Espace linéaire (géométrie) - Linear space (geometry)

Un espace linéaire est une structure de base en géométrie d'incidence . Un espace linéaire se compose d'un ensemble d'éléments appelés points et d'un ensemble d'éléments appelés lignes . Chaque ligne est un sous - ensemble distinct de points. Les points d'une ligne sont dits incidents avec la ligne. Deux lignes ne peuvent avoir plus d'un point en commun. Intuitivement, cette règle peut être visualisée comme la propriété que deux lignes droites ne se coupent jamais plus d'une fois.

Les espaces linéaires peuvent être vus comme une généralisation des plans projectifs et affines , et plus largement, des conceptions à 2 blocs , où l'exigence que chaque bloc contienne le même nombre de points est supprimée et la caractéristique structurelle essentielle est que 2 points sont incidents avec exactement 1 ligne. ${\style d'affichage (v,k,1)}$

Le terme espace linéaire a été inventé par Paul Libois en 1964, bien que de nombreux résultats sur les espaces linéaires soient beaucoup plus anciens.

Définition

Soit L = ( P , G , I ) une structure d'incidence , pour laquelle les éléments de P sont appelés points et les éléments de G sont appelés lignes. L est un espace linéaire si les trois axiomes suivants sont vérifiés :

• (L1) deux points distincts sont incidents avec exactement une ligne.
• (L2) chaque ligne est incidente à au moins deux points distincts.
• (L3) L contient au moins deux raies distinctes.

Certains auteurs abandonnent (L3) lors de la définition des espaces linéaires. Dans une telle situation, les espaces linéaires conformes à (L3) sont considérés comme non triviaux et ceux qui ne le sont pas comme triviaux .

Exemples

Le plan euclidien régulier avec ses points et ses lignes constitue un espace linéaire, de plus tous les espaces affines et projectifs sont également des espaces linéaires.

Le tableau ci-dessous montre tous les espaces linéaires non triviaux possibles de cinq points. Parce que deux points quelconques sont toujours incidents avec une ligne, les lignes incidentes avec seulement deux points ne sont pas dessinées, par convention. Le cas trivial est simplement une ligne passant par cinq points.

Dans la première illustration, les dix lignes reliant les dix paires de points ne sont pas dessinées. Dans la deuxième illustration, sept lignes reliant sept paires de points ne sont pas dessinées.

10 lignes	8 lignes	6 lignes	5 lignes

Un espace linéaire de n points contenant une ligne incidente avec n  − 1 points est appelé un crayon proche . (Voir crayon )

près du crayon avec 10 points

Propriétés

Le théorème de De Bruijn-Erdős montre que dans tout espace linéaire fini qui n'est pas un seul point ou une seule ligne, nous avons . ${\displaystyle S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{\textbf {I}})}$${\displaystyle |{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}|}$

Voir également

• Conception de bloc
• Avion Fano
• Espace projectif
• Espace affine
• Géométrie moléculaire
• Espace linéaire partiel

Les références

• Shult, Ernest E. (2011), Points et lignes , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.

• Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN  3-411-01648-5 , p. 159 (allemand)
• JH van Lint , RM Wilson : Un cours de combinatoire . Cambridge University Press, 1992, ISBN  0-521-42260-4 . p. 188
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher : La théorie des espaces linéaires finis . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.