Regularización dimensional - Dimensional regularization

Renormalización y regularización
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En física teórica , la regularización dimensional es un método introducido por Giambiagi y Bollini , así como, de forma independiente y más completa, por 't Hooft y Veltman para regularizar integrales en la evaluación de diagramas de Feynman ; es decir, asignándoles valores que son funciones meromórficas de un parámetro complejo d , la continuación analítica del número de dimensiones espaciotemporales.

La regularización dimensional escribe una integral de Feynman como una integral dependiendo de la dimensión del espacio-tiempo d y las distancias al cuadrado ( x _i - x _j ) ² de los puntos del espacio-tiempo x _i , ... que aparecen en ella. En el espacio euclidiano , la integral a menudo converge para −Re ( d ) suficientemente grande y puede continuar analíticamente desde esta región hasta una función meromórfica definida para todo el complejo d . En general, habrá un polo en el valor físico (generalmente 4) de d , que necesita ser cancelado por renormalización para obtener cantidades físicas. Etingof (1999) mostró que la regularización dimensional está matemáticamente bien definida, al menos en el caso de campos euclidianos masivos, utilizando el polinomio de Bernstein-Sato para realizar la continuación analítica.

Aunque el método se comprende mejor cuando se restan los polos y d se reemplaza una vez más por 4, también ha tenido algunos éxitos cuando se toma d para aproximarse a otro valor entero donde la teoría parece estar fuertemente acoplada como en el caso de la Punto fijo de Wilson-Fisher . Otro salto consiste en tomar en serio la interpolación a través de dimensiones fraccionarias. Esto ha llevado a algunos autores a sugerir que la regularización dimensional puede usarse para estudiar la física de cristales que macroscópicamente parecen ser fractales .

Se ha argumentado que la regularización Zeta y la regularización dimensional son equivalentes ya que usan el mismo principio de usar la continuación analítica para que una serie o integral converja.

Ejemplo

Supongamos que uno desea regularizar dimensionalmente una integral de bucle que es logarítmicamente divergente en cuatro dimensiones, como

${\ Displaystyle I = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {1} {\ left (p ^ {2} + m ^ {2 } \ right) ^ {2}}}.}$

Primero, escriba la integral en un número de dimensiones general no entero , donde luego se tomará como pequeño,${\ Displaystyle d = 4- \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

Si el integrando solo depende de , podemos aplicar la fórmula${\ Displaystyle p ^ {2}}$Para dimensiones enteras como , esta fórmula se reduce a integrales familiares sobre capas delgadas como . Para dimensiones no enteras, definimos el valor de la integral de esta manera por continuación analítica. Esto da${\ Displaystyle d = 3}$${\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dp \, 4 \ pi p ^ {2} f (p ^ {2})}$

$${\ Displaystyle I = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dp} {(2 \ pi) ^ {4- \ varepsilon}}} {\ frac {2 \ pi ^ {(4- \ varepsilon) / 2}} {\ Gamma \ left ({\ frac {4- \ varepsilon} {2}} \ right)}} {\ frac {p ^ {3- \ varepsilon}} {\ left (p ^ { 2} + m ^ {2} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {2 ^ {\ varepsilon -4} \ pi ^ {{\ frac {\ varepsilon} {2}} - 1}} { \ sin \ left ({\ frac {\ pi \ varepsilon} {2}} \ right) \ Gamma \ left (1 - {\ frac {\ varepsilon} {2}} \ right)}} m ^ {- \ varepsilon } = {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2} \ varepsilon}} - {\ frac {1} {16 \ pi ^ {2}}} \ left (\ ln {\ frac {m ^ {2 }} {4 \ pi}} + \ gamma \ right) + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon).}$$

Tenga en cuenta que la integral nuevamente diverge como , pero es finita para valores pequeños arbitrarios . ${\ displaystyle \ varepsilon \ rightarrow 0}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ neq 0}$

Notas

Referencias

• Bollini, Carlos; Giambiagi, Juan José (1972), "Renormalización dimensional: el número de dimensiones como parámetro regularizador". , Il Nuovo Cimento B , 12 (1): 20–26, doi : 10.1007 / BF02895558 (inactivo el 31 de mayo de 2021)Mantenimiento de CS1: DOI inactivo a partir de mayo de 2021 ( enlace )
• Etingof, Pavel (1999), "Nota sobre la regularización dimensional" , Campos cuánticos y cadenas: un curso para matemáticos, vol. 1, (Princeton, Nueva Jersey, 1996/1997) , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 597–607, ISBN 978-0-8218-2012-4, MR  1701608
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regularization and renormalization of gauge fields", Nuclear Physics B , 44 (1): 189-213, Bibcode : 1972NuPhB..44..189T , doi : 10.1016 / 0550-3213 (72) 90279-9 , hdl : 1874/4845 , ISSN  0550-3213