Egységes korlát - Uniform boundedness

A matematika , a egyenletesen korlátos család a funkciók egy család korlátos függvények , amelyek mind határolt ugyanaz a konstans. Ez az állandó nagyobb, mint a család bármely funkciójának bármely értékének abszolút értéke .

Meghatározás

Valódi vonal és összetett sík

Hagyja

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f_ {i}: X \ K -ig, i \ I \}}

egy család funkciók indexelt által adott egy tetszőleges halmaz, és azoknak a valós vagy komplex számok . Egyenletesen határoltnak nevezzük, ha létezik olyan valós szám , hogy ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle | f_ {i} (x) | \ leq M \ qquad \ forall i \ in I \ quad \ forall x \ in X.}

Metrikus tér

Általában let egy metrikus tér metrikus , akkor a kitűzött ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f_ {i}: X \ Y, i \ I \}}

az úgynevezett egyenletesen korlátos , ha van olyan távolságra , és egy valós szám úgy, hogy ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle d (f_ {i} (x), a) \ leq M \ qquad \ forall i \ in I \ quad \ forall x \ in X.}

Példák

A korlátozott függvények minden egyenletesen konvergens sorozata egyenletesen korlátos.
A család funkciói meghatározott valós és átutazó egészek , egyenletesen által határolt 1. ${\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin nx}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$
A család származékok a fenti család, a nem egyenletesen korlátos. Mindegyiket korlátozza, de nincs valós szám , amely minden egész számra vonatkozna ${\ displaystyle f '_ {n} (x) = n \, \ cos nx,}$ ${\ displaystyle f '_ {n}}$ ${\ displaystyle | n |,}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle | n | \ leq M}$ ${\ displaystyle n.}$