Spazio loop - Loop space

Nella topologia , una branca della matematica , lo spazio del loop Ω X di uno spazio topologico appuntito X è lo spazio dei loop (basati) in X , cioè mappe appuntite continue dal cerchio appuntito S ¹ a X , dotato della topologia compatta-aperta . Due cicli possono essere moltiplicati per concatenazione . Con questa operazione, lo spazio loop è un A _∞ -space . Cioè, la moltiplicazione è associativa omotopia-coerente .

L' insieme delle componenti del cammino di Ω X , cioè l'insieme delle classi di equivalenza basata sull'omotopia basata sui cicli basati in X , è un gruppo , il gruppo fondamentale π ₁ ( X ).

Gli spazi del ciclo iterato di X sono formati applicando Ω un numero di volte.

Esiste una costruzione analoga per gli spazi topologici senza punto base. Lo spazio di loop libero di uno spazio topologico X è lo spazio delle mappe dal cerchio S ¹ a X con la topologia compatta-aperta. Lo spazio di ciclo libero di X è spesso indicato con . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} X}$

Come funtore , la costruzione dello spazio del ciclo libero è giustamente aggiunta al prodotto cartesiano con il cerchio, mentre la costruzione dello spazio del ciclo è giusta aggiunta alla sospensione ridotta . Questa aggiunta spiega gran parte dell'importanza degli spazi di loop nella teoria dell'omotopia stabile . (Un fenomeno correlato nell'informatica è il curry , in cui il prodotto cartesiano è aggiunto al funtore hom .) Informalmente questo è indicato come dualità Eckmann-Hilton .

Dualità Eckmann-Hilton

Lo spazio del loop è duplice rispetto alla sospensione dello stesso spazio; questa dualità è talvolta chiamata dualità Eckmann-Hilton . L'osservazione di base è questa

${\ displaystyle [\ Sigma Z, X] \ approxeq [Z, \ Omega X]}$

dove è l'insieme delle classi di omotopia delle mappe , ed è la sospensione di A, e denota l' omeomorfismo naturale . Questo omeomorfismo è essenzialmente quello del currying , insieme ai quozienti necessari per convertire i prodotti in prodotti ridotti. ${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle A \ rightarrow B}$${\ displaystyle \ Sigma A}$${\ displaystyle \ approxeq}$

In generale, non ha una struttura di gruppo per spazi arbitrari e . Tuttavia, si può dimostrare che e hanno strutture di gruppo naturali quando e sono puntati , e il suddetto isomorfismo è di quei gruppi. Quindi, l'impostazione (la sfera) fornisce la relazione ${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle [\ Sigma Z, X]}$${\ displaystyle [Z, \ Omega X]}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z = S ^ {k-1}}$${\ displaystyle k-1}$

${\ Displaystyle \ pi _ {k} (X) \ approxeq \ pi _ {k-1} (\ Omega X)}$ .

Ciò segue poiché il gruppo di omotopia è definito come e le sfere possono essere ottenute tramite sospensioni l'una dell'altra, ad es . ${\ Displaystyle \ pi _ {k} (X) = [S ^ {k}, X]}$${\ displaystyle S ^ {k} = \ Sigma S ^ {k-1}}$

Guarda anche

• Spazio Eilenberg – MacLane
• Loop gratuito
• Gruppo fondamentale
• Elenco delle topologie
• Gruppo di loop
• Percorso (topologia)
• Quasigroup
• Spettro (topologia)

Riferimenti

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces , Annals of Mathematics Studies, 90 , Princeton University Press , ISBN   978-0-691-08207-3 , MR   0505692
• Maggio, J. Peter (1972), The Geometry of Iterated Loop Spaces , Lecture Notes in Mathematics, 271 , Berlino, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0067491 , ISBN   978-3-540-05904-2 , MR   0420610