Simonovy problémy - Simon problems

V matematice jsou Simonovy problémy (nebo Simonovy problémy ) série patnácti otázek, které v roce 2000 položil Barry Simon , americký matematický fyzik. Inspirovaný jiných sbírek matematických problémů a otevřených dohady, jako je slavný seznamu podle Davida Hilberta , problémy se týkají Simon operátorů kvantové . Osm z problémů se týká anomálního spektrálního chování Schrödingerových operátorů a pět se týká operátorů, kteří obsahují Coulombův potenciál .

V roce 2014 Artur Avila získal Fieldsovu medaili za práci zahrnující řešení tří Simonových problémů. Mezi nimi byl problém prokázat, že sada energetických úrovní jednoho konkrétního abstraktního kvantového systému byla ve skutečnosti Cantorova množina , výzva známá jako „problém deseti Martini“ po odměně, kterou Mark Kac nabídl za její řešení.

Seznam z roku 2000 byl zpřesněním podobného souboru problémů, které Simon představoval v roce 1984.

Kontext

Definice pozadí pro problémy "Coulombovy energie":

• ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {f}^{(N)}}$je prostor funkcí, na kterých jsou ve spinu a prostoru antisymetrické.${\ Displaystyle L^{2} ({\ mathcal {R}}^{2N}; {\ mathcal {C}}^{3N})}$
• Hamiltonian je .${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (N, Z): = \ sum _ {i = 1}^{N} (-\ Delta _ {i}-{\ frac {Z} {x_ {i}} })+\ sum _ {i <j} {\ frac {1} {| x_ {i} -x_ {j} |}}}}$
• Máme .${\ Displaystyle E (N, Z): = \ min _ {{\ \ mathcal {H}} _ {f}} H (N, Z)}$
• Definujeme jako nejmenší hodnotu pro všechna kladná celá čísla ; je známo, že takové číslo vždy existuje a je vždy mezi a včetně.${\ displaystyle N_ {0} (Z)}$${\ Displaystyle E (N+j, Z) = E (N, Z)}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle 2Z}$

Seznam z roku 1984

Simon v roce 1984 vyjmenoval následující problémy:

Ne.	Krátké jméno	Tvrzení	Postavení	Rok vyřešen
1.	(a) Téměř vždy globální existence newtonských gravitačních částic	(a) Dokažte, že soubor počátečních podmínek, pro které Newtonovy rovnice nemají globální řešení, má nulu.	Otevřeno od roku 1984. V roce 1977 Saari ukázal, že to platí pro problémy se 4 těly.	?
	(b) Existence nekolizních singularit v newtonovském problému N-tělesa	Ukažte, že u některých N a vhodných hmot existují v newtonovském problému N těles nekolizní singularity.	V roce 1988 Xia uvedl příklad konfigurace 5 těles, která prochází nekolizní singularitou. V roce 1991 Gerver ukázal, že 3n-tělesné problémy v rovině pro nějakou dostatečně velkou hodnotu n také podléhají nekolizním singularitám.	1988
2	a) Ergodicita plynů s měkkými jádry	Najděte odpudivé hladké potenciály, pro které je dynamika N částic v krabici (např. S ​​potenciály hladké stěny) ergodická.	Otevřeno od roku 1984. Sinaj kdysi dokázal, že plyn z tvrdé koule je ergodický, ale neobjevil se úplný důkaz kromě případu dvou částic a náčrtu tří, čtyř a pěti částic.	?
	(b) Přístup k rovnováze	Pomocí výše uvedeného scénáře odůvodněte, že se velké systémy se silami, které jsou atraktivní na vhodných vzdálenostech, přibližují k rovnováze, nebo najděte alternativní scénář, který nespoléhá na přísnou ergodicitu v konečném objemu.	Otevřeno od roku 1984.	?
	(c) Asymptotická abeliannost pro kvantovou Heisenbergovu dynamiku	Prokázat nebo vyvrátit, že vícerozměrný kvantový Heisenbergův model je asymptoticky abelianský.	Otevřeno od roku 1984.	?
3. místo	Turbulence a to všechno	Vypracovat komplexní teorii dlouhodobého chování dynamických systémů, včetně teorie o nástupu a plně rozvinuté turbulenci.	Otevřeno od roku 1984.	?
4. místo	a) Fourierův tepelný zákon	Najděte mechanický model, ve kterém systém velikosti s teplotním rozdílem mezi jeho konci má rychlost tepelné teploty, která jde jako v limitu . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Delta T}$${\ displaystyle L^{-1}}$${\ displaystyle L \ to \ infty}$	Otevřeno od roku 1984.	?
	b) Kuboův vzorec	Odůvodněte Kuboův vzorec v kvantovém modelu nebo najděte alternativní teorii vodivosti.	Otevřeno od roku 1984.	?
5. místo	(a) Exponenciální rozpad klasických Heisenbergových korelací ${\ displaystyle v = 2}$	Zvažte dvourozměrný klasický Heisenbergův model. Dokažte, že pro jakoukoli beta se korelace exponenciálně rozpadají, jak se vzdálenost blíží nekonečnu.	Otevřeno od roku 1984.	?
	(b) Čisté fáze a nízké teploty pro klasický Heisenbergův model ${\ Displaystyle v \ geq 3}$	Dokažte, že v modelu ve velké beta a v dimenzi tvoří rovnovážné stavy jedinou oběžnou dráhu pod : sférou. ${\ displaystyle D = 3}$${\ Displaystyle v \ geq 3}$${\ displaystyle SO (3)}$
	(c) GKS pro klasické Heisenbergovy modely	Nechme a buďme konečnými produkty formuláře v modelu. Je to pravda  ? ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle (\ sigma _ {\ alpha} \ cdot \ sigma _ {\ gamma})}$${\ displaystyle D = 3}$${\ Displaystyle <fg> _ {\ Lambda, \ beta} \ geq <f> _ {\ Lambda, \ beta} <g> _ {\ Lambda, \ beta}}$
	(d) Fázové přechody v kvantovém Heisenbergově modelu	Dokažte, že pro a velkou beta má kvantový Heisenbergův model řád dlouhého dosahu. ${\ Displaystyle v \ geq 3}$
6. místo	Vysvětlení feromagnetismu	Ověřte Heisenbergův obraz původu feromagnetismu (nebo alternativy) na vhodném modelu realistického kvantového systému.	Otevřeno od roku 1984.	?
7. místo	Existence fázových přechodů kontinua	Ukažte, že pro vhodné volby párového potenciálu a hustoty není volná energie v nějaké beta. ${\ displaystyle C^{1}}$	Otevřeno od roku 1984.	?
8. místo	a) Formulace skupiny pro renormalizaci	Vyvinout matematicky přesné transformace renormalizace pro -dimenzionální systémy typu Ising. ${\ displaystyle v}$	Otevřeno od roku 1984.	?
	(b) Důkaz univerzálnosti	Ukažte, že kritičtí exponenti pro systémy typu Ising s vazbou nejbližšího souseda, ale rozdílné síly vazeb ve třech směrech jsou nezávislé na poměrech sil vazeb.
9. místo	(a) Asymptotická úplnost pro kvantové systémy N-těles krátkého dosahu	Dokaž to . ${\ Displaystyle \ oplus ~ {\ text {Ran}} ~ \ Omega _ {a}^{+} = L^{2} (X)}$	Otevřeno od roku 1984.	?
	(b) Asymptotická úplnost pro Coulombovy potenciály	Předpokládejme . Dokaž to . ${\ Displaystyle v = 3, V_ {ij} (x) = e_ {ij} | x |^{-1}}$${\ Displaystyle \ oplus ~ {\ text {Ran}} ~ \ Omega _ {a}^{D,+} = L^{2} (X)}$
10. místo	a) Monotonicita ionizační energie	(a) Dokaž to . ${\ Displaystyle (\ Delta E) (N-1, Z) \ geq (\ Delta E) (N, Z)}$	Otevřeno od roku 1984.	?
	(b) Scottova korekce	Dokažte, že existuje a je to konstanta, kterou našel Scott. ${\ Displaystyle \ lim _ {Z \ to \ infty} (E (Z, Z) -e_ {TF} Z^{7/3})/Z^{2}}$
	c) Asymptotická ionizace	Najděte přední asymptotiky . ${\ displaystyle (\ Delta E) (Z, Z)}$
	(d) Asymptotika maximálního ionizovaného náboje	Dokaž to . ${\ Displaystyle \ lim _ {Z \ to \ infty} N (Z)/Z = 1}$
	(e) Rychlost kolapsu Boseovy hmoty	Najít vhodné takové, že . ${\ displaystyle C_ {1}, C_ {2}, \ alpha}$${\ Displaystyle -C_ {1} N^{\ alpha} \ leq {\ tilde {E}} _ {B} (N, N; 1) \ leq C_ {2} N^{\ alpha}}$
11. místo	Existence krystalů	Dokažte vhodnou verzi existence krystalů (např. Je zde na výběr z minimalizujících konfigurací, které konvergují do nějaké nekonečné mřížkové konfigurace).	Otevřeno od roku 1984.	?
12. místo	(a) Existence rozšířených stavů v Andersonově modelu	Dokažte, že v malém je oblast absolutně souvislého spektra Andersonova modelu, a určete, zda je to pro . ${\ Displaystyle v \ geq 3}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle v = 2}$	Otevřeno od roku 1984.	?
	(b) Difúzní vázaný na "transport" v náhodných potenciálech	Dokažte to pro Andersonův model a obecnější náhodné potenciály. ${\ Displaystyle {\ text {Exp}} (\ delta _ {0}, (e^{itH} {\ vec {N}} e^{-itH})^{2} \ delta _ {0}) \ lec c (1+ | t |)}$
	(c) Hladkost hrany mobility v modelu Anderson ${\ displaystyle k (E)}$	Je integrovaná hustota stavů funkcí v Andersonově modelu u všech spojek? ${\ displaystyle k (E)}$${\ displaystyle C^{\ infty}}$
	(d) Analýza téměř Mathieuovy rovnice	Ověřte následující pro téměř Mathieuovu rovnici: Pokud je Liouvilleovo číslo a , pak je spektrum čistě singulární spojité pro téměř všechny .${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle \ theta}$ Pokud je Rothovo číslo a , pak je spektrum čistě absolutně spojité pro téměř všechny .${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ lambda | <2}$${\ displaystyle \ theta}$ Pokud je Rothovo číslo a , pak je spektrum čistě hustý čistý bod.${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ lambda |> 2}$ Pokud je Rothovo číslo a , pak má Lebesgueova míra nula a spektrum je čistě singulární spojité.${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle | \ lambda | = 2}$${\ Displaystyle \ sigma (h)}$
	(e) Bodové spektrum v kontinuálním téměř periodickém modelu	Ukažte, že má nějaké bodové spektrum pro vhodné a téměř všechny . ${\ Displaystyle -{\ frac {d^{2}} {dx^{2}}}+\ lambda \ cos (2 \ pi x)+\ mu \ cos (2 \ pi \ alpha x+\ theta)}$${\ Displaystyle \ alpha, \ lambda, \ mu}$${\ displaystyle \ theta}$
13. místo	Kritický exponent pro sebeobranné procházky	Nechť je průměrné přemístění náhodné délky se vyhýbající chůzi . Ukažte, že je to pro dimenzi alespoň čtyři a jinak je větší. ${\ Displaystyle D (n)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle v: = \ lim _ {n \ to \ infty} n^{-1} \ ln D (n)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$	Otevřeno od roku 1984.	?
14. místo	(a) Sestavte QCD	Poskytněte přesnou matematickou konstrukci kvantové chromodynamiky.	Otevřeno od roku 1984.	?
	(b) Renormalizovatelný QFT	Vytvořte netriviální kvantovou teorii pole, která je renormalizovatelná, ale není superrenormalizovatelná.
	(c) Nesoulad QED	Dokažte, že QED není konzistentní teorie.
	(d) Nesoulad ${\ displaystyle \ varphi _ {4}^{4}}$	Dokažte, že netriviální teorie neexistuje. ${\ displaystyle \ varphi _ {4}^{4}}$
15. místo	Kosmická cenzura	Formulovat a poté dokázat nebo vyvrátit vhodnou verzi kosmické cenzury.	Otevřeno od roku 1984.	?

V roce 2000 Simon tvrdil, že pět problémů, které uvedl, bylo vyřešeno.

Seznam 2000

Simonovy problémy uvedené v roce 2000 (s původními kategorizacemi) jsou:

Ne.	Krátké jméno	Tvrzení	Postavení	Rok vyřešen
Kvantový transport a anomální spektrální chování
1.	Rozšířené stavy	Dokažte, že Andersonův model má čistě absolutně spojité spektrum pro a vhodné hodnoty v určitém energetickém rozsahu. ${\ Displaystyle v \ geq 3}$${\ Displaystyle ba}$	?	?
2	Lokalizace ve 2 rozměrech	Dokažte, že spektrum Andersonova modelu pro je hustý čistý bod. ${\ displaystyle v = 2}$	?	?
3. místo	Kvantová difúze	Dokažte, že hodnoty a hodnoty tam, kde existuje absolutně kontinuální spektrum, rostou jako . ${\ Displaystyle v \ geq 3}$${\ displaystyle | ba |}$${\ Displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}^{\ nu}} n^{2} | e^{itH} (n, 0) |^{2}}$${\ displaystyle ct}$${\ displaystyle t \ to \ infty}$	?	?
4. místo	Problém deseti Martini	Dokažte, že spektrum je sada Cantor (tj. Nikde hustá) pro všechny a všechny iracionální . ${\ Displaystyle h _ {\ alpha, \ lambda, \ theta}}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$	Vyřešil Puig (2003).	2003
5. místo		Dokažte, že spektrum má míru nula pro a všechny iracionální . ${\ Displaystyle h _ {\ alpha, \ lambda, \ theta}}$${\ Displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$	Vyřešil Avila a Krikorian (2003).	2003
6. místo		Dokažte, že spektrum je pro všechny naprosto iracionální a iracionální . ${\ Displaystyle h _ {\ alpha, \ lambda, \ theta}}$${\ Displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ Displaystyle \ alpha}$	?	?
7. místo		Ještě existuje potenciál k taková, že pro některé , a tak, že má nějakou jedinečnou spojité spektrum? ${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ Displaystyle | V (x) | \ leq C | x |^{{\ frac {1} {2}}+\ varepsilon}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle -{\ frac {d^{2}} {dx^{2}}}+V}$	V podstatě vyřešen Denisovem (2003) pouze s rozpadem. ${\ displaystyle L^{2}}$ Vyřešil zcela Kiselev (2005).	2003, 2005
8. místo		Předpokládejme, že je to funkce na takové, že , kde . Dokažte, že má absolutně souvislé spektrum nekonečné multiplicity . ${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{\ nu}}$${\ Displaystyle \ int | x |^{-\ nu +1} | V (x) |^{2} d^{\ nu} x <\ infty}$${\ displaystyle \ nu \ geq 2}$${\ displaystyle -\ Delta +V}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$	?	?
Coulombovy energie
9. místo		Dokažte, že je to ohraničeno . ${\ displaystyle N_ {0} (Z) -Z}$${\ Displaystyle Z \ do \ infty}$	?	?
10. místo		Jaké jsou asymptotika z pro ? ${\ Displaystyle (\ delta E) (Z): = E (Z, Z-1) -E (Z, Z)}$${\ Displaystyle Z \ do \ infty}$	?	?
11. místo		Udělejte matematický smysl pro model jaderné skořápky .	?	?
12. místo		Existuje matematický smysl, ve kterém lze odůvodnit současné techniky pro určování molekulárních konfigurací z prvních principů?	?	?
13. místo		Dokažte, že když se počet jader blíží nekonečnu, základní stav nějakého neutrálního systému molekul a elektronů se blíží periodickému limitu (tj. Že krystaly existují na základě kvantových principů).	?	?
Jiné problémy
14. místo		Dokažte, že integrovaná hustota stavů je v energii spojitá. ${\ displaystyle k (E)}$	?	?
15. místo	Lieb-Thirringova domněnka	Dokažte Lieb-Thirringovu domněnku o konstantách kde . ${\ displaystyle L _ {\ gamma, \ nu}}$${\ Displaystyle \ nu = 1, {\ frac {1} {2}} <\ gamma <{\ frac {3} {2}}}$	?	?

Viz také

• Téměř operátor Mathieu
• Lieb – Thirring nerovnost

externí odkazy

• „Simonovy problémy“ . MathWorld . Citováno 2018-06-13 .

Reference