Opera - Operad

In matematica , un operad riguarda prototipici algebre che proprietà modello come commutativity o anticommutativity nonché varie quantità di associatività . Le operazioni generalizzano le varie proprietà di associatività già osservate in algebre e coalgebre come le algebre di Lie o le algebre di Poisson modellando alberi computazionali all'interno dell'algebra. Le algebre stanno agli operadi come le rappresentazioni di gruppo stanno ai gruppi . Un operade può essere visto come un insieme di operazioni , ciascuna avente un numero finito fisso di input (argomenti) e un output, che possono essere composti uno con gli altri. Formano un analogo teorico della categoria dell'algebra universale .

Storia

Gli operadi hanno origine nella topologia algebrica dallo studio degli spazi di loop iterati di J. Michael Boardman e Rainer M. Vogt e J. Peter May . La parola "operad" è stata creata da May come un portmanteau di "operazioni" e " monade " (e anche perché sua madre era una cantante d'opera). L'interesse per gli operadi si è notevolmente rinnovato nei primi anni '90 quando, sulla base delle prime intuizioni di Maxim Kontsevich , Victor Ginzburg e Mikhail Kapranov, scoprirono che alcuni fenomeni di dualità nella teoria dell'omotopia razionale potevano essere spiegati utilizzando la dualità di Koszul degli operadi. Da allora gli operadi hanno trovato molte applicazioni, come nella quantizzazione della deformazione delle varietà di Poisson , la congettura di Deligne o l' omologia dei grafi nel lavoro di Maxim Kontsevich e Thomas Willwacher .

Definizione

Operazione non simmetrica

Un operad non simmetrico (talvolta chiamato operad senza permutazioni , o non${\displaystyle\Sigma}$ o semplice operad) consiste in quanto segue:

• una sequenza di insiemi, i cui elementi sono chiamati operazioni -ary ,${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle n}$
• un elemento in chiamato l' identità ,${\displaystyle 1}$${\displaystyle P(1)}$
• per tutti gli interi positivi , , una funzione di composizione${\displaystyle n}$${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{allineato}\circ:P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _ {n}),\end{allineato}}}$

soddisfa i seguenti assiomi di coerenza:

• identità :${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots,1)=\theta =1\circ \theta}$
• associatività :

${\displaystyle {\begin{allineato}&\theta \circ (\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots,\theta _{1,k_{1}}),\ ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}))\\={}&(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{ n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{allineato}}}$

(il numero di argomenti corrisponde alle arieta delle operazioni).

Operazione simmetrica

Un operade simmetrico (spesso chiamato semplicemente operad ) è un operad non simmetrico come sopra, insieme a un'azione retta del gruppo simmetrico su , che soddisfa gli assiomi associativi e di identità di cui sopra, nonché ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle P(n)}$

• equivarianza : date permutazioni ,${\displaystyle s_{i}\in \Sigma _{k_{i}},t\in \Sigma _{n}}$

${\displaystyle {\begin{allineato}&(\theta *t)\circ (\theta _{t^{-1}1},\ldots,\theta _{t^{-1}n})=( \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*t;\\[2pt]&\theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_ {n})\end{allineato}}}$

(dove per abuso di notazione , a destra della prima relazione di equivarianza c'è l'elemento di che agisce sull'insieme scomponendolo in blocchi, il primo di dimensione , il secondo di dimensione , tramite il esimo blocco di dimensione , e quindi permuta questi blocchi per ). ${\displaystyle}$${\displaystyle \Sigma _{k_{1}+\dots +k_{n}}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle}$

Le azioni di permutazione in questa definizione sono vitali per la maggior parte delle applicazioni, inclusa l'applicazione originale per gli spazi di ciclo.

Morfismi

Un morfismo di operadi consiste in una sequenza ${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

Quello:

• conserva l'identità: ${\displaystyle f(1)=1}$
• conserva la composizione: per ogni n -aria operazione e operazioni ,${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots,\theta _{n}))=f(\theta)\circ (f(\theta _{1}),\ldots, f(\theta _{n}))}$

• conserva le azioni di permutazione: .${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

Gli operadi formano quindi una categoria indicata con . ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

In altre categorie

Finora gli operadi sono stati considerati solo nella categoria degli insiemi. In realtà è possibile definire operadi in qualsiasi categoria monoidale simmetrica (o, per operadi non simmetrici, qualsiasi categoria monoidale ).

Un esempio comune sarebbe dato dalla categoria degli spazi topologici , con il prodotto monoidale dato dal prodotto cartesiano . In questo caso, un operato topologico è dato da una sequenza di spazi (invece che di insiemi) . Le mappe di struttura dell'operato (la composizione e le azioni dei gruppi simmetrici) devono quindi essere assunte come continue. Il risultato è chiamato operata topologica . Analogamente, nella definizione di un morfismo, sarebbe necessario assumere che le mappe coinvolte siano continue. ${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

Altre impostazioni comuni per definire gli operadi includono, ad esempio, modulo su un anello , complessi di catene , gruppoidi (o anche la categoria stessa delle categorie), coalgebre , ecc.

Definizione algebrista

Per definizione, un'algebra associativa su un anello commutativo R è un oggetto monoide nella categoria monoidale dei moduli su R . Questa definizione può essere estesa per dare una definizione di un operad: vale a dire, un operad over R è un oggetto monoide nella categoria monoide degli endofuntori su (è una monade ) che soddisfa una condizione di finitezza. ${\displaystyle R-{\mathsf {Mod}}}$${\displaystyle (T,\gamma,\eta)}$${\displaystyle R-{\mathsf {Mod}}}$

Ad esempio, un oggetto monoide nella categoria dei funtori polinomiali è un'operade. Allo stesso modo, un operade simmetrico può essere definito come un oggetto monoide nella categoria degli -oggetti . Un oggetto monoide nella categoria delle specie combinatorie è un operato in insiemi finiti. ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Un'operade nel senso di cui sopra è a volte pensata come un anello generalizzato . Ad esempio, Nikolai Durov definisce il suo anello generalizzato come un oggetto monoide nella categoria monoidale degli endofuctor che commuta con il colimite filtrato. È una generalizzazione di un anello poiché ogni anello ordinario R definisce una monade che invia un insieme X al modulo R libero generato da X . ${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle R^{(X)}}$

Capire gli assiomi

Associatività assioma

"Associatività" significa che la composizione delle operazioni è associativa (la funzione è associativa), analoga all'assioma nella teoria delle categorie che ; esso non significa che le operazioni stesse sono associative come le operazioni. Confronta con l' operato associativo , sotto. ${\displaystyle \circ}$${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

L'associatività nella teoria delle operazioni significa che le espressioni che coinvolgono operazioni possono essere scritte senza ambiguità dalle composizioni omesse, così come l'associatività per le operazioni consente di scrivere prodotti senza ambiguità dalle parentesi omesse.

Ad esempio, if è un'operazione binaria, che viene scritta come o . Quindi può o non può essere associativo. ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta (a,b)}$${\displaystyle (ab)}$${\displaystyle \theta}$

Quindi ciò che viene scritto comunemente è scritto in modo non ambiguo operadico come . Questo invia a (applica sui primi due e l'identità sul terzo), quindi il a sinistra "moltiplica" per . Questo è più chiaro quando viene raffigurato come un albero: ${\displaystyle ((ab)c)}$${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (ab,c)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle c}$

che produce un'operazione 3-aria:

Tuttavia, l'espressione è a priori ambigua: potrebbe significare , se vengono eseguite prima le composizioni interne, oppure potrebbe significare , se vengono eseguite prima le composizioni esterne (le operazioni si leggono da destra a sinistra). Scrivendo , questo è contro . Cioè, all'albero mancano le "parentesi verticali": ${\displaystyle (((ab)c)d)}$${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$${\displaystyle (\theta \circ (\theta,1))\circ ((\theta,1),1)}$${\displaystyle x=\theta,y=(\theta,1),z=((\theta,1),1)}$${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

Se le prime due righe di operazioni vengono composte per prime (mette una parentesi verso l'alto sulla riga; esegue prima la composizione interna), si ottiene quanto segue: ${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

che quindi valuta senza ambiguità per produrre un'operazione 4-ary. Come espressione annotata:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{ c}),1_{d}))}$

Se le due righe di operazioni inferiori vengono composte per prime (mette una parentesi in basso sulla riga; esegue prima la composizione esterna), i seguenti risultati: ${\displaystyle ab\quad c\\d}$

che quindi valuta in modo inequivocabile per produrre un'operazione 4-ary:

L'assioma operato dell'associatività è che queste diano lo stesso risultato , e quindi che l'espressione non sia ambigua. ${\displaystyle (((ab)c)d)}$

assioma dell'identità

L'assioma dell'identità (per un'operazione binaria) può essere visualizzato in un albero come:

il che significa che le tre operazioni ottenute sono uguali: pre- o post-comporre con l'identità non fa differenza. Quanto alle categorie, è un corollario dell'assioma dell'identità. ${\displaystyle 1\circ 1=1}$

Esempi

Endomorfismo operato

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo k . Allora l' endomorfismo operato di V consiste in ${\displaystyle {\mathcal {Fine}}_{V}=\{{\mathcal {Fine}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {Fine}}_{V}(n)}$= lo spazio delle mappe lineari ,${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. (composizione) ,${\displaystyle \gamma (f,g_{1},\dots,g_{n}):V^{\otimes i_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes i_{n}}{\ overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\to }}V^{\otimes n}{\overset {f}{\to }}V}$
3. (identità) ${\displaystyle \eta:k\to {\mathcal {End}}_{V}(1),\,1\mapsto \operatorname {id} _{V},}$
4. (azione di gruppo simmetrica) ${\displaystyle (\gamma (f,g_{1},\dots,g_{n}))*\sigma =f\circ g_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes \dots \otimes g_ {\sigma ^{-1}(n)},\,\sigma \in \Sigma _{n}.}$

Se è un altro operade, ogni morfismo operato è chiamato operade algebra (notare che questo è analogo al fatto che ogni struttura R -module su un gruppo abeliano M equivale a un omomorfismo ad anello .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {Fine}}}$${\displaystyle R\to \operatorname {Fine} (M)}$

A seconda delle applicazioni, sono possibili variazioni di quanto sopra: ad esempio, nella topologia algebrica, invece di spazi vettoriali e prodotti tensoriali tra di essi, si utilizzano spazi topologici (ragionevoli) e prodotti cartesiani tra di essi.

Operadi "qualcosa"

A dischetti operad o, palline operad o, più specificamente, i piccoli n-dischi operad è un topologico operad definito in termini di configurazioni di disgiunto n -dimensionale dischi all'interno di un'unità n -disk centrato nel origine di R ⁿ . La composizione operistica per 2 dischetti è illustrata in figura.

Originariamente il little n-cubes operad o the little interval operad (inizialmente chiamato little n- cubes PROPs ) è stato definito da Michael Boardman e Rainer Vogt in modo simile, in termini di configurazioni di ipercubi n -dimensionali allineati agli assi disgiunti (n- intervalli dimensionali ) all'interno dell'ipercubo unitario . Successivamente è stato generalizzato da maggio a piccoli corpi convessi operati , e "piccoli dischi" è un caso di "folklore" derivato dai "piccoli corpi convessi".

Svizzero-formaggio operad

L'operad Swiss-formaggio è un'operad topologica bicolore definito in termini di configurazioni di disgiunto n -dimensionale dischi all'interno di un'unità n -semidisk e n semidisks -dimensionale, centrato alla base della semidisk e seduto all'interno dell'unità semidisk. La composizione operistica deriva dall'incollaggio di configurazioni di "piccoli" dischi all'interno dell'unità disco nei "piccoli" dischi in un'altra unità semidisco e configurazioni di "piccoli" dischi e semidischi all'interno dell'unità semidisco nell'altra unità semidisco.

L'opera del formaggio svizzero è stata definita da Alexander A. Voronov . Fu usato da Maxim Kontsevich per formulare una versione svizzera della congettura di Deligne sulla coomologia di Hochschild. La congettura di Kontsevich è stata dimostrata in parte da Po Hu , Igor Kriz e Alexander A. Voronov e poi completamente da Justin Thomas .

Operazione associativa

Un'altra classe di esempi di operadi sono quelli che catturano le strutture delle strutture algebriche, come le algebre associative, le algebre commutative e le algebre di Lie. Ciascuno di questi può essere esibito come un'operada presentata in modo finito, in ciascuno di questi tre generati da operazioni binarie.

Quindi, l'operato associativo è generato da un'operazione binaria , soggetta alla condizione che ${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

Questa condizione fa corrispondono alle associatività dell'operazione binaria ; scrivendo in modo moltiplicativo, la condizione di cui sopra è . Questa associatività dell'operazione non va confusa con l'associatività della composizione ; vedi l' assioma di associatività , sopra. ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi (a,b)}$${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

Questo operato è terminale nella categoria degli operadi non simmetrici, in quanto ha esattamente un'operazione n -aria per ogni n, corrispondente al prodotto univoco di n termini: . Per questo motivo, a volte è scritto come 1 dai teorici delle categorie (per analogia con l'insieme a un punto, che è terminale nella categoria degli insiemi). ${\displaystyle x_{1}\dotsb x_{n}}$

Terminale simmetrico operad

L'operade simmetrica terminale è l'operade le cui algebre sono monoidi commutative, che ha anche un'operazione n -aria per ogni n , con ciascuna che agisce banalmente; questa banalità corrisponde alla commutatività, e la cui operazione n -aria è il prodotto univoco di n -termini, dove l'ordine non ha importanza: ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle x_{1}\dotsb x_{n}=x_{\sigma (1)}\dotsb x_{\sigma (n)}}$

per ogni permuta . ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

Operazioni dai gruppi simmetrico e treccia

Esiste un'operada per la quale ciascuna è data dal gruppo simmetrico . Il composito permuta i suoi input in blocchi secondo , e all'interno di blocchi secondo l'appropriato . Allo stesso modo, esiste un non operato per il quale ciascuno è dato dal gruppo di trecce Artin . Inoltre, questo non operato ha la struttura di un operato intrecciato, che generalizza la nozione di operato da gruppi simmetrici a gruppi di treccia. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle\Sigma}$${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle\Sigma}$

Algebra lineare

In algebra lineare , gli spazi vettoriali possono essere considerati algebre sull'operato (la somma diretta infinita , quindi solo un numero finito di termini sono diversi da zero; questo corrisponde a prendere solo somme finite), che parametrizza le combinazioni lineari : il vettore ad esempio corrisponde alla combinazione lineare ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty}}$${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots)}$

${\displaystyle 2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots .}$

Analogamente, combinazioni affine , combinazioni coniche , e combinazioni convesse può ritenere che corrispondono ai sottoprogrammi operads dove i termini riassumono a 1, i termini sono tutti non negativo, o entrambi, rispettivamente. Graficamente, questi sono l'iperpiano affine infinito, l'iperottante infinito e il simplesso infinito. Questo formalizza cosa si intende per essere o il simplesso standard essendo spazi modello e osservazioni come che ogni politopo convesso limitato è l'immagine di un simplesso. Qui le suboperadi corrispondono a operazioni più ristrette e quindi a teorie più generali. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Questo punto di vista formalizza l'idea che le combinazioni lineari sono il tipo più generale di operazione su uno spazio vettoriale – dire che uno spazio vettoriale è un'algebra sull'operato delle combinazioni lineari è precisamente l'affermazione che tutte le possibili operazioni algebriche in uno spazio vettoriale sono combinazioni lineari. Le operazioni di base dell'addizione vettoriale e della moltiplicazione scalare sono un insieme generatore per l'operato di tutte le combinazioni lineari, mentre l'operato delle combinazioni lineari codifica canonicamente tutte le possibili operazioni su uno spazio vettoriale.

Operazione ad anello commutativo

L' operado ad anello commutativo è un operato le cui algebre sono anelli commutativi (forse su un campo base). Il Koszul-duale di esso è il Lie operad e viceversa.

costrutti

Le tipiche costruzioni algebriche (ad esempio, la costruzione di algebra libera) possono essere estese alle operadi. Sia C una categoria di modulo utilizzata nella definizione di un operato; ad esempio, può essere la categoria di -modules per operadi simmetrici. ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Operazione gratuita

C'è il funtore smemorato . Il funtore operato libero è definito come aggiunto sinistro al funtore dimenticato (questa è la definizione usuale di funtore libero ). Come un gruppo o un anello, la costruzione libera permette di esprimere un operato in termini di generatori e relazioni. Per rappresentazione libera di un operato intendiamo scrivere come quoziente di un operato libero generato da un modulo E : allora E è il generatore di e nucleo di è la relazione. ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to {\textbf {C}}}$${\ Displaystyle \ Gamma: {\ textbf {C}} \ a {\ mathsf {Oper}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

Un operade (simmetrico) è detto quadratico se ha una presentazione libera tale che è il generatore e la relazione è contenuta in . ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$${\ Displaystyle \ Gamma (E) (3)}$

Operadi nella teoria dell'omotopia

In Stasheff (2004) , Stasheff scrive:

Le opere sono particolarmente importanti e utili nelle categorie con una buona nozione di "omotopia", dove svolgono un ruolo chiave nell'organizzazione delle gerarchie di omotopie superiori.

Guarda anche

• PRO (teoria delle categorie)
• Algebra su un'operad
• Operazione di ordine superiore
• E∞-operad
• Pseudoalgebra
• Multicategoria

Appunti

citazioni

Riferimenti

• Tom Leinster (2004). Operadi superiori, categorie superiori . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode : 2004hohc.book.....L . ISBN 978-0-521-53215-0.
• Martin Markl, Steve Shnider , Jim Stasheff (2002). Operadi in Algebra, Topologia e Fisica . Società matematica americana. ISBN 978-0-8218-4362-8.CS1 maint: più nomi: elenco autori ( link )
• Markl, Martin (giugno 2006). "Operadi e PROP". arXiv : math/0601129 .
• Stasheff, Jim (giugno-luglio 2004). "Cos'è... un'operade?" (PDF) . Avvisi dell'American Mathematical Society . 51 (6): 630–631 . Estratto il 17 gennaio 2008 .
• Loday, Jean-Louis ; Vallette, Bruno (2012), Operadi algebrici (PDF) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 346 , Berlino, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-642-30361-6
• Zinbiel, Guillaume W. (2012), "Enciclopedia dei tipi di algebre 2010", in Bai, Chengming; Guo, Li; Loday, Jean-Louis (a cura di), Operads and universal algebra , Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics, 9 , pp. 217-298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode : 2011arXiv1101.0267Z , ISBN 9789814365116
• Fresse, Benoit (17 maggio 2017), Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups , Mathematical Surveys and Monographs, American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-3480-9, MR  3643404 , Zbl  1373.55014
• Miguel A. Mendéz (2015). Set Operad in Combinatoria e Informatica . Springer: Brevi in ​​Matematica. ISBN  978-3-319-11712-6 .
• Samuele Giraudo (2018). Operadi non simmetrici in combinatoria . Edizioni internazionali Springer. ISBN  978-3-030-02073-6 .

link esterno

• operato in nLab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html