Construction de projets - Proj construction

En géométrie algébrique , Proj est une construction analogue à la construction du spectre d'un anneau des schémas affines , qui produit des objets avec les propriétés typiques des espaces projectifs et des variétés projectives . La construction, bien que non fonctoriale , est un outil fondamental en théorie des schémas .

Dans cet article, tous les anneaux seront supposés commutatifs et avec identité.

Proj d'un anneau gradué

Proj en tant qu'ensemble

Soit un anneau gradué , où${\style d'affichage S}$

est la décomposition en somme directe associée à la gradation. L' idéal non pertinent de est l'idéal des éléments de degré positif${\style d'affichage S}$On dit qu'un idéal est homogène s'il est engendré par des éléments homogènes. Ensuite, en tant qu'ensemble,Par souci de concision, nous écrirons parfois pour . ${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proj comme espace topologique

On peut définir une topologie , appelée la topologie de Zariski , en définissant les ensembles fermés comme étant ceux de la forme ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

où est un idéal homogène de . Comme dans le cas des schémas affines, on vérifie rapidement que la forme des ensembles fermés d'une topologie sur . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage V(a)}$${\style d'affichage X}$

En effet, si sont une famille d'idéaux, alors nous avons et si l'ensemble d'indexation I est fini, alors . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\gauche(\prod a_{i}\right)}$

De manière équivalente, nous pouvons prendre les ensembles ouverts comme point de départ et définir

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

Un raccourci courant est de désigner par , où est l' idéal généré par . Pour tout idéal , les ensembles et sont complémentaires, et donc la même preuve que précédemment montre que les ensembles forment une topologie sur . L'avantage de cette approche est que les ensembles , où s'étendent sur tous les éléments homogènes de l'anneau , forment une base pour cette topologie, qui est un outil indispensable pour l'analyse de , de même que le fait analogue pour le spectre d'un anneau est également indispensable. ${\style d'affichage D(Sf)}$${\style d'affichage D(f)}$${\displaystyle Sf}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage D(a)}$${\style d'affichage V(a)}$${\style d'affichage D(a)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage D(f)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proj comme schéma

Nous construisons également un faisceau sur , appelé « faisceau de structure » comme dans le cas affine, ce qui en fait un schéma . Comme dans le cas de la construction Spec, il y a plusieurs manières de procéder : la plus directe, qui est aussi très évocatrice de la construction de fonctions régulières sur une variété projective en géométrie algébrique classique, est la suivante. Pour tout ensemble ouvert de (qui est par définition un ensemble d'idéaux premiers homogènes de ne pas contenir ) nous définissons l'anneau comme étant l'ensemble de toutes les fonctions ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S_{+}}$${\style d'affichage O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(où désigne le sous-anneau de l'anneau des fractions constitué de fractions d'éléments homogènes de même degré) tel que pour chaque idéal premier de : ${\style d'affichage S_{(p)}}$${\style d'affichage S_{p}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage U}$

1. ${\style d'affichage f(p)}$est un élément de ;${\style d'affichage S_{(p)}}$
2. Il existe un ouvert contenant des éléments homogènes de de même degré tels que pour chaque idéal premier de : ${\displaystyle V\sous-ensemble U}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage s,t}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage V}$
   • ${\style d'affichage t}$n'est pas dans ;${\style d'affichage q}$
   • ${\style d'affichage f(q)=s/t}$

Il découle immédiatement de la définition que la forme une gerbe d'anneaux sur , et on peut montrer que la paire ( , ) est en fait un schéma (ceci est accompli en montrant que chacun des sous - ensembles ouverts est en fait un schéma affine) . ${\style d'affichage O_{X}(U)}$${\style d'affichage O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage O_{X}}$${\style d'affichage D(f)}$

La gerbe associée à un module gradué

La propriété essentielle de pour la construction ci-dessus était la capacité de former des localisations pour chaque idéal premier de . Cette propriété est également possédée par tout module gradué sur , et donc avec les modifications mineures appropriées, la section précédente construit pour une telle gerbe, notée , de -modules sur . Ce faisceau est quasi - cohérent par construction. Si est généré par un nombre fini d'éléments de degré (par exemple un anneau polynomial ou un quotient homogène de celui-ci), tous les faisceaux quasi-cohérents sur proviennent de modules gradués par cette construction. Le module noté correspondant n'est pas unique. ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S_{(p)}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage M}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\style d'affichage O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage 1}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

La gerbe tordue de Serre

Pour des informations connexes, et la gerbe de torsion de Serre classique, voir faisceau tautologique

Un cas particulier de la gerbe associée à un module gradué est celui où l'on considère être lui-même avec une gradation différente : à savoir, on laisse les éléments de degré de être les éléments de degré de , donc${\style d'affichage M}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage d}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage (j+1)}$${\style d'affichage S}$

et dénoter . On obtient alors une gerbe quasi cohérente sur , notée ou simplement , appelée gerbe de torsion de Serre . On peut vérifier qu'il s'agit bien d'une gerbe inversible . ${\style d'affichage M=S(1)}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage O_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Une des raisons de l'utilité de est qu'il récupère l'information algébrique de qui a été perdue lorsque, dans la construction de , nous sommes passés aux fractions de degré zéro. Dans le cas Spec

A pour un anneau A , les sections globales du faisceau de structure forment A elle-même, alors que les sections globales d' ici ne forment que les éléments de degré zéro de . Si on définit ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\style d'affichage S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

alors chacun contient les informations de degré sur , noté , et pris ensemble, ils contiennent toutes les informations de classement qui ont été perdues. De même, pour tout faisceau de modules gradués, nous définissons ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\style d'affichage N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

et attendez-vous à ce que cette gerbe « tordue » contienne des informations de classement sur . En particulier, si est le faisceau associé à un module gradué, nous nous attendons également à ce qu'il contienne des informations de gradation perdues sur . Ceci suggère, bien qu'à tort, que l' on puisse en fait reconstituer à partir de ces gerbes ; comme${\style d'affichage N}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage S}$

$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$$

cependant, cela est vrai dans le cas d' un anneau polynomial, ci-dessous. Cette situation est à contraster avec le fait que le foncteur spec est adjoint au foncteur de sections globales dans la catégorie des espaces localement annelés . ${\style d'affichage S}$

N- espace projectif

Article détaillé : Géométrie algébrique des espaces projectifs

Si est un anneau, nous définissons l' espace

n projectif sur le schéma${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

La gradation sur l'anneau polynomial est définie en laissant chacun avoir le degré un et chaque élément de , degré zéro. En comparant cela à la définition de , ci-dessus, nous voyons que les sections de sont en fait des polynômes homogènes linéaires, générés par eux - mêmes. Cela suggère une autre interprétation de , à savoir comme la gerbe de « coordonnées » pour , puisque les sont littéralement les coordonnées de l' espace projectif . ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\style d'affichage x_{i}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\style d'affichage x_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\style d'affichage x_{i}}$${\style d'affichage n}$

Exemples de projets

Proj sur la ligne affine

Si nous laissons l'anneau de base être , alors${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$

a un morphisme projectif canonique à la droite affine dont les fibres sont des courbes elliptiques sauf aux points où les courbes dégénèrent en courbes nodales. Il y a donc une fibration${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$${\style d'affichage \lambda =0,1}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end {matrice}}}$$

qui est aussi un morphisme lisse de schémas (qui peut être vérifié en utilisant le critère Jacobien ).

Hypersurfaces projectives et variétés

L' hypersurface projective est un exemple de

triple quintique de Fermat qui est aussi une variété de Calabi-Yau . En plus des hypersurfaces projectives, toute variété projective découpée par un système de polynômes homogènes${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{ 5})\droit)}$

$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$

in -variables peuvent être convertis en un schéma projectif en utilisant la construction proj pour l'algèbre graduée${\style d'affichage (n+1)}$

$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}} }$$

donnant une incorporation de variétés projectives dans des schémas projectifs.

Espace projectif pondéré

Article détaillé : Espace projectif pondéré

Les espaces projectifs pondérés peuvent être construits à l'aide d'un anneau polynomial dont les variables ont des degrés non standard. Par exemple, l'espace projectif pondéré correspond à la prise de l'anneau où ont un poids alors qu'il a un poids 2. ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} }$${\style d'affichage A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$${\style d'affichage X_{0},X_{1}}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage X_{2}}$

Anneaux bigradés

La construction proj s'étend aux anneaux bigrades et multigrades. Géométriquement, cela correspond à prendre des produits de schémas projectifs. Par exemple, étant donné les anneaux gradués

$${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_ {1}]}$$

avec le degré de chaque générateur . Ensuite, le produit tensoriel de ces algèbres donne l'algèbre bigrade${\style d'affichage 1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_ {0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$

où ont du poids et ont du poids . Ensuite, la construction proj donne${\style d'affichage X_{i}}$${\style d'affichage (1,0)}$${\displaystyle Y_{i}}$${\style d'affichage (0,1)}$

$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\ mathbb {P} ^{1}}$$

qui est un produit de schémas projectifs. Il y a un plongement de tels schémas dans l'espace projectif en prenant l'algèbre graduée totale

$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$

où un élément de degré est considéré comme un élément de degré . Cela signifie que la pièce classée -ème de est le module${\style d'affichage (a,b)}$${\style d'affichage (a+b)}$${\style d'affichage k}$${\displaystyle S_{\bullet }}$

$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$

De plus, le schéma est maintenant livré avec des gerbes bigrades qui sont le produit tensoriel des gerbes où${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$

$${\displaystyle \pi _{1} :{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$

et

$${\displaystyle \pi _{2} :{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

sont les projections canoniques provenant des injections de ces algèbres à partir du diagramme produit tensoriel des algèbres commutatives.

Projet mondial

Une généralisation de la construction Proj remplace l'anneau S par un faisceau d'algèbres et produit, comme résultat final, un schéma qui pourrait être considéré comme une fibration de Proj d'anneaux. Cette construction est souvent utilisée, par exemple, pour construire des faisceaux spatiaux projectifs sur un schéma de base .

Hypothèses

Formellement, soit X un schéma quelconque et S un faisceau de -algèbres graduées (dont la définition est similaire à la définition des

-modules sur un espace localement annelé ) : c'est-à-dire un faisceau avec une décomposition en somme directe ${\style d'affichage O_{X}}$${\style d'affichage O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

où chacun est un -module tel que pour chaque sous-ensemble ouvert

U de X , S ( U ) est une -algèbre et la décomposition en somme directe résultante ${\style d'affichage S_{i}}$${\style d'affichage O_{X}}$${\style d'affichage O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

est une gradation de cette algèbre sous forme d'anneau. Ici, nous supposons que . On fait l'hypothèse supplémentaire que

S est un faisceau quasi-cohérent ; il s'agit d'une hypothèse de « cohérence » sur les sections sur différents ensembles ouverts qui est nécessaire pour que la construction se poursuive. ${\style d'affichage S_{0}=O_{X}}$

Construction

Dans cette configuration, nous pouvons construire un schéma et une application de « projection »

p sur X tels que pour tout ouvert affine U de X , ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

Cette définition suggère que nous construisons en définissant d'abord des schémas pour chaque ouvert affine

U , en fixant ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\style d'affichage Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

et des cartes , puis en montrant que ces données peuvent être collées « sur » chaque intersection de deux affines ouverts

U et V pour former un schéma Y que nous définissons comme . Il n'est pas difficile de montrer que définir chacun comme étant l'application correspondant à l'inclusion de dans S ( U ) comme éléments de degré zéro donne la cohérence nécessaire des , tandis que la cohérence des eux - mêmes découle de l'hypothèse de quasi-cohérence sur S . ${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\style d'affichage p_{U}}$${\style d'affichage O_{X}(U)}$${\style d'affichage p_{U}}$${\style d'affichage Y_{U}}$

La gerbe tordue

Si S a la propriété supplémentaire d' être un

faisceau cohérent et engendre localement S sur (c'est-à-dire lorsqu'on passe au brin du faisceau S en un point x de X , qui est une algèbre graduée dont les éléments de degré zéro forment l'anneau puis les éléments de degré un forment un module de génération finie et génèrent également la tige sous forme d'algèbre sur lui), alors nous pouvons faire une autre construction. Sur chaque ouvert affine U , Proj S ( U ) porte un faisceau inversible O(1) , et l'hypothèse que nous venons de faire assure que ces faisceaux peuvent être collés comme ci - dessus ; la gerbe résultante est également notée O (1) et sert à peu près au même objectif que la gerbe de torsion sur le Proj d'un anneau. ${\style d'affichage S_{1}}$${\style d'affichage S_{0}}$${\style d'affichage O_{X,x}}$${\style d'affichage O_{X,x}}$ ${\style d'affichage Y_{U}}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

Proj d'une gerbe quasi-cohérente

Soit un faisceau quasi-cohérent sur un schéma . Le faisceau d'algèbres symétriques est naturellement un faisceau quasi-cohérent de -modules gradués , généré par des éléments de degré 1. Le schéma résultant est noté . Si est de type fini, alors son morphisme canonique est un

morphisme projectif . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$${\style d'affichage O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

Pour tout , la fibre du morphisme ci-dessus sur est l'espace projectif associé au dual de l'espace vectoriel sur . ${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$${\style d'affichage k(x)}$

Si est un faisceau quasi-cohérent de -modules gradués , généré par et tel qui est de type fini, alors est un sous-schéma fermé de et est alors projectif sur . En fait, tout sous-schéma fermé d'un projectif est de cette forme. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\style d'affichage O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Paquets spatiaux projectifs

Article détaillé : Paquet spatial projectif

Comme cas particulier, quand est localement libre de rang , on obtient un

fibré projectif sur de dimension relative . En effet, si l'on prend une couverture ouverte de X par des affines ouvertes telle que lorsqu'elle est restreinte à chacune d'elles, est libre sur A , alors ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\style d'affichage n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n }]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

et est donc un fibré spatial projectif. De nombreuses familles de variétés peuvent être construites en tant que sous-schémas de ces faisceaux projectifs, comme la famille de courbes elliptiques de Weierstrass. Pour plus de détails, voir l'article principal. ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Exemple de projet global

Global proj peut être utilisé pour construire des crayons Lefschetz . Par exemple, prenons et prenons des polynômes homogènes de degré k. On peut considérer le faisceau idéal de et construire le proj global de ce faisceau quotient d'algèbres . Ceci peut être décrit explicitement comme le morphisme projectif . ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s ,t}^{1}}$

Voir également

• Espace projectif
• Géométrie algébrique des espaces projectifs
• Projectivisation

Les références

• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007/bf02699291 . MR  0217084 .
• Hartshorne, Robin (1977), Géométrie algébrique , Textes d'études supérieures en mathématiques , 52 , New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157