Komplexe Lügengruppe - Complex Lie group

In der Geometrie ist eine komplexe Lie-Gruppe eine Lie-Gruppe über den komplexen Zahlen; dh es ist ein komplexer analytischen Verteiler , die auch eine ist Gruppe in einer solchen Weise ist holomorphe . Grundlegende Beispiele sind die allgemeinen linearen Gruppen über den komplexen Zahlen . Eine zusammenhängende kompakte komplexe Lie-Gruppe ist genau ein komplexer Torus (nicht zu verwechseln mit der komplexen Lie-Gruppe ). Jeder endlichen Gruppe kann die Struktur einer komplexen Lie-Gruppe gegeben werden. Eine komplexe semisimple Lie-Gruppe ist eine lineare algebraische Gruppe . ${\ displaystyle G \ times G \ bis G, (x, y) \ mapsto xy ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

Die Lie-Algebra einer komplexen Lie-Gruppe ist eine komplexe Lie-Algebra .

Beispiele

Ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen (insbesondere der komplexen Lie-Algebra) ist auf offensichtliche Weise eine komplexe Lie-Gruppe.
Eine verbundene kompakte komplexe Lie-Gruppe A der Dimension g hat die Form, in der L eine diskrete Untergruppe ist. In der Tat kann gezeigt werden , dass seine Lie-Algebra abelsch ist und dann ein surjektiver Morphismus komplexer Lie-Gruppen ist, wobei gezeigt wird , dass A die beschriebene Form hat. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / L}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {exp}: {\ mathfrak {a}} \ to A}$
${\ displaystyle \ mathbb {C} \ bis \ mathbb {C} ^ {*}, z \ mapsto e ^ {z}}$ ist ein Beispiel für einen Morphismus komplexer Lie-Gruppen, der nicht aus einem Morphismus algebraischer Gruppen stammt. Da dies auch ein Beispiel für eine Darstellung einer komplexen Lie-Gruppe ist, die nicht algebraisch ist. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = \ operatorname {GL} _ {1} (\ mathbb {C})}$
Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Dann ist, wie im realen Fall, eine komplexe Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra ist . ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (X, TX)}$
Sei K eine zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe . Dann existiert eine einzigartige verbundene komplexe Lie-Gruppe G, so dass (i) und (ii) K eine maximal kompakte Untergruppe von G ist . Es wird die gerufene Komplexifizierung von K . Zum Beispiel ist die Komplexifizierung der einheitlichen Gruppe . Wenn K auf einem kompakten wirkenden Kählermannigfaltigkeit X , dann ist die Wirkung von K erstreckt , die der G . ${\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ operatorname {Lie} (K) \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Lineare algebraische Gruppe, die einer komplexen semisimple Lie-Gruppe zugeordnet ist

Sei G eine komplexe semisimple Lie-Gruppe. Dann G zugibt eine natürliche Struktur einer linearen algebraischen Gruppe wie folgt: Es sei der Ring holomorpher Funktionen seiner f auf G , so dass Spannen ein endlich-dimensionalen Vektorraum innerhalb des Rings holomorpher Funktionen auf G (hier G von links Übersetzung wirkt: ) . Dann ist die lineare algebraische Gruppe, die, wenn sie als komplexe Mannigfaltigkeit betrachtet wird, das ursprüngliche G ist . Genauer gesagt, wählen Sie eine getreue Darstellung von G . Dann ist Zariski geschlossen . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle G \ cdot f}$ ${\ displaystyle g \ cdot f (h) = f (g ^ {- 1} h)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$ ${\ displaystyle \ rho: G \ zu GL (V)}$ ${\ displaystyle \ rho (G)}$ ${\ displaystyle GL (V)}$