Spline

A spline egy típusa, egy Bézier-görbe .

A numerikus elemzés matematikai részterületén a spline egy polinomok által meghatározott , darabonként differenciálható görbe .

Az interpolációs feladatokban gyakran alkalmazzák a spline interpolációt, mivel hasonló eredményeket ad, csak alacsony fokú polinomok használatát igényli , így elkerülhető a legtöbb alkalmazásban nemkívánatos rezgések , amelyek alacsony fokú polinomokkal történő interpoláció során tapasztalhatók.

A görbe illesztéshez a spline-eket a bonyolult alakzatok közelítésére használják. Az ábrázolás egyszerűsége és a spline-k számítási egyszerűsége miatt népszerűvé teszik a görbeábrázolást a számítástechnikában , különösen a számítógépes grafika területén.

Eredet

A spline alapelméletét az 1940-es években a román származású amerikai matematikus, Isaac Jacob Schoenberg (1903-1990) dolgozta ki.

Bevezetés

A "spline" kifejezés a függvények széles csoportjára utal, amelyeket olyan alkalmazásokban használnak, amelyek adatinterpolációt vagy görbesimítást igényelnek. A spline-eket egy és több dimenzióban is használják. A spline interpoláció függvényei általában érdességminimalizálókként vannak meghatározva, számos korlátozással.

Ebben a cikkben a "spline" kifejezéssel utalunk annak egydimenziós és polinomiális korlátozott változatára, amely a leggyakrabban használt.

Lineáris szegmentális interpoláció

Ez a legegyszerűbb eset. Ebben egy f(x) függvényt fogunk interpolálni, amelyből N számú pár kapunk , amelyen polinomfüggvényünknek át kell mennie . Ez a függvénysorozatunk lineáris lesz, azaz a formának 1. fokával . $(x, f(x))$$P(x)$$P(x)=ax+b$

Minden szomszédos pontpárhoz meghatározunk egyet ezek közül a függvények közül, egészen a függvények összességéig, szükségszerűen átvezetve azokat az őket meghatározó pontokon, vagyis a függvény az egymást követő csomópontokat összekötő szegmensek halmaza lesz; éppen ezért a függvényünk ezeken a pontokon folytonos, de általában nem differenciálható. $(N-1)$$P(x)$

Példa: Interpoláljon spline -ekkel azokon a pontokon, ahol egyenlő 1, 2 és 4 $f(x)=1/x$$x$

• $f(1)=1$
• $f(2)=0,5$
• $f(4)=0,25$

Az első szakasznak csatlakoznia kell a koordináták és a koordináták első két pontjához . Két ismeretlenben két egyenletből álló lineáris rendszer jön létre: $P_{1}(x)=ax+b$${\megjelenítési stílus (1,1)}$$(2,0.5)$

• (1)$1=a+b$
• (két)$0.5=2a+b$

Az (1)-ből a következőket kapjuk:

$a=1-b$(3)

A (3) helyett (2) a következőt kapjuk:

$0.5=2(1-b)+b$

a későbbiekben

$b=1,5$

A (b) értékét az (1)-ben lecserélve a következőket kapjuk:

$a=-0,5$

Ebből következik, hogy: A második szakasznak csatlakoznia kell a második ponthoz a harmadik ponthoz . A -ért tettekhez hasonlóan a következő esetben kapjuk: $P_{1}(x)=-0,5x+1,5$$P_{2}(x)=ax+b$$(2,0.5)$$(4,0.25)$$P_{1}(x)$$P_{2}(x)$

1. (1)$0.5=2a+b$
2. (két)$0,25=4a+b$

$a=-0,125,b=0,75$

A későbbiekben$P_{2}(x)=-0,125x+0,75$

Quadratic Segmental Interpolation

Ebben az esetben a polinomok , amelyeken keresztül a Spline-t megszerkesztjük, 2-es fokozatúak. Ez azt jelenti, hogy alakja lesz$P(x)$$P(x)=ax^{2}+bx+c$

A lineáris szegmentális interpolációhoz hasonlóan egyenleteink lesznek (ahol van azon pontok száma, amelyek felett a függvény definiálva van). A másodfokú interpoláció biztosítja, hogy a függvény, amelyet darabokban generálunk a különbözőkkel, folytonos legyen, mivel a polinomokat pontokhoz igazító együtthatók kiszámításához feltételekként határozzuk meg: $n-1$$n$$P(x)$

• Hagyja, hogy a darabonkénti függvény részei átmenjenek ezeken a pontokon. Ez azt jelenti, hogy az általunk közelítendőt körülvevő kettő mindegyik pontban egyenlő.$P(x)$$P_{n}(x)$$f(x)$$f(x)$

• Hogy a derivált egy pontban mindig megegyezik az azon a közös ponton áthaladó darabonkénti függvény mindkét "oldalára".

Ez azonban nem elég, és még egy feltételre van szükségünk. Miért?. Mindegyikhez 3 ismeretlen tartozik . Egy egyszerű esetben három pontban definiált és két közelítő egyenlet esetén összesen hat ismeretlenünk lesz. Ennek megoldásához hat egyenletre lenne szükségünk, de csak ötre lesz szükségünk: négyre, amelyek minden pontban egyenlővé teszik a -t az értékével (minden intervallumhoz kettőt), az ötödik pedig a kettővel közös pont deriváltját egyenlővé teszi. . $P(x)$$f(x)$$P(x)$$P(x)$$f(x)$$P(x)$

Hatodik egyenletre van szükség, honnan származik? Ez általában a derivált értékével történik valamikor, amelyre az egyik . $P(x)$

Cubic Segmental Interpolation

Ebben az esetben minden polinom , amelyen keresztül a Spline-t megszerkesztjük, 3-as fokozatú. Ez azt jelenti, hogy az alakja lesz$P(x)$$[m,n]$$P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Ebben az esetben négy ismeretlent fogunk kapni minden intervallumhoz , és minden ponthoz egy új feltételt, amely két intervallumban közös, a második deriváltra vonatkozóan: ${\megjelenítési stílus (a,b,c,d)}$

• Hagyja, hogy a darabonkénti függvény részei átmenjenek ezen a ponton. Ez azt jelenti, hogy az általunk közelítendőt körülvevő kettő mindegyik pontban egyenlő.$P(x)$$P_{n}(x)$$f(x)$$f(x)$

• Hogy a derivált egy pontban mindig megegyezik az azon a közös ponton áthaladó darabonkénti függvény mindkét "oldalára".

• Hogy egy pontban a második derivált mindig megegyezik a közös ponton áthaladó darabonkénti függvény mindkét "oldalára".

Ahogy az a másodfokú spline esetével összevetve megállapítható, most nem egy, hanem két egyenlet (feltétel) fog hiányozni a rendelkezésünkre álló ismeretlenek számához.

A javítás módja határozza meg a köbös spline karakterét. Így használhatjuk:

• Természetes köbös szálak : A legjellemzőbb forma. A második deriváltja 0 lesz az első és az utolsó pontnál, amelyen a Spline-halmaz definiálva van, azaz a pontok és az intervallumban .$P$$m$$n$$[m,n]$

• Adja meg y második deriváltjának értékeit "manuálisan", az intervallumban meghatározott spline-halmazban .$m$$n$$[m,n]$

• Tegye egyenlővé m és n második deriváltjának értékét az intervallumon meghatározott spline-halmazban$[m,n]$

• Tárgy köbös spline -ok : P első deriváltjának meg kell egyeznie a függvény első deriváltjának az első és az utolsó ponthoz, amelyen a Spline-halmaz definiálva van, azaz az [m, intervallum m és n pontjai n ].

Hivatkozások

• Ferguson, James C, Multi-variable curve interpolation, J. ACM, vol. 11, sz. 2. o. 221-228, 1964. ápr.
• Ahlberg, Nielson és Walsh, Theory of Spline and Their Applications, 1967.
• Birkhoff, Folyadékdinamika, reaktorszámítások és felületreprezentáció, in: Steve Nash (szerk.), A History of Scientific Computation , 1990.
• Bartels, Beatty és Barsky, Bevezetés a számítógépes grafikában és geometriai modellezésben használható spline-kbe, 1987.
• Birkhoff és de Boor, Piecewise polinom interpoláció és közelítés, in: HL Garabedian (szerk.), Proc. General Motors Symposium, 1964, p. 164–190. Elsevier, New York és Amszterdam, 1965.
• Davis, B-splines and Geometric design , SIAM News, vol. 29. sz. 5, 1997.
• Epperson, History of Splines , NA Digest, Vol. 98, sz. 1998. 26.
• Stoer & Bulirsch, Bevezetés a numerikus elemzésbe. Springer-Verlag . p. 93-106. ISBN  0387904204
• Schoenberg, Hozzájárulások az egyenlő távolságra lévő adatok analitikus függvényekkel történő közelítésének problémájához, Quart. App. Math., vol. 4. o. 45–99 és 112–141, 1946.
• Young, Garrett Birkhoff és az alkalmazott matematika, Notices of the AMS, vol. 44, sz. 11. o. 1446–1449, 1997.
• Chapra, Canale, "Numerical Methods for Engineers" 5. kiadás.

Külső linkek

• A Wikimedia Commonsnak van egy médiakategóriája a Spline -ekhez .