Groupe de Lie complexe - Complex Lie group

En géométrie , un groupe de Lie complexe est un groupe de Lie sur les nombres complexes; c'est-à-dire que c'est une variété complexe-analytique qui est aussi un groupe d'une telle manière est holomorphe . Les exemples de base sont les groupes linéaires généraux sur les nombres complexes . Un groupe de Lie complexe compact connecté est précisément un tore complexe (à ne pas confondre avec le groupe de Lie complexe ). Tout groupe fini peut recevoir la structure d'un groupe de Lie complexe. Un groupe de Lie semi-simple complexe est un groupe algébrique linéaire . ${\ displaystyle G \ fois G \ à G, (x, y) \ mapsto xy ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie complexe est une algèbre de Lie complexe .

Exemples

Un espace vectoriel de dimension finie sur les nombres complexes (en particulier, l'algèbre de Lie complexe) est un groupe de Lie complexe de manière évidente.
Un groupe de Lie complexe compact connexe A de dimension g est de la forme où L est un sous-groupe discret. En effet, son algèbre de Lie peut être montrée comme abélienne et est alors un morphisme surjectif de groupes de Lie complexes, montrant que A est de la forme décrite. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / L}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {exp}: {\ mathfrak {a}} \ vers A}$
${\ displaystyle \ mathbb {C} \ vers \ mathbb {C} ^ {*}, z \ mapsto e ^ {z}}$ est un exemple de morphisme de groupes de Lie complexes qui ne provient pas d'un morphisme de groupes algébriques. Depuis , c'est aussi un exemple de représentation d'un groupe de Lie complexe qui n'est pas algébrique. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = \ operatorname {GL} _ {1} (\ mathbb {C})}$
Soit X une variété complexe compacte. Alors, comme dans le cas réel, est un groupe de Lie complexe dont l'algèbre de Lie est . ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (X, TX)}$
Soit K un groupe de Lie compact connecté . Ensuite , il existe un groupe de Lie complexe connecté unique de G tel que (i) et (ii) K est un sous - groupe compact maximal de G . Elle est appelée la complexification de K . Par exemple, est la complexification du groupe unitaire . Si K agit sur un compact collecteur Kähler X , l'action de K s'étend à celle de G . ${\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ operatorname {Lie} (K) \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Groupe algébrique linéaire associé à un groupe de Lie semi-simple complexe

Soit G un groupe de Lie semi-simple complexe. Ensuite , G admet une structure naturelle d'un groupe algébrique linéaire comme suit: soit l'anneau des fonctions holomorphes f sur G telles que des portées d' un espace vectoriel de dimension finie à l' intérieur de l'anneau des fonctions holomorphes sur G (ici G agit par translation à gauche: ) . Puis est le groupe algébrique linéaire qui, vu comme une variété complexe, est le G original . Plus concrètement, choisissez une représentation fidèle de G . Alors Zariski est fermé . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle G \ cdot f}$ ${\ Displaystyle g \ cdot f (h) = f (g ^ {- 1} h)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$ ${\ displaystyle \ rho: G \ à GL (V)}$ ${\ displaystyle \ rho (G)}$ ${\ displaystyle GL (V)}$