Bruhat decomposizione - Bruhat decomposition

In matematica, la scomposizione di Bruhat (introdotta da François Bruhat per i gruppi classici e da Claude Chevalley in generale) G = BWB di alcuni gruppi algebrici G nelle cellule può essere considerata come un'espressione generale del principio di eliminazione di Gauss-Jordan , che scrive genericamente una matrice come prodotto di una matrice triangolare superiore e triangolare inferiore, ma con casi eccezionali. È correlato alla decomposizione delle cellule di Schubert dei Grassmanniani: vedere il gruppo Weyl per questo.

Più in generale, qualsiasi gruppo con una coppia ( B , N ) ha una scomposizione di Bruhat.

Definizioni

• G è un gruppo algebrico connesso e riduttivo su un campo algebricamente chiuso .
• B è un sottogruppo Borel di G
• W è un gruppo di Weyl di G corrispondente ad un toro massimo B .

La decomposizione Bruhat di G è la decomposizione

${\ Displaystyle G = BWB = \ bigsqcup _ {w \ in W} BwB}$

di G come unione disgiunta di doppie cosets di B parametrizzato dagli elementi del gruppo Weyl W . (Si noti che sebbene W non sia in generale un sottogruppo di G , il coset wB è ancora ben definito perché il toro massimo è contenuto in B. )

Esempi

Sia G il gruppo lineare generale GL _n di matrici invertibili con voci in un campo algebricamente chiuso, che è un gruppo riduttivo . Allora il gruppo di Weyl W è isomorfo al gruppo simmetrico S _n su n lettere, con matrici di permutazione come rappresentanti. In questo caso, possiamo considerare B come il sottogruppo delle matrici invertibili triangolari superiori, quindi la scomposizione di Bruhat dice che si può scrivere qualsiasi matrice invertibile A come prodotto U ₁ PU ₂ dove U ₁ e U ₂ sono triangolari superiori, e P è una matrice di permutazione. Scrivendolo come P = U ₁ ⁻¹ AU ₂ ⁻¹ , questo significa che qualsiasi matrice invertibile può essere trasformata in una matrice di permutazione tramite una serie di operazioni su riga e colonna, dove ci è permesso solo aggiungere riga i (risp. Colonna i ) alla riga j (risp. colonna j ) se i  >  j (risp. i  <  j ). Le operazioni di riga corrispondono a U ₁ ⁻¹ e le operazioni di colonna corrispondono a U ₂ ⁻¹ . ${\ displaystyle n \ times n}$

Il gruppo lineare speciale SL _n di matrici invertibili con determinante 1 è un gruppo semisemplice , e quindi riduttivo. In questo caso, W è ancora isomorfo al gruppo simmetrico S _n . Tuttavia, il determinante di una matrice di permutazione è il segno della permutazione, quindi per rappresentare una permutazione dispari in SL _n , possiamo prendere uno degli elementi diversi da zero come −1 invece di 1. Qui B è il sottogruppo delle matrici triangolari superiori con determinante 1, quindi l'interpretazione della decomposizione di Bruhat in questo caso è simile al caso di GL _n . ${\ displaystyle n \ times n}$

Geometria

Le cellule nella decomposizione di Bruhat corrispondono alla decomposizione delle cellule di Schubert dei Grassmanniani. La dimensione delle celle corrisponde alla lunghezza della parola w nel gruppo Weyl. La dualità di Poincaré vincola la topologia della decomposizione cellulare, e quindi l'algebra del gruppo di Weyl; per esempio, la cella dimensionale superiore è unica (rappresenta la classe fondamentale ) e corrisponde all'elemento più lungo di un gruppo di Coxeter .

Calcoli

Il numero di celle in una data dimensione della decomposizione di Bruhat sono i coefficienti del polinomio q del diagramma di Dynkin associato .

Doppie cellule Bruhat

Con due Borel opposti si possono intersecare le celle di Bruhat per ciascuno di essi.

${\ displaystyle G = \ bigsqcup _ {w_ {1}, w_ {2} \ in W} (Bw_ {1} B \ cap B _ {-} w_ {2} B _ {-})}$

Guarda anche

• Scomposizioni di gruppi di bugie
• Fattorizzazione di Birkhoff , un caso speciale della scomposizione di Bruhat per gruppi affini.
• Algebra a grappolo

Appunti

Riferimenti

• Borel, Armand . Gruppi algebrici lineari (2a ed.). New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97370-2 .
• Bourbaki, Nicolas , Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6 (Elements of Mathematics) , Springer-Verlag, 2008. ISBN  3-540-42650-7