Teorema della proiezione di Hilbert - Hilbert projection theorem

Prova che esiste un punto di minimo${\displaystyle y}$  -

Sia la distanza tra e una sequenza in modo tale che la distanza al quadrato tra e sia minore o uguale a Sia e sia due numeri interi, allora sono vere le seguenti uguaglianze: ${\displaystyle \delta :=\inf _{c\in C}\|xc\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle \delta ^{2}+1/n.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

e Perciò (Questa equazione è la stessa della formula${\displaystyle a^{2}=2b^{2}+2c^{2}-4M_{a}^{2}}$ per la lunghezza di una mediana in un triangolo con i lati di lunghezza e dove, nello specifico, i vertici del triangolo sono ). ${\displaystyle M_{a}}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle x,c_{m},c_{n}}$

Dando un limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza e notando che il centro di e appartiene e ha quindi una distanza maggiore o uguale a da ne segue che: ${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle \|c_{n}-c_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right) +2\sinistra(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\destra)-4\delta ^{2}=2\sinistra({\frac {1}{n}}+{ \frac {1}{m}}\right)}$$

L'ultima disuguaglianza dimostra che è una successione di

Cauchy . Essendo completa, la successione converge quindi ad un punto la cui distanza da è minima. ${\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle m\in C,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \blacksquare}$

La prova che è unica${\displaystyle m}$  -

Sia e sia due punti di minimo . Poi: ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$

Poiché appartiene a noi abbiamo e quindi ${\displaystyle {\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle \left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}}$

Quindi che dimostra l'unicità. ${\displaystyle m_{1}=m_{2},}$${\displaystyle \blacksquare}$

Dimostrazione della caratterizzazione del punto di minimo quando è un sottospazio vettoriale chiuso${\displaystyle C}$  —

Supponiamo che sia un sottospazio vettoriale chiuso di Si deve mostrare che il minimo è l'unico elemento in modo tale che per ogni${\displaystyle C}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle\langle mx,c\rangle =0}$${\displaystyle c\in C.}$

Prova che la condizione è sufficiente: Sia tale che per tutti Se allora e così ${\displaystyle z\in C}$${\displaystyle\langle zx,c\rangle =0}$${\displaystyle c\in C.}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle cz\in C}$

il che implica che Perché era arbitrario, questo lo dimostra e quindi è un punto di minimo. ${\displaystyle \|zx\|^{2}\leq \|cx\|^{2}.}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle \|zx\|=\inf _{c\in C}\|cx\|}$${\displaystyle z}$

Dimostrare che la condizione è necessaria: Sia il punto di minimo. Lascia e perché la minimalità delle garanzie che Così ${\displaystyle m\in C}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle m+tc\in C,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \|mx\|\leq \|(m+tc)-x\|.}$

è sempre non negativo e deve essere un numero reale. Se poi la mappa ha un minimo a e per di più, che è una contraddizione. Così${\displaystyle\langle mx,c\rangle}$${\displaystyle\langle mx,c\rangle\neq 0}$${\displaystyle f(t):=2t\langle mx,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}}$${\displaystyle t_{0}:=-{\frac {\langle mx,c\rangle }{\|c\|^{2}}}}$${\displaystyle f\left(t_{0}\right)<0,}$${\displaystyle\langle mx,c\rangle =0.}$ ${\displaystyle \blacksquare}$

prova  —

Sia come descritto in questo teorema e sia ${\displaystyle C}$

Questo teorema seguirà dai seguenti lemmi.

Il Lemma 2 e il Lemma 1 insieme dimostrano che ne esiste uno tale che il Lemma 1 può essere usato per dimostrare l'unicità come segue. Supponiamo sia tale che e denotiamo la successione con in modo che la sottosequenza degli indici pari sia la successione costante mentre la sottosequenza degli indici dispari sia la successione costante Perché per ogni in cui mostra che la successione soddisfa quindi le ipotesi del Lemma 1. La conclusione di Il Lemma 1 garantisce l'esistenza di alcuni tali che in Perché converge a farlo tutte le sue sottosuccessioni . In particolare, converge la sottosuccessione a che implica che (perché i limiti in sono unici e anche questa sottosuccessione costante converge a ). Allo stesso modo, poiché la sottosuccessione converge a entrambi e Così che dimostra il teorema.${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle \|c\|=d.}$${\displaystyle b\in C}$${\displaystyle \|b\|=d}$${\displaystyle b,c,b,c,b,c,\ldots}$${\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(c_{2n}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle c,c,c,\ldots}$${\displaystyle \left(c_{2n-1}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle b,b,b,\ldots.}$${\displaystyle \left\|c_{n}\right\|=d}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=\lim _{n\to \infty }d=d}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=x}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle c,c,c,\ldots}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle H}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x=b}$${\displaystyle b,b,b,\ldots}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b.}$${\displaystyle b=c,}$${\displaystyle \blacksquare}$