Matrice defectă - Defective matrix

În algebra liniară , o matrice defectă este o matrice pătrată care nu are o bază completă de vectori proprii și, prin urmare, nu este diagonalizabilă . În special, o n  ×  n matrice este defect dacă și numai dacă acesta nu are n liniar independente vectorii proprii. O bază completă se formează prin mărirea vectorilor proprii cu vectori proprii generalizați , care sunt necesari pentru rezolvarea sistemelor defecte de ecuații diferențiale obișnuite și a altor probleme.

O matrice n  ×  n defectă are întotdeauna mai puține decât n valori proprii distincte , deoarece valorile proprii distincte au întotdeauna vectori proprii liniar independenți. În special, o matrice defectă are una sau mai multe valori proprii λ cu multiplicitate algebrică m > 1 (adică sunt rădăcini multiple ale polinomului caracteristic ), dar mai puține decât m vectori proprii liniari independenți asociați cu λ . Dacă multiplicitatea algebrică a lui λ depășește multiplicitatea sa geometrică (adică numărul de vectori proprii liniari independenți asociați cu λ ), atunci se spune că λ este o valoare proprie defectă . Cu toate acestea, fiecare valoare proprie cu multiplicitate algebrică m are întotdeauna m vectori proprii generalizați liniar independenți.

O matrice hermitiană (sau cazul special al unei matrice simetrice reale ) sau o matrice unitară nu este niciodată defectă; mai general, o matrice normală (care include Hermitian și unitar ca cazuri speciale) nu este niciodată defectă.

Blocul Jordan

Orice bloc nontrivial Jordan de dimensiuni 2 × 2 sau mai mare (adică nu complet diagonal) este defect. (O matrice diagonală este un caz special al formei normale Jordan și nu este defectă.) De exemplu, blocul n  ×  n Jordan

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ lambda & 1 & \; & \; \\\; & \ lambda & \ ddots & \; \\\; & \; & \ ddots & 1 \\\; & \; & \; & \ lambda \ end {bmatrix}},}$

are o valoare proprie , λ, cu multiplicitate algebrică n , dar un singur vector propriu distinct,

${\ displaystyle v = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}.}$

De fapt, orice matrice defectă are o formă normală Jordan nontrivială , care este cât se poate de aproape de diagonalizarea unei astfel de matrice.

Exemplu

Un exemplu simplu de matrice defectă este

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \ end {bmatrix}},}$

care are o valoare proprie dublă de 3 dar un singur vector propriu distinct

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

(și multipli constanți ai acestora).

Vezi si

• Iordania formă normală

Note

Referințe

• Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (ediția a 3-a), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Algebra liniară și aplicațiile sale (ediția a 3-a). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.