Fonction hauteur - Height function

Une fonction de hauteur est une fonction qui quantifie la complexité des objets mathématiques. En géométrie diophantienne , les fonctions de hauteur quantifient la taille des solutions des équations diophantiennes et sont généralement des fonctions à partir d'un ensemble de points sur des variétés algébriques (ou un ensemble de variétés algébriques) aux nombres réels .

Par exemple, la hauteur classique ou naïve sur les nombres rationnels est typiquement définie comme étant le maximum des numérateurs et dénominateurs des coordonnées (par exemple 3 pour les coordonnées (3/9, 1/2) ), mais dans une échelle logarithmique .

Importance

Les fonctions de hauteur permettent aux mathématiciens de compter des objets, tels que des points rationnels , qui sont autrement infinis en quantité. Par exemple, l'ensemble des nombres rationnels de hauteur naïve (le maximum du numérateur et du dénominateur lorsqu'il est exprimé en termes les plus bas ) en dessous d'une constante donnée est fini bien que l'ensemble des nombres rationnels soit infini. En ce sens, les fonctions de hauteur peuvent être utilisées pour prouver des résultats asymptotiques tels que le théorème de Baker en théorie transcendantale des nombres qui a été prouvé par Alan Baker  ( 1966 , 1967a , 1967b ).

Dans d'autres cas, les fonctions de hauteur peuvent distinguer certains objets en fonction de leur complexité. Par exemple, le théorème du sous - espace prouvé par Wolfgang M. Schmidt  ( 1972 ) démontre que les points de faible hauteur (c'est-à-dire de faible complexité) dans l'espace projectif se trouvent dans un nombre fini d' hyperplans et généralise le théorème de Siegel sur les points intégraux et la solution de l' unité S équation .

Les fonctions de hauteur étaient cruciales pour les preuves du théorème de Mordell-Weil et du théorème de Faltings par Weil  ( 1929 ) et Faltings  ( 1983 ) respectivement. Plusieurs problèmes non résolus en suspens sur les hauteurs de points rationnels sur les variétés algébriques, telles que la conjecture Manin et la conjecture de Vojta , ont des implications importantes pour les problèmes en approximation diophantienne , équations diophantiennes , la géométrie arithmétique et la logique mathématique .

Fonctions de hauteur en géométrie diophantienne

Histoire

Les hauteurs en géométrie diophantienne ont été initialement développées par André Weil et Douglas Northcott à partir des années 1920. Les innovations des années 1960 étaient la hauteur de Néron-Tate et la réalisation que les hauteurs étaient liées aux représentations projectives de la même manière que les faisceaux de lignes amples le sont dans d'autres parties de la géométrie algébrique . Dans les années 1970, Suren Arakelov a développé les hauteurs d' Arakelov dans la théorie d'Arakelov . En 1983, Faltings a développé sa théorie des hauteurs de Faltings dans sa preuve du théorème de Faltings.

Hauteur naïve

La hauteur classique ou naïve est définie en termes de valeur absolue ordinaire sur des coordonnées homogènes . Il s'agit généralement d'une échelle logarithmique et peut donc être considérée comme étant proportionnelle à la "complexité algébrique" ou au nombre de bits nécessaires pour stocker un point. Il est généralement défini comme étant le logarithme de la valeur absolue maximale du vecteur d'entiers premiers entre eux obtenu en multipliant par un plus petit dénominateur commun . Ceci peut être utilisé pour définir la hauteur sur un point de l'espace projectif sur Q , ou d'un polynôme, considéré comme un vecteur de coefficients, ou d'un nombre algébrique, à partir de la hauteur de son polynôme minimal.

La hauteur naïve d'un nombre rationnel x = p / q (en termes les plus bas) est

• hauteur multiplicative ${\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}$
• hauteur logarithmique : ${\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}$

Par conséquent, les hauteurs multiplicatives et logarithmiques naïves de 4/10 sont 5 et log(5) , par exemple.

La hauteur naïve H d'une courbe elliptique E donnée par y ² = x ³ + Ax + B est définie comme étant H(E) = log max(4| A | ³ , 27| B | ² ) .

Hauteur Néron–Tate

La hauteur de Néron-Tate , ou hauteur canonique , est une forme quadratique sur le groupe de Mordell-Weil de points rationnels d'une variété abélienne définie sur un corps global . Il porte le nom d' André Néron , qui l'a d'abord défini comme une somme de hauteurs locales, et de John Tate , qui l'a défini globalement dans un ouvrage inédit.

Hauteur de chute

La hauteur de Weil est définie sur une variété projective X sur un corps de nombres K muni d'un faisceau de droites L sur X . Étant donné un faisceau de droites L ₀ très ample sur X , on peut définir une fonction de hauteur en utilisant la fonction de hauteur naïve h . Depuis L ₀ ' est très ample, son système linéaire complet donne une carte φ de X à l' espace projectif. Alors pour tous les points p sur X , définir ${\displaystyle h_{L_{0}}(p):=h(\phi (p)).}$

On peut écrire un faisceau de droites arbitraire L sur X comme la différence de deux faisceaux de droites très amples L ₁ et L ₂ sur X , jusqu'au faisceau de torsion de Serre O(1) , ainsi on peut définir la hauteur de Weil h _L sur X par rapport à à L via (jusqu'à O(1) ). ${\displaystyle h_{L} :=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}$

hauteur d'Arakelov

La hauteur d'Arakelov sur un espace projectif sur le corps des nombres algébriques est une fonction de hauteur globale avec des contributions locales provenant des métriques de Fubini-Study sur les champs d'Archimède et de la métrique habituelle sur les champs non archimédiens . C'est la hauteur habituelle de Weil équipée d'une métrique différente.

Hauteur de chute

La hauteur de Faltings d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres est une mesure de sa complexité arithmétique. Elle est définie en termes de hauteur d'un faisceau de lignes métrisé . Elle a été introduite par Faltings  ( 1983 ) dans sa démonstration de la conjecture de Mordell .

Fonctions de hauteur en algèbre

Hauteur d'un polynôme

Pour un polynôme P de degré n donné par

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

la hauteur H ( P ) est définie comme étant le maximum des grandeurs de ses coefficients :

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}$

On pourrait de même définir la longueur L ( P ) comme la somme des grandeurs des coefficients :

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}$

Relation avec la mesure de Mahler

La mesure de Mahler M ( P ) de P est aussi une mesure de la complexité de P . Les trois fonctions H ( P ), L ( P ) et M ( P ) sont liées par les inégalités

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}} ; }$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\style d'affichage H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}$

où est le coefficient binomial . ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$

Fonctions de hauteur dans les formes automorphes

Une des conditions dans la définition d'une forme automorphe sur le groupe linéaire général d'un groupe algébrique adélique est la croissance modérée , qui est une condition asymptotique sur la croissance d'une fonction de hauteur sur le groupe linéaire général vu comme une variété affine .

Voir également

• conjecture abc
• Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
• Conjecture de Lehmer elliptique
• Constante de Heath-Brown–Moroz
• Hauteur d'un droit de groupe formel
• Fonction zêta de hauteur
• Théorème d'isogénie de Raynaud
• Hauteur de l'arbre

Les références

Sources

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Liens externes

• Hauteur polynomiale à Mathworld