Prova derivata - Derivative test

Nel calcolo , un test di derivata utilizza le derivate di una funzione per individuare i punti critici di una funzione e determinare se ogni punto è un massimo locale , un minimo locale o un punto di sella . I test derivativi possono anche fornire informazioni sulla concavità di una funzione.

L'utilità delle derivate per trovare gli estremi è dimostrata matematicamente dal teorema di Fermat dei punti stazionari .

Test della prima derivata

Il test della prima derivata esamina le proprietà monotone di una funzione (dove la funzione è crescente o decrescente ), concentrandosi su un punto particolare nel suo dominio . Se la funzione "passa" da crescente a decrescente in quel punto, allora la funzione raggiungerà un valore più alto in quel punto. Allo stesso modo, se la funzione "passa" da decrescente a crescente in quel punto, raggiungerà un valore minimo in quel punto. Se la funzione non riesce a "commutare" e continua ad aumentare oa diminuire, non viene raggiunto alcun valore massimo o minimo.

Si può esaminare la monotonia di una funzione senza calcolo. Tuttavia, il calcolo è di solito utile perché ci sono condizioni sufficienti che garantiscono le proprietà di monotonicità di cui sopra, e queste condizioni si applicano alla stragrande maggioranza delle funzioni che si potrebbero incontrare.

Dichiarazione precisa delle proprietà di monotonicità

Detto precisamente, supponiamo che f sia una funzione continua a valori reali di una variabile reale, definita su un intervallo aperto contenente il punto x .

• Se esiste un numero positivo r  > 0 tale che f è debolmente crescente su ( x − r , x ] e debolmente decrescente su [ x , x + r ) , allora f ha un massimo locale in x . Questa affermazione funziona anche al contrario, se x è un punto di massimo locale, allora f è debolmente crescente su ( x  −  r ,  x ] e debolmente decrescente su [ x , x  +  r ) .
• Se esiste un numero positivo r  > 0 tale che f è strettamente crescente su ( x − r , x ] e strettamente crescente su [ x , x + r ) , allora f è strettamente crescente su ( x − r , x + r ) e non ha un massimo o un minimo locale in x .

Questa affermazione è una diretta conseguenza di come vengono definiti gli estremi locali . Cioè, se x ₀ è un punto di massimo locale, allora esiste r  > 0 tale che f ( x ) ≤ f ( x ₀ ) per x in ( x ₀  −  r , x ₀  +  r ) , il che significa che f ha aumentare da x ₀  −  r a x ₀ e deve diminuire da x ₀ a x ₀  +  r perché f è continua.

Si noti che nei primi due casi non è necessario che f sia strettamente crescente o strettamente decrescente a sinistra oa destra di x , mentre negli ultimi due casi è richiesto che f sia strettamente crescente o strettamente decrescente. Il motivo è che nella definizione di massimo e minimo locale, non è necessario che la disuguaglianza sia rigorosa: ad esempio, ogni valore di una funzione costante è considerato sia un massimo locale che un minimo locale.

Enunciato preciso del test della derivata prima

Il test della prima derivata dipende dal "test crescente-decrescente", che è esso stesso in definitiva una conseguenza del teorema del valore medio . È una diretta conseguenza del modo in cui viene definita la derivata e della sua connessione alla diminuzione e all'aumento di una funzione localmente, combinata con la sezione precedente.

Supponiamo che f sia una funzione a valori reali di una variabile reale definita su un intervallo contenente il punto critico a . Supponiamo inoltre che f sia continua in a e differenziabile su un intervallo aperto contenente a , tranne forse in a stesso.

• Se esiste un numero positivo r  > 0 tale che per ogni x in ( a − r , a ) abbiamo f ′ ( x ) ≥ 0, e per ogni x in ( a , a + r ) abbiamo f ′ ( x ) ≤ 0, allora f ha un massimo locale in a .
• Se esiste un numero positivo r  > 0 tale che per ogni x in ( a − r , a ) ∪ ( a , a + r ) abbiamo f ′ ( x ) > 0, allora f è strettamente crescente in a e non ha né un massimo locale né un minimo locale lì.
• Se nessuna delle condizioni di cui sopra è valida, il test fallisce. (Tale condizione non è vacua ; ci sono funzioni che non soddisfano nessuna delle prime tre condizioni, ad esempio f ( x ) = x ²  sin(1/ x )).

Anche in questo caso, in corrispondenza dei commenti nella sezione sulle proprietà di monotonicità, si noti che nei primi due casi non è richiesto che la disuguaglianza sia rigorosa, mentre nei due successivi è richiesta una disuguaglianza rigorosa.

Applicazioni

Il test della prima derivata è utile per risolvere problemi di ottimizzazione in fisica, economia e ingegneria. In combinazione con il teorema del valore estremo , può essere utilizzato per trovare il massimo e il minimo assoluti di una funzione a valori reali definita su un intervallo chiuso e limitato . Insieme ad altre informazioni come concavità, punti di flesso e asintoti , può essere utilizzato per tracciare il grafico di una funzione.

Test della derivata seconda (variabile singola)

Dopo aver stabilito i punti critici di una funzione, il test della derivata seconda utilizza il valore della derivata seconda in quei punti per determinare se tali punti sono un massimo locale o un minimo locale . Se la funzione f è due volte derivabile in un punto critico x (cioè un punto dove f ′ ( x ) = 0), allora:

• Se , allora ha un massimo locale a .${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Se , allora ha un minimo locale a .${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Se , il test è inconcludente.${\displaystyle f''(x)=0}$

Nell'ultimo caso, il teorema di Taylor può talvolta essere utilizzato per determinare il comportamento di f vicino a x utilizzando derivate maggiori .

Dimostrazione del test della derivata seconda

Supponiamo di avere (la dimostrazione per è analoga). Per ipotesi, . Quindi ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\ a 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

Quindi, per h sufficientemente piccolo otteniamo

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

il che significa che if (intuitivamente f è decrescente man mano che si avvicina da sinistra), e che if (intuitivamente f cresce man mano che si procede da x ). Ora, per il test della derivata prima , ha un minimo locale a . ${\displaystyle f'(x+h)<0}$${\displaystyleh<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'(x+h)>0}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Prova di concavità

Un uso correlato ma distinto delle derivate seconde è determinare se una funzione è concava verso l'alto o verso il basso in un punto. Tuttavia, non fornisce informazioni sui punti di flesso . In particolare, una funzione f due volte differenziabile è concava in su se e concava in giù se . Nota che se , allora ha derivata seconda zero, ma non è un punto di flesso, quindi la derivata seconda da sola non fornisce informazioni sufficienti per determinare se un dato punto è un punto di flesso. ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle x=0}$

Test della derivata di ordine superiore

Il test della derivata di ordine superiore o il test della derivata generale è in grado di determinare se i punti critici di una funzione sono massimi, minimi o punti di flesso per una più ampia varietà di funzioni rispetto al test della derivata del secondo ordine. Come mostrato di seguito, il test della derivata seconda è matematicamente identico al caso speciale di n  = 1 nel test della derivata di ordine superiore.

Sia f una funzione a valori reali sufficientemente differenziabile su un intervallo , sia , e sia un numero naturale . Anche tutte le derivate di f at c siano zero fino alla derivata n -  esima inclusa , ma con la derivata ( n + 1)-esima diversa da zero: ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle c\in io}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{e}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0 .}$

Ci sono quattro possibilità, i primi due casi in cui c è un estremo, i secondi due in cui c è un punto di sella (locale):

• Se n è dispari e , allora c è un massimo locale.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• Se n è dispari e , allora c è un minimo locale.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$
• Se n è pari e , allora c è un punto di flesso strettamente decrescente.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• Se n è pari e , allora c è un punto di flesso strettamente crescente.${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$

Poiché n deve essere pari o dispari, questo test analitico classifica qualsiasi punto stazionario di f , purché alla fine si presenti una derivata diversa da zero.

Esempio

Diciamo che vogliamo eseguire il test della derivata generale sulla funzione nel punto . Per fare ciò, calcoliamo le derivate della funzione e poi le valutiamo nel punto di interesse finché il risultato è diverso da zero. ${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$, ${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$, ${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$, ${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$, ${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$, ${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$, ${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

Come mostrato sopra, al punto , la funzione ha tutte le sue derivate a 0 uguali a 0, tranne la sesta derivata, che è positiva. Quindi n  = 5, e per il test, c'è un minimo locale a 0. ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x^{6}+5}$

Caso multivariabile

Per una funzione di più di una variabile, il test della derivata seconda generalizza a un test basato sugli autovalori della matrice hessiana della funzione nel punto critico. In particolare, supponendo che tutte le derivate parziali del secondo ordine di f siano continue su un intorno di un punto critico x , allora se gli autovalori dell'Hessiano in x sono tutti positivi, allora x è un minimo locale. Se gli autovalori sono tutti negativi, allora x è un massimo locale, e se alcuni sono positivi e altri negativi, allora il punto è un punto di sella . Se la matrice hessiana è singolare , il test della derivata seconda è inconcludente.

Guarda anche

Ulteriori letture

• Chiang, Alpha C. (1984). Metodi Fondamentali di Economia Matematica (Terza ed.). New York: McGraw-Hill. pp.  231-267 . ISBN 0-07-010813-7.
• Marsden, Jerrold ; Weinstein, Alan (1985). Calcolo I (2a ed.). New York: Springer. pp. 139-199. ISBN 0-387-90974-5.
• Shockley, James E. (1976). Il calcolo breve: con applicazioni nelle scienze sociali (2a ed.). New York: Holt, Rinehart e Winston. pp. 77-109. ISBN 0-03-089397-6.
• Stewart, James (2008). Calcolo: Primi trascendentali (6a ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Willard, Stephen (1976). Calcolo e sue applicazioni . Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 103-145. ISBN 0-87150-203-8.

link esterno

• "Secondo test sulle derivate" a Mathworld
• Concavità e il secondo test della derivata
• L'uso del Second Derivative Test da parte di Thomas Simpson per trovare i massimi e i minimi alla convergenza