Cannelures

Un type de spline, une courbe de Bézier .

Dans le sous -domaine mathématique de l'analyse numérique , une spline est une courbe différentiable par morceaux définie par des polynômes .

Dans les problèmes d' interpolation , l'interpolation spline est souvent utilisée car elle donne des résultats similaires ne nécessitant que l'utilisation de polynômes de faible degré , évitant ainsi les oscillations , indésirables dans la plupart des applications, constatées lors de l'interpolation par des polynômes de faible degré.

Pour l'ajustement des courbes , les splines sont utilisées pour approximer des formes compliquées. La simplicité de représentation et la facilité de calcul des splines les rendent populaires pour la représentation des courbes en informatique , en particulier dans le domaine de l'infographie.

Origine

La théorie fondamentale des splines a été développée dans les années 1940 par le mathématicien américain d'origine roumaine Isaac Jacob Schoenberg (1903-1990).

Présentation

Le terme "spline" fait référence à une large classe de fonctions qui sont utilisées dans les applications qui nécessitent une interpolation de données ou un lissage de courbe. Les splines sont utilisées pour travailler à la fois dans une et dans plusieurs dimensions. Les fonctions d'interpolation spline sont normalement déterminées en tant que minimiseur de rugosité soumis à une série de restrictions.

Dans cet article nous désignerons par le terme « spline » sa version restreinte à une dimension et polynomiale, qui est la plus couramment utilisée.

Interpolation segmentaire linéaire

C'est le cas le plus simple. Dans celui-ci, nous allons interpoler une fonction f(x) à partir de laquelle on nous donne un nombre N de couples que notre fonction polynomiale devra traverser . Cette série de fonctions qui est la nôtre va être linéaire, c'est-à-dire de degré 1 : de la forme . $(x,f(x))$ $P(x)$ $P(x)=ax+b$

Nous définirons une de ces fonctions pour chaque paire de points adjacents, jusqu'à un total de fonctions, en les passant nécessairement par les points qui vont les déterminer, c'est-à-dire que la fonction sera l'ensemble des segments qui rejoignent des nœuds consécutifs ; c'est pourquoi notre fonction sera continue en ces points, mais non dérivable en général. $(N-1)$ $P(x)$

Exemple : Interpoler avec des splines , aux points où il est égal à 1, 2 et 4 $f(x)=1/x$ $X$

$f(1)=1$
$f(2)=0.5$
$f(4)=0.25$

Le premier segment doit joindre les deux premiers points de coordonnées et . Un système linéaire de deux équations à deux inconnues apparaît : $P_{1}(x)=ax+b$ $(1,1)$ $(2,0.5)$

(1) $1=a+b$
(deux) $0.5=2a+b$

De (1) on obtient :

$a=1-b$ (3)

En remplaçant (3) dans (2) on obtient :

$0.5=2(1-b)+b$

alors

$b=1.5$

En remplaçant la valeur de (b) dans (1), on obtient :

$a=-0.5$

Par conséquent, il s'ensuit que : Le deuxième segment doit joindre le deuxième point au troisième point . De manière analogue à ce qui a été fait pour , dans le cas de on obtient : $P_{1}(x)=-0,5x+1,5$ $P_{2}(x)=ax+b$ $(2,0.5)$ $(4,0.25)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

(1) $0.5=2a+b$
(deux) $0.25=4a+b$

$a=-0.125,b=0.75$

Alors $P_{2}(x)=-0,125x+0,75$

Interpolation segmentaire quadratique

Dans ce cas, les polynômes par lesquels on construit la Spline sont de degré 2. Cela signifie qu'elle aura la forme $P(x)$ $P(x)=ax^{2}+bx+c$

Comme dans l'interpolation segmentaire linéaire, nous allons avoir des équations (où sont le nombre de points sur lesquels la fonction est définie). L'interpolation quadratique assurera que la fonction que nous générons en morceaux avec les différents sera continue, puisque pour calculer les coefficients qui ajustent les polynômes aux points, nous déterminerons comme conditions : $n-1$ $n$ $P(x)$

Laissez les parties de la fonction par morceaux passer par ces points. C'est-à-dire que les deux qui entourent celui que nous voulons approximer sont égaux à chacun de ces points. $P(x)$ $P_{n}(x)$ $f(x)$ $f(x)$

Que la dérivée en un point soit toujours d'accord pour les deux "côtés" de la fonction par morceaux passant par ce point commun.

Cependant, cela ne suffit pas et nous avons besoin d'une condition supplémentaire. Parce que?. Nous avons 3 inconnues pour chacun . Dans un cas simple avec défini en trois points et deux équations pour l'approximer, nous allons avoir six inconnues au total. Pour résoudre cela, nous aurions besoin de six équations, mais nous n'en aurons que cinq : quatre qui égalisent le à la valeur de en chaque point (deux pour chaque intervalle), et la cinquième en égalant la dérivée au point commun aux deux . $P(x)$ $f(x)$ $P(x)$ $P(x)$ $f(x)$ $P(x)$

Une sixième équation est nécessaire, d'où vient-elle ? Cela se fait généralement avec la valeur de la dérivée à un moment donné, auquel l'un des . $P(x)$

Interpolation segmentaire cubique

Dans ce cas, chaque polynôme à travers lequel nous construisons les Splines a un degré 3. Cela signifie qu'il aura la forme $P(x)$ $[m,n]$ $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Dans ce cas on va avoir quatre inconnues pour chaque intervalle , et une nouvelle condition pour chaque point commun à deux intervalles, par rapport à la dérivée seconde : $(a,b,c,d)$

Laissez les parties de la fonction par morceaux passer par ce point. C'est-à-dire que les deux qui entourent celui que nous voulons approximer sont égaux à chacun de ces points. $P(x)$ $P_{n}(x)$ $f(x)$ $f(x)$

Que la dérivée en un point soit toujours d'accord pour les deux "côtés" de la fonction par morceaux passant par ce point commun.

Que la dérivée seconde en un point soit toujours d'accord pour les deux "côtés" de la fonction par morceaux passant par ce point commun.

Comme on peut en déduire en le comparant au cas des splines quadratiques, il ne nous manquera plus une mais deux équations (conditions) pour le nombre d'inconnues que nous avons.

Comment résoudre ce problème détermine le caractère des splines cubiques. Ainsi, nous pouvons utiliser :

Splines cubiques naturelles : La forme la plus typique. La dérivée seconde de devient 0 pour les premier et dernier points sur lesquels l'ensemble de Splines est défini, c'est-à-dire les points et dans l'intervalle . $P$ $m$ $n$ $[m,n]$

Donner les valeurs de la dérivée seconde de y "manuellement", dans l'ensemble des splines définies dans l'intervalle . $m$ $n$ $[m,n]$

Rendre égales les valeurs de la dérivée seconde de m et n dans l'ensemble des splines définies sur l'intervalle $[m,n]$

Sujet splines cubiques : La dérivée première de P doit avoir la même valeur que la dérivée première de la fonction pour le premier et le dernier point sur lequel l'ensemble des splines est défini, c'est-à-dire les points m et n dans l'intervalle [m, n].

Références

Ferguson, James C, Interpolation de courbe multivariable, J. ACM, vol. 11, non. 2, p. 221-228, avril 1964.
Ahlberg, Nielson et Walsh, La théorie des splines et leurs applications, 1967.
Birkhoff, Dynamique des fluides, calculs de réacteurs et représentation de surface, dans : Steve Nash (ed.), A History of Scientific Computation , 1990.
Bartels, Beatty et Barsky, Une introduction aux splines à utiliser dans l'infographie et la modélisation géométrique, 1987.
Birkhoff et de Boor, Interpolation polynomiale par morceaux et approximation, dans : HL Garabedian (éd.), Proc. Symposium General Motors de 1964, p. 164–190. Elsevier, New York et Amsterdam, 1965.
Davis, B-splines et conception géométrique , SIAM News, vol. 29, non. 5, 1997.
Epperson, Histoire des splines , NA Digest, Vol. 98, non. 26, 1998.
Stoer & Bulirsch, Introduction à l'analyse numérique. Springer-Verlag . p. 93-106. ISBN 0387904204
Schoenberg, Contributions au problème de l'approximation de données équidistantes par des fonctions analytiques, Quart. App. Mathématiques, vol. 4, p. 45–99 et 112–141, 1946.
Young, Garrett Birkhoff et les mathématiques appliquées, Notices of the AMS, vol. 44, non. 11, p. 1446–1449, 1997.
Chapra, Canale, "Méthodes numériques pour ingénieurs" 5e édition.

Liens externes

Wikimedia Commons a une catégorie média pour Splines .