Problèmes de Simon - Simon problems

En mathématiques, les problèmes de Simon (ou problèmes de Simon ) sont une série de quinze questions posées en l'an 2000 par Barry Simon , un physicien mathématicien américain. Inspirés d'autres recueils de problèmes mathématiques et de conjectures ouvertes, comme la célèbre liste de David Hilbert , les problèmes de Simon concernent les opérateurs quantiques . Huit des problèmes concernent le comportement spectral anormal des opérateurs de Schrödinger, et cinq concernent des opérateurs qui incorporent le potentiel de Coulomb .

En 2014, Artur Avila a remporté une médaille Fields pour son travail incluant la solution de trois problèmes Simon. Parmi ceux-ci se trouvait le problème de prouver que l'ensemble des niveaux d'énergie d'un système quantique abstrait particulier était en fait l' ensemble de Cantor , un défi connu sous le nom de « problème des dix martini » après la récompense offerte par Mark Kac pour le résoudre.

La liste 2000 était un raffinement d'un ensemble de problèmes similaires que Simon avait posé en 1984.

Le contexte

Définitions de fond pour les problèmes « énergies de Coulomb » :

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}^{(N)}}$est l'espace des fonctions sur lesquelles sont antisymétriques en spin et en espace.${\displaystyle L^{2}({\mathcal {R}}^{2N};{\mathcal {C}}^{3N})}$
• L' hamiltonien est .${\displaystyle {\mathcal {H}}(N,Z):=\sum _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{x_{i}} })+\somme _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}}$
• Nous avons .${\displaystyle E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}}_{f}}H(N,Z)}$
• Nous définissons comme étant la plus petite valeur de pour tous les entiers positifs ; on sait qu'un tel nombre existe toujours et est toujours compris entre et , inclus.${\style d'affichage N_{0}(Z)}$${\style d'affichage E(N+j,Z)=E(N,Z)}$${\style d'affichage j}$${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage 2Z}$

La liste 1984

Simon a énuméré les problèmes suivants en 1984 :

Non.	Nom court	Déclaration	Statut	Année résolue
1er	(a) Existence presque toujours globale pour les particules gravitationnelles newtoniennes	(a) Démontrer que l'ensemble des conditions initiales pour lesquelles les équations de Newton n'ont pas de solutions globales a pour mesure zéro.	Ouvert à partir de 1984. En 1977, Saari a montré que cela est vrai pour les problèmes à 4 corps.	?
	(b) Existence de singularités non-collisionnelles dans le problème newtonien à N corps	Montrer qu'il existe des singularités non-collisionnelles dans le problème newtonien à N corps pour certains N et des masses appropriées.	En 1988, Xia a donné l'exemple d'une configuration à 5 corps qui subit une singularité sans collision. En 1991, Gerver a montré que les problèmes à 3n corps dans le plan pour une valeur suffisamment grande de n subissent également des singularités non-collisionnelles.	1988
2e	(a) Ergodicité des gaz à noyaux mous	Trouver des potentiels lisses répulsifs pour lesquels la dynamique des N particules dans une boîte (avec, par exemple, des potentiels de paroi lisses) est ergodique.	Ouvert depuis 1984. Le Sinaï a prouvé une fois que le gaz de la sphère dure est ergodique, mais aucune preuve complète n'est apparue à l'exception du cas de deux particules et d'une esquisse pour trois, quatre et cinq particules.	?
	(b) Approche de l'équilibre	Utilisez le scénario ci-dessus pour justifier que de grands systèmes avec des forces attractives à des distances appropriées approchent de l'équilibre, ou trouvez un scénario alternatif qui ne repose pas sur une ergodicité stricte en volume fini.	Ouvert depuis 1984.	?
	(c) Abélianité asymptotique pour la dynamique quantique de Heisenberg	Prouver ou réfuter que le modèle quantique multidimensionnel de Heisenberg est asymptotiquement abélien.	Ouvert depuis 1984.	?
3e	Turbulence et tout ça	Développer une théorie complète du comportement à long terme des systèmes dynamiques, y compris une théorie de l'apparition et de la turbulence pleinement développée.	Ouvert depuis 1984.	?
4e	(a) Loi de la chaleur de Fourier	Trouvez un modèle mécanique dans lequel un système de taille avec différence de température entre ses extrémités a un taux de température de chaleur qui va comme dans la limite . ${\style d'affichage L}$${\style d'affichage \Delta T}$${\style d'affichage L^{-1}}$${\displaystyle L\à \infty }$	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) La formule de Kubo	Justifiez la formule de Kubo dans un modèle quantique ou trouvez une autre théorie de la conductivité.	Ouvert depuis 1984.	?
5e	(a) Décroissance exponentielle des corrélations de Heisenberg classiques ${\style d'affichage v=2}$	Considérons le modèle classique de Heisenberg à deux dimensions. Démontrer que pour tout bêta , les corrélations décroissent de façon exponentielle à mesure que la distance approche l'infini.	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) Phases pures et basses températures pour le modèle classique de Heisenberg ${\displaystyle v\geq 3}$	Montrer que, dans le modèle au grand bêta et à la dimension , les états d'équilibre forment une seule orbite sous : la sphère. ${\style d'affichage D=3}$${\displaystyle v\geq 3}$${\style d'affichage SO(3)}$
	(c) GKS pour les modèles classiques de Heisenberg	Soit et produits finis de la forme dans le modèle. C'est vrai ça  ? ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage (\sigma _{\alpha }\cdot \sigma _{\gamma })}$${\style d'affichage D=3}$${\displaystyle <fg>_{\Lambda ,\beta }\geq <f>_{\Lambda ,\beta }<g>_{\Lambda ,\beta }}$
	(d) Transitions de phase dans le modèle quantique de Heisenberg	Prouver que pour un bêta important, le modèle quantique de Heisenberg a un ordre à longue distance. ${\displaystyle v\geq 3}$
6e	Explication du ferromagnétisme	Vérifiez l'image Heisenberg de l'origine du ferromagnétisme (ou une alternative) dans un modèle approprié d'un système quantique réaliste.	Ouvert depuis 1984.	?
7e	Existence de transitions de phases continues	Montrer que pour des choix appropriés de potentiel de paire et de densité, l'énergie libre est non à un certain bêta. ${\style d'affichage C^{1}}$	Ouvert depuis 1984.	?
8e	(a) Formulation du groupe de renormalisation	Développer des transformations de renormalisation mathématiquement précises pour les systèmes de type Ising -dimensionnels. ${\style d'affichage v}$	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) Preuve d'universalité	Montrer que les exposants critiques pour les systèmes de type Ising avec un couplage au plus proche voisin mais des forces de liaison différentes dans les trois directions sont indépendants des rapports des forces de liaison.
9e	(a) Complétude asymptotique pour les systèmes quantiques à N corps à courte portée	Prouvez-le . ${\displaystyle \oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{+}=L^{2}(X)}$	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) Complétude asymptotique pour les potentiels de Coulomb	Supposons . Prouvez-le . ${\displaystyle v=3,V_{ij}(x)=e_{ij}|x|^{-1}}$${\displaystyle \oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{D,+}=L^{2}(X)}$
10e	(a) Monotonie de l'énergie d'ionisation	(a) Prouvez que . ${\style d'affichage (\Delta E)(N-1,Z)\geq (\Delta E)(N,Z)}$	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) La correction Scott	Démontrer qu'il existe et qu'il s'agit de la constante trouvée par Scott. ${\displaystyle \lim _{Z\to \infty }(E(Z,Z)-e_{TF}Z^{7/3})/Z^{2}}$
	(c) Ionisation asymptotique	Trouvez les principales asymptotiques de . ${\style d'affichage (\Delta E)(Z,Z)}$
	(d) Asymptotique de la charge ionisée maximale	Prouvez-le . ${\displaystyle \lim _{Z\to \infty }N(Z)/Z=1}$
	(e) Taux d'effondrement de la matière Bose	Trouvez approprié tel que . ${\displaystyle C_{1},C_{2},\alpha }$${\displaystyle -C_{1}N^{\alpha }\leq {\tilde {E}}_{B}(N,N;1)\leq C_{2}N^{\alpha }}$
11ème	Existence de cristaux	Prouver une version appropriée de l'existence des cristaux (par exemple, il existe un choix de configurations de minimisation qui convergent vers une configuration de réseau infini).	Ouvert depuis 1984.	?
12e	(a) Existence d'états étendus dans le modèle d'Anderson	Prouvez que dans et pour petit qu'il existe une région de spectre absolument continu du modèle d'Anderson, et déterminez si cela est faux pour . ${\displaystyle v\geq 3}$${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage v=2}$	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) Borne diffusive sur le "transport" dans les potentiels aléatoires	Prouvez cela pour le modèle d'Anderson et des potentiels aléatoires plus généraux. ${\displaystyle {\text{Exp}}(\delta _{0},(e^{itH}{\vec {N}}e^{-itH})^{2}\delta _{0})\ leq c(1+|t|)}$
	(c) Lissage de la limite de mobilité dans le modèle d'Anderson ${\style d'affichage k(E)}$	Est-ce que , la densité d'états intégrée, est une fonction dans le modèle d'Anderson à tous les couplages ? ${\style d'affichage k(E)}$${\displaystyle C^{\infty }}$
	(d) Analyse de l'équation de presque Mathieu	Vérifiez ce qui suit pour l'équation de presque Mathieu : Si est un nombre de Liouville et , alors le spectre est purement singulier continu pour presque tout .${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \lambda \neq 0}$${\displaystyle \theta }$ Si est un nombre de Roth et , alors le spectre est purement absolument continu pour presque tous .${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage |\lambda |<2}$${\displaystyle \theta }$ Si est un nombre de Roth et , alors le spectre est un point pur purement dense.${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage |\lambda |>2}$ Si est un nombre de Roth et , alors a Lebesgue mesure zéro et le spectre est purement singulier continu.${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage |\lambda |=2}$${\style d'affichage \sigma (h)}$
	(e) Spectre ponctuel dans un modèle continu presque périodique	Montrer qui a un certain spectre de points pour convenable et presque tous . ${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\lambda \cos(2\pi x)+\mu \cos(2\pi \alpha x+\theta )}$${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\mu }$${\displaystyle \theta }$
13e	Exposant critique pour les marches auto-évitantes	Soit le déplacement moyen d'une marche auto-évitante aléatoire de longueur . Montrez que c'est pour la dimension au moins quatre et est plus grand autrement. ${\style d'affichage D(n)}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle v:=\lim _{n\to \infty }n^{-1}\ln D(n)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	Ouvert depuis 1984.	?
14e	(a) Construire QCD	Donner une construction mathématique précise de la chromodynamique quantique.	Ouvert depuis 1984.	?
	(b) QFT renormalisable	Construire une théorie quantique des champs non triviale qui est renormalisable mais pas superrenormalisable.
	(c) Incohérence de la QED	Prouver que QED n'est pas une théorie cohérente.
	(d) Incohérence de ${\displaystyle \varphi _{4}^{4}}$	Démontrer qu'une théorie non triviale n'existe pas. ${\displaystyle \varphi _{4}^{4}}$
15e	Censure cosmique	Formuler puis prouver ou réfuter une version appropriée de la censure cosmique.	Ouvert depuis 1984.	?

En 2000, Simon a affirmé que cinq des problèmes qu'il avait énumérés avaient été résolus.

La liste 2000

Les problèmes de Simon répertoriés en 2000 (avec les catégorisations originales) sont :

Non.	Nom court	Déclaration	Statut	Année résolue
Transport quantique et comportement spectral anormal
1er	États étendus	Démontrer que le modèle d'Anderson a un spectre purement absolument continu et des valeurs appropriées de dans une certaine gamme d'énergie. ${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle ba}$	?	?
2e	Localisation en 2 dimensions	Montrer que le spectre du modèle d'Anderson pour est un point pur dense. ${\style d'affichage v=2}$	?	?
3e	Diffusion quantique	Prouver que, pour les valeurs de là où il est absolument spectre continu, qui pousse comme comme . ${\displaystyle v\geq 3}$${\style d'affichage |ba|}$${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{\nu }}n^{2}|e^{itH}(n,0)|^{2}}$${\displaystyle ct}$${\style d'affichage t\à \infty }$	?	?
4e	Dix problème de Martini	Prouver que le spectre de est un ensemble de Cantor (c'est-à-dire nulle part dense) pour tout et tout irrationnel . ${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\style d'affichage \lambda \neq 0}$ ${\style d'affichage \alpha }$	Résolu par Puig (2003).	2003
5e		Prouver que le spectre de a zéro mesure pour et tout irrationnelle . ${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\style d'affichage \lambda =1}$ ${\style d'affichage \alpha }$	Résolu par Avila et Krikorian (2003).	2003
6e		Montrer que le spectre de est absolument continu pour et tout irrationnel . ${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\style d'affichage \lambda =1}$ ${\style d'affichage \alpha }$	?	?
7e		Existe-t-il des potentiels sur tel que pour certains et tel qui a un spectre continu singulier ? ${\style d'affichage V(x)}$${\style d'affichage [0,\infty )}$${\displaystyle |V(x)|\leq C|x|^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V}$	Essentiellement résolu par Denisov (2003) avec seulement la décroissance. ${\style d'affichage L^{2}}$ Résolu entièrement par Kiselev (2005).	2003, 2005
8e		Supposons que soit une fonction sur telle que , où . Prouver que a un spectre absolument continu de multiplicité infinie sur . ${\style d'affichage V(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\nu }}$${\displaystyle \int |x|^{-\nu +1}|V(x)|^{2}d^{\nu }x<\infty }$${\style d'affichage \nu \geq 2}$${\style d'affichage -\Delta +V}$${\style d'affichage [0,\infty )}$	?	?
Énergies coulombiennes
9e		Démontrer que est borné pour . ${\style d'affichage N_{0}(Z)-Z}$${\displaystyle Z\à \infty }$	?	?
10e		Quels sont les asymptote de pour ? ${\style d'affichage (\delta E)(Z):=E(Z,Z-1)-E(Z,Z)}$${\displaystyle Z\à \infty }$	?	?
11ème		Donner un sens mathématique au modèle de coque nucléaire .	?	?
12e		Existe-t-il un sens mathématique permettant de justifier les techniques actuelles de détermination des configurations moléculaires à partir de principes premiers ?	?	?
13e		Prouvez que, lorsque le nombre de noyaux approche l'infini, l'état fondamental d'un système neutre de molécules et d'électrons approche une limite périodique (c'est-à-dire qu'il existe des cristaux basés sur des principes quantiques).	?	?
D'autres problèmes
14e		Montrer que la densité d'états intégrée est continue dans l'énergie. ${\style d'affichage k(E)}$	?	?
15e	Conjecture de Lieb-Thirring	Démontrer la conjecture de Lieb-Thirring sur les constantes où . ${\displaystyle L_{\gamma ,\nu }}$${\displaystyle \nu =1,{\frac {1}{2}}<\gamma <{\frac {3}{2}}}$	?	?

Voir également

• Opérateur Presque Mathieu
• Inégalité de Lieb-Thirring

Liens externes

• "Les problèmes de Simon" . MathWorld . Récupéré le 13/06/2018 .

Les références