218-2160-1. MR  1.841.974 .
• Maggio, J. Peter (1999). Un corso conciso di topologia algebrica (PDF) . Lezioni di Chicago in matematica. Chicago, IL: Università di Chicago Press . pp. x+243. ISBN 0-226-51182-0. MR  1702278 .
• Whitehead, George W. (1978). Elementi di teoria dell'omotopia . Testi di laurea in matematica . 61 (3a ed.). New York-Berlino: Springer-Verlag . pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508 .