Linjärt utrymme (geometri) - Linear space (geometry)

Ett linjärt utrymme är en grundläggande struktur i förekomstgeometri . Ett linjärt utrymme består av en uppsättning element som kallas punkter och en uppsättning element som kallas linjer . Varje rad är en distinkt delmängd av punkterna. Punkterna på en rad sägs vara infallande med linjen. Alla två rader får inte ha mer än en punkt gemensamt. Intuitivt kan denna regel visualiseras som egenskapen att två raka linjer aldrig skär varandra mer än en gång.

Linjära rum kan ses som en generalisering av projektiva och affine plan , och mer allmänt, av 2- blockera mönster , där kravet på att varje block innehåller samma antal punkter tappas och det väsentliga strukturella kännetecken är att 2 poäng infaller med exakt 1 rad. ${\ displaystyle (v, k, 1)}$

Termen linjärt utrymme myntades av Paul Libois 1964, även om många resultat om linjära utrymmen är mycket äldre.

Definition

Låt L = ( P , G , I ) vara en incidensstruktur , för vilken elementen i P kallas punkter och elementen i G kallas linjer. L är ett linjärt utrymme om följande tre axiom håller:

• (L1) två distinkta punkter infaller med exakt en linje.
• (L2) varje rad är infallande till minst två olika punkter.
• (L3) L innehåller minst två distinkta linjer.

Vissa författare släpper (L3) när de definierar linjära mellanslag. I en sådan situation betraktas de linjära utrymmen som följer (L3) som icke -triviala och de som inte gör det som triviala .

Exempel

Det vanliga euklidiska planet med dess punkter och linjer utgör ett linjärt utrymme, dessutom är alla affina och projektiva utrymmen också linjära utrymmen.

Tabellen nedan visar alla möjliga otrivna linjära mellanslag med fem punkter. Eftersom två punkter alltid är infallande med en linje, dras linjerna som infaller med endast två punkter inte enligt konvention. Det triviala fallet är helt enkelt en linje genom fem punkter.

I den första illustrationen är de tio linjerna som förbinder de tio punkterna inte ritade. I den andra illustrationen ritas inte sju linjer som förbinder sju par punkter.

10 rader	8 rader	6 rader	5 rader

Ett linjärt utrymme med n punkter som innehåller en linje som infaller med n  - 1 punkter kallas en nära penna . (Se penna )

nära penna med 10 poäng

Egenskaper

Den De Bruijn-Erdős sats visar att i någon ändlig linjär utrymme som inte är en enda punkt eller en enda rad, har vi . ${\ displaystyle S = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {L}}, {\ textbf {I}})}$${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} | \ leq | {\ mathcal {L}} |}$

Se även

• Blockdesign
• Fano -plan
• Projektivt utrymme
• Affinera utrymme
• Molekylär geometri
• Delvis linjärt utrymme

Referenser

• Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.

• Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN  3-411-01648-5 , sid. 159 (tyska)
• JH van Lint , RM Wilson : A Course in Combinatorics . Cambridge University Press, 1992, ISBN  0-521-42260-4 . sid. 188
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher: Theory of Finite Linear Spaces . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.