Hoogte functie - Height function

Een hoogtefunctie is een functie die de complexiteit van wiskundige objecten kwantificeert. In Diophantische meetkunde kwantificeren hoogtefuncties de grootte van oplossingen voor Diophantische vergelijkingen en zijn ze typisch functies van een reeks punten op algebraïsche variëteiten (of een reeks algebraïsche variëteiten) tot de reële getallen .

De klassieke of naïeve hoogte over de rationale getallen wordt bijvoorbeeld meestal gedefinieerd als het maximum van de tellers en noemers van de coördinaten (bijvoorbeeld 3 voor de coördinaten (3/9, 1/2) ), maar dan op een logaritmische schaal .

Betekenis

Hoogtefuncties stellen wiskundigen in staat om objecten te tellen, zoals rationale punten , die anders oneindig in hoeveelheid zijn. Bijvoorbeeld, de reeks rationale getallen van naïeve hoogte (het maximum van de teller en noemer uitgedrukt in laagste termen ) onder een gegeven constante is eindig ondanks dat de reeks rationale getallen oneindig is. In die zin kan hoogte functies worden gebruikt om te bewijzen asymptotische resultaten zoals theorema Baker in transcendentietheorie dat werd bevestigd door Alan Baker  ( 1966 , 1967a , 1967b ).

In andere gevallen kunnen hoogtefuncties sommige objecten onderscheiden op basis van hun complexiteit. Bijvoorbeeld, de deelruimtestelling bewezen door Wolfgang M. Schmidt  ( 1972 ) toont aan dat punten van kleine hoogte (dwz kleine complexiteit) in projectieve ruimte in een eindig aantal hypervlakken liggen en generaliseert de stelling van Siegel op integrale punten en oplossing van de S-eenheid vergelijking .

Hoogtefuncties waren cruciaal voor de bewijzen van de stelling van Mordell-Weil en de stelling van Faltings door respectievelijk Weil  ( 1929 ) en Faltings  ( 1983 ). Verschillende openstaande onopgeloste problemen over de hoogten van rationale punten op algebraïsche variëteiten, zoals het vermoeden van Manin en het vermoeden van Vojta , hebben verstrekkende implicaties voor problemen in Diophantische benadering , Diophantische vergelijkingen , rekenkundige meetkunde en wiskundige logica .

Hoogtefuncties in Diophantische geometrie

Geschiedenis

Hoogten in Diophantische meetkunde werden oorspronkelijk ontwikkeld door André Weil en Douglas Northcott vanaf de jaren 1920. Innovaties in de jaren zestig waren de Néron-Tate-hoogte en het besef dat hoogten waren gekoppeld aan projectieve representaties op vrijwel dezelfde manier als ruime lijnenbundels in andere delen van de algebraïsche meetkunde . In de jaren zeventig ontwikkelde Suren Arakelov Arakelov-hoogten in de Arakelov-theorie . In 1983 ontwikkelde Faltings zijn theorie van Faltings-hoogten in zijn bewijs van de stelling van Faltings.

Naïeve hoogte

Klassieke of naïeve hoogte wordt gedefinieerd in termen van gewone absolute waarde op homogene coördinaten . Het is typisch een logaritmische schaal en kan daarom worden gezien als evenredig met de "algebraïsche complexiteit" of het aantal bits dat nodig is om een ​​punt op te slaan. Het wordt meestal gedefinieerd als de logaritme van de maximale absolute waarde van de vector van coprime gehele getallen die wordt verkregen door vermenigvuldiging met een kleinste gemene deler . Dit kan worden gebruikt om de hoogte te definiëren op een punt in de projectieve ruimte over Q , of van een polynoom, beschouwd als een vector van coëfficiënten, of van een algebraïsch getal, vanaf de hoogte van zijn minimale polynoom.

De naïeve hoogte van een rationaal getal x = p / q (in laagste termen) is

• multiplicatieve hoogte ${\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}$
• logaritmische hoogte: ${\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}$

Daarom zijn de naïeve multiplicatieve en logaritmische hoogten van 4/10 bijvoorbeeld 5 en log(5) .

De naïeve hoogte H van een elliptische kromme E gegeven door y ² = x ³ + Ax + B wordt gedefinieerd als H(E) = log max(4| A | ³ , 27| B | ² ) .

Néron-Tate hoogte

De Néron-Tate-hoogte , of canonieke hoogte , is een kwadratische vorm op de Mordell-Weil-groep van rationale punten van een abelse variëteit die over een globaal veld wordt gedefinieerd . Het is vernoemd naar André Néron , die het voor het eerst definieerde als een som van lokale hoogten, en John Tate , die het globaal definieerde in een niet-gepubliceerd werk.

Weil hoogte

De hoogte Weil wordt gedefinieerd op een projectieve ras X over een getallenveld K voorzien van een verzamelbuis L aan X . Gegeven een zeer ruime lijnenbundel L ₀ op X , kan men een hoogtefunctie definiëren met behulp van de naïeve hoogtefunctie h . Aangezien L ₀ ' zeer ruim is, geeft het volledige lineaire systeem een ​​kaart ϕ van X naar de projectieve ruimte. Definieer dan voor alle punten p op X${\displaystyle h_{L_{0}}(p):=h(\phi (p)).}$

Men kan een willekeurige verzamelbuis brief L aan X als het verschil van twee zeer ruime lijnbundels L ₁ en L ₂ op X , tot Serre's draaien bundel O (1) , zodat men de Weil hoogte worden gekwalificeerd h _L aan X opzichte naar L via (tot O(1) ). ${\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}$

Arakelov hoogte

De Arakelov-hoogte op een projectieve ruimte boven het veld van algebraïsche getallen is een globale hoogtefunctie met lokale bijdragen afkomstig van Fubini-studiestatistieken op de Archimedische velden en de gebruikelijke metriek op de niet-Archimedische velden . Het is de gebruikelijke Weil-hoogte uitgerust met een andere metriek.

Faltings hoogte

De Faltings-hoogte van een abelse variëteit gedefinieerd over een getalveld is een maat voor de rekenkundige complexiteit ervan. Het wordt gedefinieerd in termen van de hoogte van een gemetriseerde lijnbundel . Het werd geïntroduceerd door Faltings  ( 1983 ) in zijn bewijs van het vermoeden van Mordell .

Hoogtefuncties in algebra

Hoogte van een polynoom

Voor een polynoom P van graad n gegeven door

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

de hoogte H ( P ) wordt gedefinieerd als het maximum van de grootten van zijn coëfficiënten:

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}$

Men zou op dezelfde manier de lengte L ( P ) kunnen definiëren als de som van de grootten van de coëfficiënten:

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}$

Relatie met Mahler-maat

De Mahler maat M ( P ) van P is ook een maat voor de complexiteit van P . De drie functies H ( P ), L ( P ) en M ( P ) zijn gerelateerd door de ongelijkheden

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}}; }$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\ Displaystyle H (p) \ leq L (p) \ leq (n + 1) H (p)}$

waar is de binomiale coëfficiënt . ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$

Hoogtefuncties in automorfe vormen

Een van de voorwaarden in de definitie van een automorfe vorm op de algemene lineaire groep van een adelische algebraïsche groep is matige groei , wat een asymptotische voorwaarde is voor de groei van een hoogtefunctie op de algemene lineaire groep, gezien als een affiene variëteit .

Zie ook

• abc vermoeden
• Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden
• Elliptische Lehmer vermoeden
• Heath-Brown-Moroz constante
• Hoogte van een formeel groepsrecht
• Hoogte zeta-functie
• De isogeniestelling van Raynaud
• Boom hoogte

Referenties

bronnen

• Bakker, Alan (1966). "Lineaire vormen in de logaritmen van algebraïsche getallen. I". wiskunde. Een tijdschrift voor zuivere en toegepaste wiskunde . 13 (2): 204-216. doi : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967a). "Lineaire vormen in de logaritmen van algebraïsche getallen. II". wiskunde. Een tijdschrift voor zuivere en toegepaste wiskunde . 14 : 102-107. doi : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Baker, Alan (1967b). "Lineaire vormen in de logaritmen van algebraïsche getallen. III". wiskunde. Een tijdschrift voor zuivere en toegepaste wiskunde . 14 (2): 220-228. doi : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN  0025-5793 . MR  0220680 .
• Bakker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmische vormen en diophantische geometrie . Nieuwe wiskundige monografieën. 9 . Cambridge University Press . P. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl  1.145,11004 .
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Hoogten in Diophantische Geometrie . Nieuwe wiskundige monografieën. 4 . Cambridge University Press . doi : 10.2277/0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1.130,11034 .
• Borwein, Peter (2002). Computationele excursies in analyse en getaltheorie . CMS-boeken in de wiskunde. Springer-Verlag . blz.  2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1.020,12001 .
• Bump, Daniël (1998). Automorfe vormen en representaties . Cambridge Studies in geavanceerde wiskunde. 55 . Cambridge University Press. P. 300. ISBN 9780521658188.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Rekenkundige meetkunde . New York: Springer. ISBN 0387963111.→ Bevat een Engelse vertaling van Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [eindigheidsstellingen voor abelse variëteiten over getalvelden]. Inventiones Mathematicae (in het Duits). 73 (3): 349-366. doi : 10.1007/BF01388432 . MR  0718935 . S2CID  121049418 .
• Faltings, Gerd (1991). "Diophantische benadering van abelse variëteiten". Annalen van de wiskunde . 123 (3): 549-576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR  2944319 . MR  1109353 .
• Fili, Paulus; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "Energie-integralen en kleine punten voor de hoogte van Arakelov". Archief der Mathematik . 109 (5): 441-454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID  119161942 .
• Mahler, K. (1963). "Op twee extreme eigenschappen van polynomen" . Illinois J. Math . 7 (4): 681–701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl  0.117,04003 .
• Néron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Ann. van Wiskunde. (in het Frans). 82 (2): 249-331. doi : 10.2307/1970644 . JSTOR  1970644 . MR  0179173 .
• Schinzel, Andrzej (2000). Veeltermen met speciale aandacht voor reduceerbaarheid . Encyclopedia of Mathematics en haar toepassingen. 77 . Cambridge: Cambridge University Press . P. 212 . ISBN 0-521-66225-7. Zbl  0.956,12001 .
• Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Normvormvergelijkingen". Annalen van de wiskunde . Tweede serie. 96 (3): 526-551. doi : 10.2307/1970824 . JSTOR  1970824 . MR  0314761 .
• Lang, Serge (1988). Inleiding tot de Arakelov-theorie . New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. MR  0969124 . Zbl  0.667,14001 .
• Lang, Serge (1997). Overzicht van diophantische geometrie . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0.869,11051 .
• Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques" . Acta Mathematica . 52 (1): 281-315. doi : 10.1007/BF02592688 . MR  1555278 .
• Silverman, Joseph H. (1994). Geavanceerde onderwerpen in de rekenkunde van elliptische krommen . New York: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8.
• Vojta, Paul (1987). Diophantische benaderingen en theorie van waardeverdeling . Collegenota's in de wiskunde. 1239 . Berlijn, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. MR  0883451 . Zbl  0.609,14011 .

Externe links

• Polynomiale hoogte bij Mathworld