Complemento ortogonale - Orthogonal complement

Nelle matematiche campi di algebra lineare e analisi funzionale , il complemento ortogonale di un sottospazio W di uno spazio vettoriale V dotato di una forma bilineare B è l'insieme W ^⊥ di tutti i vettori di V che sono ortogonali ad ogni vettore in W . Informalmente, è chiamato perp , abbreviazione di complemento perpendicolare . È un sottospazio di V .

Esempio

Nel caso in cui W è il sottospazio di (con il solito prodotto scalare ) attraversato dalle righe della matrice successiva, ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{5}}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|ccc}1&0&2&3&5\\\0&1&6&9&3\end{array}}\right)}$

suo complemento ortogonale W ^⊥ è attraversato da tre righe vettori di

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c|ccc}-2&-6&1&0&0\\-3&-9&0&1&0\\-5&-3&0&0&1\\\end{array}}\right).}$

Il fatto che ogni vettore della prima lista sia ortogonale a ogni vettore della seconda lista può essere verificato mediante calcolo diretto. Il fatto che gli span di questi vettori siano ortogonali segue quindi dalla bilinearità del prodotto scalare. Infine, il fatto che questi spazi siano complementi ortogonali segue dalle relazioni dimensionali riportate di seguito.

Forme bilineari generali

Sia uno spazio vettoriale su un campo dotato di una forma bilineare Definiamo ortogonale a sinistra a , e ortogonale a destra a quando Per un sottoinsieme di definire il complemento ortogonale sinistro per essere ${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B.}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle B(u,v)=0.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle W^{\bot }}$

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0{\mbox{ per tutti}}y\in W\right\}.}$

Esiste una definizione corrispondente di complemento ortogonale destro. Per una forma riflessiva bilineare , dove implica per tutti e nei complementi sinistro e destro coincidono. Questo sarà il caso se è una forma simmetrica o alternata . ${\displaystyle B(u,v)=0}$${\displaystyle B(v,u)=0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle B}$

La definizione si estende ad una forma bilineare su un modulo libero su un anello commutativo , e ad una forma sesquilineare estesa per includere qualsiasi modulo libero su un anello commutativo con coniugazione .

Proprietà

• Un complemento ortogonale è un sottospazio di ;${\displaystyle V}$
• Se poi ;${\displaystyle X\subseteq Y}$${\displaystyle X^{\bot }\supseteq Y^{\bot }}$
• Il radicale di è un sottospazio di ogni complemento ortogonale;${\displaystyle V^{\bot }}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }}$;
• Se non è degenere ed è di dimensione finita, allora${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\bot })=\dim V.}$
• Se sono sottospazi di uno spazio a dimensione finita e allora${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$${\displaystyle L_{*}^{\bot }=L_{1}^{\bot }+\cdots +L_{r}^{\bot }.}$

Spazi interni del prodotto

Questa sezione considera i complementi ortogonali in uno spazio prodotto interno Due vettori e sono chiamati ortogonali se ciò accade se e solo se per tutti gli scalari Se è un sottoinsieme di uno spazio prodotto interno allora il suo${\displaystyle H.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle\langle x,y\rangle =0,}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$${\displaystyle s.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$ complemento ortogonale in${\displaystyle H}$è il sottospazio vettoriale

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C^{\bot}:&=\{x\in H:\langle x,c\rangle =0{\text{ per tutti}}c\in C\ }\\&=\{x\in H:\langle c,x\rangle =0{\text{ per tutti }}c\in C\}\end{alignedat}}}$$

che è sempre un sottoinsieme chiuso di che soddisfa e se allora anche e Se è un sottospazio vettoriale di uno spazio prodotto interno allora ${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{\bot}=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot}}$${\displaystyle C\neq \varnothing}$${\displaystyle C^{\bot}\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot}\right)^{\bot}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$

Se è un sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio di Hilbert allora ${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$ dove si chiama${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$decomposizione ortogonale diinee indica cheè unsottospazio complementatodicon complemento${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{\bot}.}$

Proprietà

Il complemento ortogonale è sempre chiuso nella topologia metrica. Negli spazi a dimensione finita, questo è semplicemente un esempio del fatto che tutti i sottospazi di uno spazio vettoriale sono chiusi. Negli spazi di Hilbert a dimensione infinita , alcuni sottospazi non sono chiusi, ma tutti i complementi ortogonali sono chiusi. Se è un sottospazio vettoriale di uno

spazio prodotto interno il complemento ortogonale del complemento ortogonale di è la chiusura di cioè, ${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W,}$

$${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}$$

Alcune altre proprietà utili che valgono sempre sono le seguenti. Sia uno spazio di Hilbert e siano i suoi sottospazi lineari. Quindi: ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }}$;
• se poi ;${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }}$
• ${\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}}$;
• ${\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }}$;
• if è un sottospazio lineare chiuso di then ;${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X}$
• se è un sottospazio lineare chiusa allora la (interno)

somma diretta .${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H=X\oplus X^{\bot},}$

Il complemento ortogonale generalizza all'annichilatore , e fornisce una connessione di Galois su sottoinsiemi dello spazio prodotto interno, con associato operatore di chiusura la chiusura topologica della campata.

Dimensioni finite

Per uno spazio prodotto interno di dimensione finito il complemento ortogonale di un sottospazio -dimensionale è un sottospazio -dimensionale, e il doppio complemento ortogonale è il sottospazio originale: ${\displaystyle n,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (nk)}$

$${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}$$

Se è una matrice, dove e si riferiscono allo

spazio delle righe , dello spazio delle colonne e dello spazio nullo di (rispettivamente), allora ${\displaystyle A}$${\displaystyle m\volte n}$${\displaystyle \nomeoperatore {riga} A,}$ ${\displaystyle \nomeoperatore {Col} A,}$${\displaystyle \operatorname {Null} A}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \left(\operatorname {Row} A\right)^{\bot }=\operatorname {Null} A\qquad {\text{ e }}\qquad \left(\operatorname {Col} A\right) ^{\bot }=\operatorname {Null} A^{\operatorname {T} }.}$$

Spazi Banach

C'è un analogo naturale di questa nozione negli spazi di Banach generali . In questo caso si definisce il complemento ortogonale di W come un sottospazio del duale di V definito similmente come l' annichilatore

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$

È sempre un sottospazio chiuso di V ^∗ . Esiste anche un analogo della proprietà del doppio complemento. W ^⊥⊥ è ora un sottospazio di V ^** (che non è identico a V ). Tuttavia, gli spazi riflessivi hanno una naturale isomorfismo i fra V e V ^** . In questo caso abbiamo

${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot}.}$

Questa è una conseguenza piuttosto semplice del teorema di Hahn-Banach .

Applicazioni

Nella relatività ristretta il complemento ortogonale viene utilizzato per determinare l' iperpiano simultaneo in un punto di una linea di universo . La forma bilineare usata nello spazio di Minkowski determina uno spazio degli eventi

pseudo-euclideo . L'origine e tutti gli eventi sul cono di luce sono auto-ortogonali. Quando un evento temporale e un evento spaziale valutano zero sotto la forma bilineare, allora sono iperbolico-ortogonali . Questa terminologia deriva dall'uso di due iperboli coniugate nel piano pseudo-euclideo: i diametri coniugati di queste iperboli sono iperbolico-ortogonali.

Guarda anche

• reticolo complementato
• Sottospazio complementato
• Teorema della proiezione di Hilbert
• Proiezione ortogonale

Appunti

Riferimenti

Bibliografia

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: un approccio tramite la teoria dei moduli , Testi di laurea in matematica , 136 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl  0768.00003
• Halmos, Paul R. (1974), Spazi vettoriali a dimensione finita , Undergraduate Texts in Mathematics , Berlino, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl  0288.15002
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Forme bilineari simmetriche , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , 73 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl  0292.10016
• Rudin, Walter (1991). Analisi Funzionale . Serie internazionale di matematica pura e applicata. 8 (Seconda ed.). New York, NY: McGraw-Hill Scienza/Ingegneria/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

link esterno

• Complemento ortogonale ; Minuto 9.00 nel Video Youtube
• Video didattico che descrive i complementi ortogonali (Khan Academy)