Giordania forma normale - Jordan normal form

In algebra lineare , una forma normale di Jordan , nota anche come forma canonica di Jordan o JCF , è una matrice triangolare superiore di una forma particolare chiamata matrice di Jordan che rappresenta un operatore lineare su uno spazio vettoriale a dimensione finita rispetto a una base . Tale matrice ha ciascuna entrata fuori diagonale diversa da zero uguale a 1, immediatamente sopra la diagonale principale (sulla superdiagonale ), e con entrate diagonali identiche a sinistra e sotto di esse.

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K . Allora una base rispetto alla quale la matrice ha la forma richiesta esiste se e solo se tutti gli autovalori della matrice giacciono in K , o equivalentemente se il polinomio caratteristico dell'operatore si scompone in fattori lineari su K . Questa condizione è sempre soddisfatta se K è algebricamente chiuso (ad esempio se è il campo dei numeri complessi ). Gli elementi diagonali della forma normale sono gli autovalori (dell'operatore), e il numero di volte in cui ogni autovalore si verifica è chiamato molteplicità algebrica dell'autovalore.

Se l'operatore è originariamente dato da una matrice quadrata M , allora la sua forma normale di Jordan è anche chiamata forma normale di Jordan di M . Qualsiasi matrice quadrata ha una forma normale di Jordan se il campo dei coefficienti viene esteso a quello contenente tutti gli autovalori della matrice. Nonostante il suo nome, la forma normale per un dato M non è del tutto univoca, poiché è una matrice diagonale a blocchi formata da blocchi di Jordan , il cui ordine non è fisso; è convenzionale raggruppare blocchi per lo stesso autovalore, ma non viene imposto alcun ordinamento tra gli autovalori, né tra i blocchi per un dato autovalore, sebbene quest'ultimo possa ad esempio essere ordinato per dimensione debolmente decrescente.

La scomposizione di Jordan-Chevalley è particolarmente semplice rispetto a una base per la quale l'operatore assume la sua forma normale di Jordan. La forma diagonale per matrici diagonalizzabili , ad esempio matrici normali , è un caso speciale della forma normale di Jordan.

La forma normale di Jordan prende il nome da Camille Jordan , che per primo affermò il teorema di decomposizione di Jordan nel 1870.

Panoramica

Notazione

Alcuni libri di testo hanno quelli sulla sottodiagonale ; cioè, immediatamente sotto la diagonale principale invece che sulla superdiagonale. Gli autovalori sono ancora sulla diagonale principale.

Motivazione

Una matrice A n × n è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni degli autospazi è n . Oppure, equivalentemente, se e solo se A ha n autovettori linearmente indipendenti . Non tutte le matrici sono diagonalizzabili; le matrici che non sono diagonalizzabili sono dette matrici difettose . Considera la seguente matrice:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&- 1&2\end{array}}\right].}$

Includendo la molteplicità, gli autovalori di A sono λ = 1, 2, 4, 4. La dimensione dell'autospazio corrispondente all'autovalore 4 è 1 (e non 2), quindi A non è diagonalizzabile. Tuttavia, esiste una matrice invertibile P tale che J = P ⁻¹ AP , dove

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

La matrice J è quasi diagonale. Questa è la forma normale di Jordan di A . La sezione Esempio di seguito compila i dettagli del calcolo.

matrici complesse

In generale, una matrice quadrata complessa A è simile a una matrice diagonale a blocchi

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

dove ogni blocco J _i è una matrice quadrata della forma

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\; &\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

Quindi esiste una matrice invertibile P tale che P ⁻¹ AP = J è tale che gli unici elementi non nulli di J sono sulla diagonale e sulla superdiagonale. J è chiamata la forma normale di Jordan di A . Ogni J _i è chiamato un blocco di Jordan di A . In un dato blocco Jordan, ogni entrata sulla superdiagonale è 1.

Assumendo questo risultato, possiamo dedurre le seguenti proprietà:

• Contando le molteplicità, gli autovalori di J , e quindi di A , sono gli elementi diagonali.
• Dato un autovalore λ _i , la sua molteplicità geometrica è la dimensione di Ker( A − λ _i I ), dove I è la matrice identità , ed è il numero di blocchi di Jordan corrispondenti a λ _i .
• La somma delle dimensioni di tutti i blocchi di Jordan corrispondenti a un autovalore λ _i è la sua molteplicità algebrica .
• A è diagonalizzabile se e solo se, per ogni autovalore λ di A , le sue molteplicità geometriche e algebriche coincidono. In particolare, i blocchi di Jordan in questo caso sono matrici 1×1 ; cioè scalari.
• Il blocco di Jordan corrispondente a λ è della forma λI + N , dove N è una matrice nilpotente definita come N _ij = δ _{i , j −1} (dove δ è il delta di Kronecker ). La nilpotenza di N può essere sfruttata nel calcolo di f ( A ) dove f è una funzione analitica complessa. Ad esempio, in linea di principio la forma di Jordan potrebbe fornire un'espressione in forma chiusa per l'esponenziale exp( A ).
• Il numero di blocchi Jordan corrispondenti a λ di dimensione almeno j è dim Ker( A − λI ) ^j − dim Ker( A - λI ) ^{j −1} . Quindi, il numero di blocchi di Jordan di dimensione j è

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker (A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• Dato un autovalore λ _i , la sua molteplicità nel polinomio minimo è la dimensione del suo blocco di Jordan più grande.

Esempio

Considera la matrice dell'esempio nella sezione precedente. La forma normale di Jordan si ottiene mediante alcune trasformazioni per similarità: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$ questo è, ${\displaystyle AP=PJ.}$

Siano i vettori colonna , , allora ${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3 }&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{ 3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

Lo vediamo

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

Perché abbiamo , cioè è un autovettore di corrispondente all'autovalore . Per , moltiplicando entrambi i membri per dà ${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle p_{i}\in \operatorname {Ker} (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle i=4}$${\displaystyle (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Ma così ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

Così, ${\displaystyle p_{4}\in \operatorname {Ker} (A-4I)^{2}.}$

Vettori come vengono chiamati autovettori generalizzati di A . ${\displaystyle p_{4}}$

Esempio: ottenere la forma normale

Questo esempio mostra come calcolare la forma normale di Jordan di una data matrice.

Considera la matrice

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{bmatrix}}}$

di cui si parla all'inizio dell'articolo.

Il polinomio caratteristico di A è

${\displaystyle {\begin{allineato}\chi (\lambda)&=\det(\lambda IA)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2} -64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{allineato}}}$

Questo mostra che gli autovalori sono 1, 2, 4 e 4, secondo la molteplicità algebrica. L'autospazio corrispondente all'autovalore 1 si trova risolvendo l'equazione Av = λ v . È attraversato dal vettore colonna v = (−1, 1, 0, 0) ^T . Allo stesso modo, l'autospazio corrispondente all'autovalore 2 è attraversato da w = (1, −1, 0, 1) ^T . Infine, anche l'autospazio corrispondente all'autovalore 4 è unidimensionale (anche se questo è un doppio autovalore) ed è attraversato da x = (1, 0, −1, 1) ^T . Quindi, la molteplicità geometrica (cioè la dimensione dell'autospazio dell'autovalore dato) di ciascuno dei tre autovalori è uno. Pertanto, i due autovalori pari a 4 corrispondono ad un singolo blocco di Jordan, e la forma normale di Jordan della matrice A è la somma diretta

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{ bmatrice}}.}$

Ci sono tre catene giordane . Due hanno lunghezza uno: { v } e { w }, corrispondenti rispettivamente agli autovalori 1 e 2. Esiste una catena di lunghezza due corrispondente all'autovalore 4. Per trovare questa catena, calcolare

${\displaystyle \ker {(A-4I)}^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}} ,{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\right\}}$

dove I è la matrice identità 4 × 4. Scegli un vettore nell'intervallo sopra che non sia nel kernel di A  − 4 I ; per esempio, y = (1,0,0,0) ^T . Ora, ( A  − 4 I ) y = x e ( A  − 4 I ) x = 0, quindi { y , x } è una catena di lunghezza due corrispondente all'autovalore 4.

La matrice di transizione P tale che P ⁻¹ AP = J è formata accostando questi vettori come segue

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0& -1&0\\0&1&1&0\end{bmatrice}}.}$

Un calcolo mostra che l'equazione P ⁻¹ AP = J è effettivamente valida.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Se avessimo scambiato l'ordine in cui sono apparsi i vettori della catena, cioè cambiando insieme l'ordine di v , w e { x , y }, i blocchi di Jordan sarebbero stati scambiati. Tuttavia, le forme Jordan sono forme Jordan equivalenti.

Autovettori generalizzati

Dato un autovalore λ, il suo blocco di Jordan corrispondente dà luogo a una catena di Jordan . Il generatore , o vettore di piombo , diciamo p _r , della catena è un autovettore generalizzato tale che ( A − λ I ) ^r p _r = 0, dove r è la dimensione del blocco di Jordan. Il vettore p ₁ = ( A − λ I ) ^{r −1} p _r è un autovettore corrispondente a λ. In generale, p _i è una preimmagine di p _{i −1} sotto A − λ I . Quindi il vettore principale genera la catena moltiplicando per ( A − λ I ).

Pertanto, l'affermazione che ogni matrice quadrata A può essere posta in forma normale di Jordan è equivalente all'affermazione che esiste una base costituita solo da autovettori e autovettori generalizzati di A .

Una prova

Diamo una prova per induzione che qualsiasi matrice A a valori complessi può essere posta in forma normale di Jordan. Il caso 1 × 1 è banale. Sia A una matrice n × n . Prendi un qualsiasi autovalore λ di A . L' intervallo di A − λ I , indicato con Ran( A − λ I ), è un sottospazio invariante di A . Inoltre, poiché è un autovalore di A , la dimensione di Ran( A − λ I ), r , è strettamente minore di n . Sia A' la restrizione di A a Ran( A − λ I ), per ipotesi induttiva, esiste una base { p ₁ , …, p _r } tale che A' , espresso rispetto a tale base, sia in Jordan normale modulo.

Consideriamo ora il kernel , cioè il sottospazio Ker( A − λ I ). Se

${\displaystyle \mathrm {Ran} (A-\lambda I)\cap \mathrm {Ker} (A-\lambda I)=\{0\},}$

il risultato desiderato segue immediatamente dal teorema di rango-nullità . Questo sarebbe il caso, ad esempio, se A fosse hermitiano .

Altrimenti, se

${\displaystyle Q=\mathrm {Ran} (A-\lambda I)\cap \mathrm {Ker} (A-\lambda I)\neq \{0\},}$

lasciare che la dimensione di Q sia s ≤ r . Ogni vettore in Q è un autovettore di A' corrispondente all'autovalore λ . Quindi la forma di Jordan di A' deve contenere s catene di Jordan corrispondenti a s autovettori linearmente indipendenti. Quindi la base { p ₁ , ..., p _r } deve contenere s vettori, diciamo { p _{r − s +1} , ..., p _r }, che sono vettori di piombo in queste catene di Jordan dalla forma normale di Jordan di A' . Possiamo "estendere le catene" prendendo le preimmagini di questi vettori di piombo. (Questo è il passaggio chiave dell'argomentazione; in generale, gli autovettori generalizzati non devono necessariamente trovarsi in Ran( A − λ I ).) Sia q _i tale che

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ per }}i=r-s+1,\ldots ,r.}$

Chiaramente nessuna combinazione lineare non banale di q _i può trovarsi in Ker( A − λ I ). Inoltre, nessuna combinazione lineare non banale del q _i può essere fatto funzionare ( A - λ I ), per questo contraddirebbe l'ipotesi che ogni p _i è un vettore di piombo in una catena Jordan. L'insieme { q _i }, essendo preimmagini dell'insieme linearmente indipendente { p _i } sotto A − λ I , è anch'esso linearmente indipendente.

Infine, possiamo scegliere qualsiasi insieme linearmente indipendente { z ₁ , ..., z _t } che si estende su

${\displaystyle \;\mathrm {Ker} (A-\lambda I)/Q.}$

Per costruzione, l'unione dei tre insiemi { p ₁ , ..., p _r }, { q _{r − s +1} , ..., q _r } e { z ₁ , ..., z _t } è linearmente indipendente. Ogni vettore nell'unione è un autovettore o un autovettore generalizzato di A . Infine, per il teorema di rango-nullità, la cardinalità dell'unione è n . In altre parole, abbiamo trovato una base che consiste di autovettori e autovettori generalizzati di A , e questo mostra che A può essere messo in forma normale di Jordan.

Unicità

Si può dimostrare che la forma normale di Jordan di una data matrice A è unica fino all'ordine dei blocchi di Jordan.

Conoscere le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori non è sufficiente per determinare la forma normale di Jordan di A . Assumendo che la molteplicità algebrica m (λ) di un autovalore λ sia nota, la struttura della forma di Jordan può essere accertata analizzando i ranghi delle potenze ( A − λ I ) ^{m (λ)} . Per vedere questo, supponiamo che una matrice A n × n abbia un solo autovalore λ. Quindi m (λ) = n . Il più piccolo intero k ₁ tale che

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

è la dimensione del blocco Jordan più grande nella forma Jordan di A . (Questo numero k ₁ è anche chiamato indice di λ. Vedi la discussione in una sezione successiva.) Il rango di

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

è il numero di blocchi Jordan di dimensione k ₁ . Allo stesso modo, il rango di

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

è il doppio del numero di blocchi Jordan di dimensione k ₁ più il numero di blocchi Jordan di dimensione k ₁ −1. Il caso generale è simile.

Questo può essere usato per mostrare l'unicità della forma Jordan. Siano J ₁ e J ₂ due forme normali di Jordan di A . Allora J ₁ e J ₂ sono simili e hanno lo stesso spettro, comprese le molteplicità algebriche degli autovalori. La procedura descritta nel paragrafo precedente può essere utilizzata per determinare la struttura di queste matrici. Poiché il rango di una matrice è preservato dalla trasformazione per similarità, esiste una biiezione tra i blocchi di Jordan di J ₁ e J ₂ . Ciò dimostra la parte dell'unicità dell'affermazione.

matrici reali

Se A è una matrice reale, la sua forma di Jordan può ancora essere non reale. Invece di rappresentarlo con autovalori complessi e 1 sulla superdiagonale, come discusso sopra, esiste una vera matrice invertibile P tale che P ⁻¹ AP = J è una matrice diagonale a blocchi reali con ogni blocco che è un vero blocco di Jordan. Un blocco di Jordan reale è identico a un blocco di Jordan complesso (se l'autovalore corrispondente è reale), oppure è una matrice di blocchi stessa, costituita da blocchi 2×2 (per autovalore non reale con una data molteplicità algebrica) della forma ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}={\begin{bmatrix}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{bmatrix}}}$

e descrivere la moltiplicazione per nel piano complesso. I blocchi superdiagonali sono matrici identità 2×2 e quindi in questa rappresentazione le dimensioni della matrice sono maggiori della forma complessa di Jordan. L'intero vero blocco Jordan è dato da ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\\\end{bmatrix}}. }$

Questa vera forma Jordan è una conseguenza della complessa forma Jordan. Per una matrice reale gli autovettori non reali e gli autovettori generalizzati possono sempre essere scelti per formare coppie coniugate complesse . Prendendo la parte reale e immaginaria (combinazione lineare del vettore e del suo coniugato), la matrice assume questa forma rispetto alla nuova base.

Matrici con voci in un campo

La riduzione di Jordan può essere estesa a qualsiasi matrice quadrata M i cui elementi giacciono in un campo K . Il risultato afferma che qualsiasi M può essere scritto come una somma D + N dove D è semisemplice , N è nilpotente e DN = ND . Questa è chiamata la decomposizione Jordan-Chevalley . Ogni volta che K contiene gli autovalori di M , in particolare quando K è algebricamente chiuso , la forma normale può essere espressa esplicitamente come somma diretta dei blocchi di Jordan.

Simile al caso in cui K sono i numeri complessi, conoscendo le dimensioni dei nuclei di ( M − λ I ) ^k per 1 ≤ k ≤ m , dove m è la molteplicità algebrica dell'autovalore λ, permette di determinare la forma di Jordan di M . Possiamo considerare lo spazio vettoriale sottostante V come un modulo K [ x ]- considerando l'azione di x su V come applicazione di M ed estendendola per K -linearità. Allora i polinomi ( x  − λ) ^k sono i divisori elementari di M , e la forma normale di Jordan si occupa di rappresentare M in termini di blocchi associati ai divisori elementari.

La dimostrazione della forma normale di Jordan viene solitamente eseguita come applicazione all'anello K [ x ] del teorema di struttura per moduli finitamente generati su un dominio ideale principale , di cui è un corollario.

Conseguenze

Si può vedere che la forma normale di Jordan è essenzialmente un risultato di classificazione per matrici quadrate, e come tale diversi importanti risultati dell'algebra lineare possono essere visti come sue conseguenze.

Teorema della mappatura spettrale

Usando la forma normale di Jordan, il calcolo diretto fornisce un teorema di mappatura spettrale per il calcolo funzionale polinomiale : Sia A una matrice n × n con autovalori λ ₁ , ..., λ _n , allora per ogni polinomio p , p ( A ) ha autovalori p (λ ₁ ), ..., p (λ _n ).

Polinomio caratteristico

Il polinomio caratteristico di A è . Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quindi, , dove è la radice i- esima di ed è la sua molteplicità, perché questo è chiaramente il polinomio caratteristico della forma di Jordan di A . ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda IA)}$${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\textstyle p_{J}}$${\displaystyle m_{i}}$

Teorema di Cayley-Hamilton

Il teorema di Cayley-Hamilton afferma che ogni matrice A soddisfa la sua equazione caratteristica: se p è il polinomio caratteristico di A , allora . Questo può essere mostrato tramite calcolo diretto nella forma Jordan, poiché se è un autovalore di molteplicità , allora il suo blocco Jordan soddisfa chiaramente . Poiché i blocchi diagonali non si influenzano a vicenda, l' i- esimo blocco diagonale di è ; quindi . ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

Si può presumere che la forma di Jordan esista su un campo che estende il campo base della matrice, ad esempio sul campo di divisione di p ; questa estensione di campo non modifica in alcun modo la matrice p ( A ) .

Polinomio minimo

Il polinomio minimo P di una matrice quadrata A è l'unico polinomio monico di grado minimo, m , tale che P ( A ) = 0. In alternativa, l'insieme dei polinomi che annichilano un dato A formano un ideale I in C [ x ], il dominio ideale principale dei polinomi a coefficienti complessi. L'elemento monic che genera I è proprio P .

Sia λ ₁ , ..., λ _q gli autovalori distinti di A , e s _i la dimensione del blocco di Jordan più grande corrispondente a λ _i . È chiaro dalla forma normale di Jordan che il polinomio minimo di A ha grado Σ s _i .

Mentre la forma normale di Jordan determina il polinomio minimo, non è vero il contrario. Questo porta alla nozione di divisori elementari . I divisori elementari di una matrice quadrata A sono i polinomi caratteristici dei suoi blocchi di Jordan. I fattori del polinomio minimo m sono i divisori elementari di grado massimo corrispondenti ad autovalori distinti.

Il grado di un divisore elementare è la dimensione del corrispondente blocco di Jordan, quindi la dimensione del corrispondente sottospazio invariante. Se tutti i divisori elementari sono lineari, A è diagonalizzabile.

Decomposizioni sottospaziali invarianti

La forma di Jordan di una matrice A n × n è diagonale a blocchi, e quindi dà una scomposizione dello spazio euclideo di n dimensioni in sottospazi invarianti di A . Ogni blocco di Jordan J _i corrisponde a un sottospazio invariante X _i . Simbolicamente, mettiamo

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

dove ogni X _i è lo span della corrispondente catena di Jordan e k è il numero di catene di Jordan.

Si può anche ottenere una scomposizione leggermente diversa tramite la forma Jordan. Dato un autovalore λ _i , la dimensione del suo blocco di Jordan corrispondente più grande s _i è chiamata indice di λ _i e indicata con ν (λ _i ). (Pertanto, il grado del polinomio minimo è la somma di tutti gli indici.) Definire un sottospazio Y _i da

${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Ker} (\lambda _{i}IA)^{\nu (\lambda _{i})}.}$

Questo dà la scomposizione

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

dove l è il numero di autovalori distinti di A . Intuitivamente, globiamo insieme i sottospazi invarianti del blocco di Jordan corrispondenti allo stesso autovalore. Nel caso estremo in cui A è un multiplo della matrice identità abbiamo k = n e l = 1.

La proiezione su Y _i e lungo tutte le altre Y _j ( j ≠ i ) è detta proiezione spettrale di A in _i ed è solitamente indicata con P (λ _i  ; A ) . Le proiezioni spettrali sono mutuamente ortogonali nel senso che P (λ _i  ; A ) P (λ _j  ; A ) = 0 se i ≠ j . Inoltre commutano con A e la loro somma è la matrice identità. Sostituendo ogni λ _i nella matrice di Jordan J con uno e azzerando tutti gli altri elementi si ottiene P (λ _i  ; J ), inoltre se UJU ⁻¹ è la trasformazione di similarità tale che A = UJU ⁻¹ allora P (λ _i  ; A ) = UP (λ _i  ; J ) U ⁻¹ . Non sono limitati a dimensioni finite. Vedi sotto per la loro applicazione agli operatori compatti e nel calcolo funzionale olomorfo per una discussione più generale.

Confrontando le due scomposizioni, si noti che, in generale, l ≤ k . Quando A è normale, i sottospazi X _i 's nella prima scomposizione sono unidimensionali e mutuamente ortogonali. Questo è il teorema spettrale per gli operatori normali. La seconda scomposizione generalizza più facilmente per operatori generali compatti su spazi di Banach.

Potrebbe essere interessante qui notare alcune proprietà dell'indice, ν ( λ ). Più in generale, per un numero complesso λ, il suo indice può essere definito come il minimo intero non negativo ν (λ) tale che

${\displaystyle \mathrm {Ker} (\lambda -A)^{\nu (\lambda )}=\operatorname {Ker} (\lambda -A)^{m},\;\forall m\geq \nu ( \lambda ).}$

Quindi ν (λ) > 0 se e solo se è un autovalore di A . Nel caso a dimensione finita, ν (λ) ≤ la molteplicità algebrica di .

Forma normale piana (piatta)

La forma di Jordan viene utilizzata per trovare una forma normale di matrici fino alla coniugazione tale che le matrici normali costituiscono una varietà algebrica di basso grado fisso nello spazio delle matrici ambientali.

Gli insiemi di rappresentanti delle classi di coniugazione matriciale per la forma normale di Jordan o le forme canoniche razionali in generale non costituiscono sottospazi lineari o affini negli spazi matriciali ambientali.

Vladimir Arnold ha posto un problema: trovare una forma canonica di matrici su un campo per cui l'insieme dei rappresentanti delle classi di coniugazione matriciale è un'unione di sottospazi lineari affini (piani). In altre parole, mappare iniettivamente l'insieme delle classi di coniugazione matriciale nell'insieme iniziale di matrici in modo che l'immagine di questa immersione - l'insieme di tutte le matrici normali, abbia il grado più basso possibile - sia un'unione di sottospazi lineari spostati.

È stato risolto per i campi algebricamente chiusi da Peteris Daugulis. La costruzione di una forma normale piana univocamente definita di una matrice inizia considerando la sua forma normale di Jordan.

Funzioni di matrice

L'iterazione della catena Jordan motiva varie estensioni a impostazioni più astratte. Per matrici finite, si ottengono funzioni matriciali; questo può essere esteso agli operatori compatti e al calcolo funzionale olomorfo, come descritto più avanti.

La forma normale di Jordan è la più conveniente per il calcolo delle funzioni di matrice (anche se potrebbe non essere la scelta migliore per i calcoli al computer). Sia f ( z ) una funzione analitica di un argomento complesso. Applicando la funzione su un blocco J di Jordan n × n con autovalore λ si ottiene una matrice triangolare superiore:

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)&{\tfrac {f''(\lambda)}{2}}&\cdots &{\tfrac { f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n- 2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&0&f( \lambda )\end{bmatrice}},}$

in modo che gli elementi della k -esima superdiagonale della matrice risultante siano . Per una matrice di forma normale di Jordan generale l'espressione di cui sopra deve essere applicata a ciascun blocco di Jordan. ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

L'esempio seguente mostra l'applicazione alla funzione di potenza f ( z )= z ⁿ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\ lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^ {n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{ 1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n} {1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

dove i coefficienti binomiali sono definiti come . Per n intero positivo si riduce alla definizione standard dei coefficienti. Per n negativo l'identità può essere utile. ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$${\textstyle {\binom {-n}{k}}=\left(-1\right)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

Operatori compatti

Un risultato analogo alla forma normale di Jordan vale per operatori compatti su uno spazio di Banach . Ci si limita agli operatori compatti perché ogni punto x nello spettro di un operatore compatto T è un autovalore; L'unica eccezione è quando x è il punto limite dello spettro. Questo non è vero per gli operatori limitati in generale. Per dare un'idea di questa generalizzazione, riformuliamo prima la decomposizione di Jordan nel linguaggio dell'analisi funzionale.

Calcolo funzionale olomorfo

Sia X uno spazio di Banach, L ( X ) gli operatori limitati su X , e σ ( T ) denota lo spettro di T ∈ L ( X ). Il calcolo funzionale olomorfo è definito come segue:

Fissa un operatore limitato T . Consideriamo la famiglia Hol( T ) di funzioni complesse olomorfe su un aperto G contenente σ ( T ). Sia Γ = { γ _i } un insieme finito di curve di Jordan tale che σ ( T ) giace all'interno di Γ, definiamo f ( T ) con

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(zT)^{-1}dz.}$

L'insieme aperto G può variare con f e non necessita di essere connesso. L'integrale è definito come il limite delle somme di Riemann, come nel caso scalare. Sebbene l'integrale abbia senso per f continua , ci limitiamo alle funzioni olomorfe per applicare il meccanismo della teoria delle funzioni classica (ad esempio, la formula integrale di Cauchy). Il presupposto che σ ( T ) si trovano all'interno di Γ assicura f ( T ) è ben definita; non dipende dalla scelta di . Il calcolo funzionale è la mappatura da Hol( T ) a L ( X ) data da

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

Richiederemo le seguenti proprietà di questo calcolo funzionale:

1. estende il calcolo funzionale polinomiale.
2. Il teorema mappatura spettrale detiene: σ ( F ( T )) = f ( σ ( T )).
3. è un omomorfismo algebrico.

Il caso a dimensione finita

Nel caso a dimensione finita, σ ( T ) = {λ _i } è un insieme discreto finito nel piano complesso. Sia e _i la funzione che è 1 in qualche intorno aperto di _i e 0 altrove. Per la proprietà 3 del calcolo funzionale, l'operatore

${\displaystyle e_{i}(T)}$

è una proiezione. Inoltre, sia ν _i l'indice di λ _i e

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Il teorema della mappatura spettrale ci dice

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

ha lo spettro {0}. Per la proprietà 1, f ( T ) può essere calcolato direttamente nella forma di Jordan, e osservando, vediamo che l'operatore f ( T ) e _i ( T ) è la matrice zero.

Per la proprietà 3, f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Quindi e _i ( T ) è precisamente la proiezione sul sottospazio

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\mathrm {Ker} (T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

La relazione

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

implica

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\;\mathrm {Ker} (T- \lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

dove l'indice i percorre gli autovalori distinti di T . Questa è la decomposizione invariante del sottospazio

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

dato in una sezione precedente. Ogni e _i ( T ) è la proiezione sul sottospazio attraversato dalle catene di Jordan corrispondenti a _i e lungo i sottospazi attraversati dalle catene di Jordan corrispondenti a _j per j ≠ i . In altre parole, e _i ( T ) = P (λ _i ; T ). Questa esplicita identificazione degli operatori e _i ( T ) fornisce a sua volta una forma esplicita di calcolo funzionale olomorfo per matrici:

Per ogni f ∈ Hol( T ),

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f ^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

Si noti che l'espressione di f ( T ) è una somma finita perché, su ogni intorno di λ _i , abbiamo scelto lo sviluppo in serie di Taylor di f centrata in λ _i .

Poli di un operatore

Sia T un operatore limitato un punto isolato di σ ( T ). (Come detto sopra, quando T è compatto, ogni punto nel suo spettro è un punto isolato, tranne forse il punto limite 0.)

Il punto si dice polo dell'operatore T con ordine ν se la funzione risolvente R _T definita da

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

ha un polo di ordine ν in .

Mostreremo che, nel caso a dimensione finita, l'ordine di un autovalore coincide con il suo indice. Il risultato vale anche per gli operatori compatti.

Considerare la regione anulare A centrato all'autovalore λ con sufficientemente piccolo raggio ε tale che l'intersezione del disco aperta B _ε (λ) e σ ( T ) è {} λ. La funzione risolvente R _T è olomorfa su A . Estendendo un risultato della teoria della funzione classica, R _T ha una rappresentazione in serie di Laurent su A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

dove

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(zT)^{-1}dz }$e C è un piccolo cerchio centrato in .

Dalla precedente discussione sul calcolo funzionale,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$dove è 1 acceso e 0 altrove.${\displaystyle e_{\lambda}}$${\displaystyle B_{\epsilon}(\lambda)}$

Ma abbiamo mostrato che il più piccolo intero positivo m tale che

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$ e ${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

è precisamente l'indice di λ, ν (λ). In altre parole, la funzione R _T ha un polo di ordine ν (λ) in .

Analisi numerica

Se la matrice A ha più autovalori, o è vicina a una matrice con più autovalori, allora la sua forma normale di Jordan è molto sensibile alle perturbazioni. Consideriamo ad esempio la matrice

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

Se ε = 0, allora la forma normale di Jordan è semplicemente

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Tuttavia, per ε ≠ 0, la forma normale di Jordan è

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

Questo cattivo condizionamento rende molto difficile sviluppare un robusto algoritmo numerico per la forma normale di Jordan, poiché il risultato dipende in modo critico dal fatto che due autovalori siano considerati uguali. Per questo motivo, la forma normale di Jordan viene solitamente evitata nell'analisi numerica ; la decomposizione stabile di Schur o pseudospettri sono alternative migliori.

Guarda anche

• Base canonica
• forma canonica
• Frobenius forma normale
• matrice di Giordania
• Decomposizione Jordan-Chevalley
• Decomposizione della matrice
• matrice modale
• Forma canonica di Weyr

Appunti

Riferimenti