Plan affine (géométrie d'incidence) - Affine plane (incidence geometry)

En géométrie , un plan affine est un système de points et de droites qui satisfont aux axiomes suivants :

• Deux points distincts se trouvent sur une ligne unique.
• Chaque ligne a au moins deux points.
• Étant donné toute ligne et tout point qui ne se trouve pas sur cette ligne, il existe une ligne unique qui contient le point et ne rencontre pas la ligne donnée. ( L'axiome de Playfair )
• Il existe trois points non colinéaires (points non sur une seule ligne).

Dans un plan affine, deux droites sont dites parallèles si elles sont égales ou disjointes . En utilisant cette définition, l'axiome de Playfair ci-dessus peut être remplacé par :

• Étant donné un point et une ligne, il existe une ligne unique qui contient le point et est parallèle à la ligne.

Le parallélisme est une relation d'équivalence sur les droites d'un plan affine.

Comme aucun concept autre que ceux impliquant la relation entre les points et les lignes n'est impliqué dans les axiomes, un plan affine est un objet d'étude appartenant à la géométrie d'incidence . Ce sont des espaces linéaires non dégénérés satisfaisant l'axiome de Playfair.

Le plan euclidien familier est un plan affine. Il existe de nombreux plans affines finis et infinis. En plus des plans affines sur les corps (et les anneaux de division ), il existe également de nombreux plans non desarguesiens , non dérivés des coordonnées d'un anneau de division, satisfaisant ces axiomes. L' avion Moulton en est un exemple.

Plans affines finis

Si le nombre de points dans un plan affine est fini, alors si une ligne du plan contient n points alors :

• chaque ligne contient n points,
• chaque point est contenu dans n + 1 lignes,
• il y a n ² points en tout, et
• il y a un total de n ² + n lignes.

Le nombre n est appelé l' ordre du plan affine.

Tous les plans affines finis connus ont des ordres qui sont des nombres entiers premiers ou de puissance première. Le plus petit plan affine (d'ordre 2) est obtenu en retirant une droite et les trois points de cette droite du plan de Fano . Une construction similaire, partant du plan projectif d'ordre trois, produit le plan affine d'ordre trois parfois appelé configuration de Hesse . Un plan affine d'ordre n existe si et seulement si un plan projectif d'ordre n existe (cependant, la définition d'ordre dans ces deux cas n'est pas la même). Ainsi, il n'y a pas de plan affine d'ordre 6 ou d'ordre 10 puisqu'il n'y a pas de plans projectifs de ces ordres. Le théorème de Bruck-Ryser-Chowla fournit des limitations supplémentaires sur l'ordre d'un plan projectif, et donc, l'ordre d'un plan affine.

Les n ² + n lignes d'un plan affine d'ordre n tombent dans n + 1 classes d'équivalence de n lignes chacune sous la relation d'équivalence de parallélisme. Ces classes sont appelées classes parallèles de lignes. Les lignes de toute classe parallèle forment une partition des points du plan affine. Chacune des n + 1 lignes qui passent par un seul point appartient à une classe parallèle différente.

La structure de classes parallèles d'un plan affine d'ordre n peut être utilisée pour construire un ensemble de n − 1 carrés latins mutuellement orthogonaux . Seules les relations d'incidence sont nécessaires pour cette construction.

Relation avec les plans projectifs

Un plan affine peut être obtenu à partir de n'importe quel plan projectif en supprimant une ligne et tous ses points, et inversement tout plan affine peut être utilisé pour construire un plan projectif en ajoutant une ligne à l'infini , dont chacun des points est ce point à l'infini où se rencontre une classe d'équivalence de droites parallèles.

Si le plan projectif n'est pas desarguesien , la suppression de différentes lignes pourrait entraîner des plans affines non isomorphes. Par exemple, il existe exactement quatre plans projectifs d'ordre neuf et sept plans affines d'ordre neuf. Il n'y a qu'un seul plan affine correspondant au plan desarguesien d'ordre neuf puisque le groupe de colinéation de ce plan projectif agit transitivement sur les lignes du plan. Chacun des trois plans non-desarguesiens d'ordre neuf a des groupes de colinéation ayant deux orbites sur les lignes, produisant deux plans affines non isomorphes d'ordre neuf, selon l'orbite sur laquelle la ligne à supprimer est sélectionnée.

Plans de traduction affine

Une ligne L dans un plan projectif Π est une ligne de traduction si le groupe de elations avec l' axe L agit transitivement sur les points du plan affine obtenu en éliminant l par rapport au plan Π . Un plan projectif avec une droite de translation est appelé plan de translation et le plan affine obtenu en supprimant la droite de translation est appelé plan de translation affine . Alors qu'en général il est souvent plus facile de travailler avec des plans projectifs, dans ce contexte les plans affines sont préférés et plusieurs auteurs utilisent simplement le terme plan de translation pour signifier plan de translation affine.

Une autre vue des plans de translation affines peut être obtenue comme suit : Soit V un espace vectoriel à 2 n dimensions sur un champ F . Un étalement de V est un ensemble S de sous-espaces à n dimensions de V qui partitionnent les vecteurs non nuls de V . Les membres de S sont appelés les composantes de la propagation et si V _i et V _j sont des composants distincts alors V _i ⊕ V _j = V . Soit A la structure d'incidence dont les points sont les vecteurs de V et dont les droites sont les co-ensembles de composantes, c'est-à-dire des ensembles de la forme v + U où v est un vecteur de V et U est une composante de l'étalement S . Puis:

A est un plan affine et le groupe des translations x → x + w pour un vecteur w est un groupe d'automorphismes agissant régulièrement sur les points de ce plan.

Généralisation : k -nets

Une structure d'incidence plus générale qu'un plan affine fini est un k - réseau d'ordre n . Celui-ci est constitué de n ² points et nk lignes tels que :

• Le parallélisme (tel que défini dans les plans affines) est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites.
• Chaque ligne a exactement n points et chaque classe parallèle a n lignes (donc chaque classe parallèle de lignes partitionne l'ensemble de points).
• Il existe k classes de droites parallèles. Chaque point se trouve sur exactement k lignes, une de chaque classe parallèle.

Un ( n + 1) -réseau d'ordre n est précisément un plan affine d'ordre n .

Un k - réseau d'ordre n est équivalent à un ensemble de k − 2 carrés latins d'ordre n orthogonaux entre eux .

Exemple : filets de traduction

Pour un champ arbitraire F , soit Σ un ensemble de sous-espaces à n dimensions de l'espace vectoriel F ^{2 n} , dont deux quelconques se coupent uniquement dans {0} (appelé étalement partiel ). Les membres de Σ , et leurs co-ensembles dans F ^{2 n} , forment les lignes d'un filet de translation sur les points de F ^{2 n} . Si | Σ | = k c'est un k -net d'ordre | F ⁿ | . En commençant par un plan de traduction affine , tout sous-ensemble des classes parallèles formera un réseau de traduction.

Étant donné un réseau de translation, il n'est pas toujours possible d'ajouter des classes parallèles au réseau pour former un plan affine. Cependant, si F est un corps infini, tout étalement partiel Σ avec moins de | F | les membres peuvent être étendus et le réseau de traduction peut être complété en un plan de traduction affine.

Codes géométriques

Étant donné la matrice d'incidence "ligne/point" de toute structure d'incidence finie , M , et de tout champ , F l'espace des lignes de M sur F est un code linéaire que nous pouvons désigner par C = C _F ( M ) . Un autre code connexe qui contient des informations sur la structure d'incidence est la coque de C qui est définie comme :

${\displaystyle \operatorname {Hull} (C)=C\cap C^{\perp },}$

où C ^⊥ est le code orthogonal à C .

On ne peut pas dire grand-chose sur ces codes à ce niveau de généralité, mais si la structure d'incidence a une certaine "régularité", les codes produits de cette manière peuvent être analysés et des informations sur les codes et les structures d'incidence peuvent être glanées les unes des autres. Lorsque la structure d'incidence est un plan affine fini, les codes appartiennent à une classe de codes appelés codes géométriques . La quantité d'informations que le code transporte sur le plan affine dépend en partie du choix du champ. Si la caractéristique du champ ne divise pas l'ordre du plan, le code généré est l'espace plein et ne porte aucune information. D'autre part,

• Si π est un plan affine d'ordre n et F est un corps de caractéristique p , où p divise n , alors le poids minimum du code B = Hull ( C _F ( π )) ^⊥ est n et tous les vecteurs de poids minimum sont des multiples constants de vecteurs dont les entrées sont soit zéro, soit un.

Par ailleurs,

• Si π est un plan affine d'ordre p et F est un corps de caractéristique p , alors C = Hull ( C _F ( π )) ^⊥ et les vecteurs de poids minimum sont précisément les multiples scalaires des lignées de (vecteurs d'incidence de) π .

Lorsque π = AG(2, q ) le code géométrique généré est le q -ary Reed-Muller Code .

Espaces affines

Les espaces affines peuvent être définis de manière analogue à la construction de plans affines à partir de plans projectifs. Il est également possible de fournir un système d'axiomes pour les espaces affines de dimension supérieure qui ne se réfère pas à l' espace projectif correspondant .

Remarques

Les références

• Assmus Jr., EF ; Key, JD (1992), Dessins et leurs codes , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and Polar Spaces , QMW Maths Notes, 13 , Londres : Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR  1153019
• Hartshorne, R. (2000), Géométrie : Euclide et au-delà , Springer, ISBN 0387986502
• Hughes, D.; Piper, F. (1973), Plans projectifs , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Lenz, H. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik , Berlin : Deutscher Verlag d. Wiss.
• Moorhouse, Eric (2007), Géométrie d'incidence (PDF)

Lectures complémentaires

• Casse, Rey (2006), Géométrie projective : une introduction , Oxford : Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Dembowski, Peter (1968), Géométries finies , Berlin : Springer Verlag
• Kárteszi, F. (1976), Introduction aux géométries finies , Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Lindner, Charles C. ; Rodger, Christopher A. (1997), Théorie du design , CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
• Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlin : Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Stevenson, Frederick W. (1972), Avions projectifs , San Francisco : WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9