Matrice difettosa - Defective matrix

In algebra lineare , una matrice difettosa è una matrice quadrata che non ha una base completa di autovettori , e quindi non è diagonalizzabile . In particolare, una matrice n  ×  n è difettosa se e solo se non ha n autovettori linearmente indipendenti . Una base completa si forma aumentando gli autovettori con autovettori generalizzati , che sono necessari per risolvere sistemi difettosi di equazioni differenziali ordinarie e altri problemi.

Una matrice n  ×  n difettosa ha sempre meno di n autovalori distinti , poiché autovalori distinti hanno sempre autovettori linearmente indipendenti. In particolare, una matrice difettosa ha uno o più autovalori λ con molteplicità algebrica m > 1 (cioè sono radici multiple del polinomio caratteristico ), ma meno di m autovettori linearmente indipendenti associati a λ . Se la molteplicità algebrica di λ supera la molteplicità geometrica (cioè, il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a λ ), quindi λ si dice che sia un difettoso autovalore . Tuttavia, ogni autovalore con molteplicità algebrica m ha sempre m autovettori generalizzati linearmente indipendenti.

Una matrice hermitiana (o il caso particolare di una matrice simmetrica reale ) o una matrice unitaria non è mai difettosa; più in generale, una matrice normale (che include hermitiani e unitari come casi particolari) non è mai difettosa.

Blocco Giordano

Qualsiasi blocco Jordan non banale di dimensione 2 × 2 o più grande (cioè non completamente diagonale) è difettoso. (Una matrice diagonale è un caso speciale della forma normale di Jordan e non è difettosa.) Ad esempio, il blocco di Jordan n  ×  n

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\; &\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

ha un autovalore , λ, con molteplicità algebrica n , ma un solo autovettore distinto,

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$

In effetti, qualsiasi matrice difettosa ha una forma normale di Jordan non banale , che è il più vicino possibile alla diagonalizzazione di tale matrice.

Esempio

Un semplice esempio di matrice difettosa è

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

che ha un doppio autovalore di 3 ma un solo autovettore distinto

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(e suoi multipli costanti).

Guarda anche

• Giordania forma normale

Appunti

Riferimenti

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3a ed.), Baltimora: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Algebra lineare e sue applicazioni (3a ed.). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.