Opérateur Presque Mathieu - Almost Mathieu operator

En physique mathématique , l' opérateur quasi Mathieu se pose dans l'étude de l' effet Hall quantique . Il est donné par

${\displaystyle [H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega + n\alpha ))u(n),\,}$

agissant comme un opérateur auto-adjoint sur l'espace de Hilbert . Voici les paramètres. En mathématiques pures , son importance vient du fait d'être l'un des exemples les mieux compris d'un opérateur de Schrödinger ergodique . Par exemple, trois problèmes (maintenant tous résolus) des quinze problèmes de Barry Simon sur les opérateurs de Schrödinger « pour le XXIe siècle » mettaient en vedette l'opérateur presque Mathieu. ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0}$

Car , l'opérateur presque Mathieu est parfois appelé équation de Harper . ${\style d'affichage \lambda =1}$

Le type spectral

Si est un nombre rationnel , alors est un opérateur périodique et selon la théorie de Floquet son spectre est purement absolument continu . ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$

Passons maintenant au cas où est irrationnel . Puisque la transformation est minimale, il s'ensuit que le spectre de ne dépend pas de . D'autre part, par ergodicité, les supports des parties ponctuelles absolument continues, singulières continues et pures du spectre sont presque sûrement indépendants de . On sait maintenant que ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha }$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

• Car , a sûrement un spectre purement absolument continu. (C'était l'un des problèmes de Simon.)${\style d'affichage 0<\lambda <1}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$
• Car , a sûrement un spectre continu purement singulier pour tout irrationnel .${\style d'affichage \lambda =1}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$${\style d'affichage \alpha }$
• Car , a presque sûrement un spectre ponctuel pur et présente une localisation d' Anderson . (On sait que presque sûrement ne peut pas être remplacé par sûrement.)${\displaystyle \lambda >1}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$

Que les mesures spectrales sont singulières lorsqu'elles découlent (à travers les travaux de Last et Simon) de la borne inférieure de l' exposant de Lyapunov donnée par ${\style d'affichage \lambda \geq 1}$ ${\style d'affichage \gamma (E)}$

${\displaystyle \gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,}$

Cette borne inférieure a été prouvée indépendamment par Avron, Simon et Michael Herman , après un précédent argument presque rigoureux d'Aubry et André. En fait, lorsqu'elle appartient au spectre, l'inégalité devient une égalité (la formule Aubry-André), prouvée par Jean Bourgain et Svetlana Jitomirskaya . ${\style d'affichage E}$

La structure du spectre

Le papillon de Hofstadter

Une autre caractéristique frappante de l'opérateur presque Mathieu est que son spectre est un ensemble de Cantor pour tout irrationnel et . Cela a été montré par Avila et Jitomirskaya en résolvant le fameux "problème des dix martini" (également l'un des problèmes de Simon) après plusieurs résultats antérieurs (y compris de manière générique et presque sûrement en ce qui concerne les paramètres). ${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \lambda >0}$

De plus, la mesure de Lebesgue du spectre de l'opérateur de quasi Mathieu est connue pour être

${\displaystyle \operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,}$

pour tous . Car cela signifie que le spectre a une mesure nulle (cela a d'abord été proposé par Douglas Hofstadter et est devenu plus tard l'un des problèmes de Simon). Pour , la formule a été découverte numériquement par Aubry et André et prouvée par Jitomirskaya et Krasovsky. Plus tôt Last avait prouvé cette formule pour la plupart des valeurs des paramètres. ${\displaystyle \lambda >0}$${\style d'affichage \lambda =1}$${\style d'affichage \lambda \neq 1}$

L'étude du spectre de conduit au papillon de Hofstadter , où le spectre est représenté comme un ensemble. ${\style d'affichage \lambda =1}$

Les références