Projektiivinen lajike - Projective variety

On algebrallinen geometria , joka on projektiivisen erilaisia yli algebrallisesti suljettu kunta k on osajoukko noin projektiivisten n -space yli k , joka on nolla-lokuksen äärellinen perheen homogeeninen polynomi on n + 1 muuttujan kanssa kertoimet k , jotka tuottavat ensisijainen ideaali , lajikkeen määrittelevä ideaali. Vastaavasti algebrallinen lajike on projektiivinen, jos se voidaan upottaa niin Zariski suljetun subvariety of . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$

Projektiivinen lajike on projektiivinen käyrä, jos sen ulottuvuus on yksi; se on projektiivinen pinta, jos sen mitat ovat kaksi; se on projektiivinen hypersurface, jos sen mitat ovat yksi pienempi kuin sisältävän projektiivisen tilan koko; tässä tapauksessa se on yhden homogeenisen polynomin nollien joukko .

Jos X on projektiivinen lajike, joka on määritelty homogeenisella alkioideaalilla I , niin jakorengas

${\ displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]/I}$

kutsutaan homogeeninen koordinoida rengas ja X . X: n perusvariantit , kuten aste ja ulottuvuus, voidaan lukea tämän luokitellun renkaan Hilbert -polynomista .

Projektiivisia lajikkeita syntyy monin tavoin. Ne ovat täydellisiä , mikä voidaan karkeasti ilmaista sanomalla, että pisteitä "puuttuu". Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa, mutta Chowin lause kuvaa näiden kahden käsitteen läheistä suhdetta. Osoittaa, että lajike on projektiivinen tapahtuu tutkimalla linja nippujen tai divisors on X .

Projisiivisten lajikkeiden keskeinen piirre on nippujen yhteistiedon rajallisuusrajoitukset. Sileille projektiivisille lajikkeille Serren kaksinaisuutta voidaan pitää Poincarén kaksinaisuuden analogina . Se johtaa myös Riemann-Rochin lauseeseen projektiivisista käyristä, eli ulottuvuuden 1 projektiivisista lajikkeista . Projektivisten käyrien teoria on erityisen rikas, mukaan lukien luokitus käyrän suvun mukaan. Korkeamman ulottuvuuden projektiivisten lajikkeiden luokitteluohjelma johtaa luonnollisesti projektiivisten lajikkeiden moduulien rakentamiseen. Hilbert -kaaviot parametrisoivat suljetut alijärjestelmät määrätyllä Hilbert -polynomilla. Hilbert -kaaviot, joista nurmikkolaiset ovat erityistapauksia, ovat myös projektioita. Geometrinen invarianttiteoria tarjoaa toisen lähestymistavan. Klassisia lähestymistapoja ovat Teichmüller -tila ja Chow -lajikkeet . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$

Erityisen rikas teoria, joka ulottuu klassikoihin, on saatavilla monimutkaisille projektiivisille lajikkeille, toisin sanoen silloin, kun X: ää määrittävillä polynoomeilla on monimutkaiset kertoimet. Yleisesti ottaen GAGA -periaate sanoo, että projektiivisten monimutkaisten analyyttisten tilojen (tai jakotukien) geometria vastaa projektiivisten monimutkaisten lajikkeiden geometriaa. Esimerkiksi X: n holomorfisten vektoripakettien (yleisemmin johdonmukaisten analyysipyörien ) teoria on sama kuin algebrallisten vektoripakettien teoria . Chow'n lause sanoo, että projektiivisen avaruuden osajoukko on holomorfisten funktioiden perheen nolla-lokus silloin ja vain, jos se on homogeenisten polynomien nolla-lokus. Analyyttisten ja algebrallisten menetelmien yhdistelmä monimutkaisille projektiivisille lajikkeille johtaa Hodge -teorian kaltaisiin aloihin .

Lajike ja rakenne

Lajikerakenne

Olkoon k algebrallisesti suljettu kenttä. Projektivien lajikkeiden määritelmän perusta on projektiivinen tila , joka voidaan määritellä eri, mutta vastaavilla tavoilla: ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$

• kaikkien rivien joukkona alkuperän kautta (eli kaikki yksiulotteiset vektorin aliavaruudet )${\ displaystyle k^{n+1}}$${\ displaystyle k^{n+1}}$
• joukkona tupleja , joissa ei kaikki ole nollaa, moduloi ekvivalenssisuhteen${\ displaystyle (x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}) \ in k^{n+1}}$${\ displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {n}}$
  $${\ displaystyle (x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}) \ sim \ lambda (x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n})}$$

  
  mille tahansa . Tällaisen tuplen ekvivalenssiluokkaa merkitään${\ displaystyle \ lambda \ k \ setminus \ {0 \}}$
  $${\ displaystyle [x_ {0}: \ dots: x_ {n}].}$$

  
  Tämä vastaavuusluokka on projektiivisen tilan yleinen kohta. Numeroita kutsutaan pisteen homogeenisiksi koordinaateiksi .${\ displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {n}}$

Projektiiviset lajike on määritelmän mukaan suljettu subvariety on , jossa suljettu viittaa Zariski topologia . Yleensä Zariski-topologian suljetut osajoukot määritellään homogeenisten polynomifunktioiden äärellisen kokoelman yhteiseksi nollapisteeksi. Kun otetaan huomioon polynomi , ehto ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle f \ in k [x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}]}$

${\ displaystyle f ([x_ {0}: \ pisteet: x_ {n}]) = 0}$

ei ole järkevää mielivaltaisille polynoomeille, mutta vain jos f on homogeeninen , eli kaikkien monomien (joiden summa on f ) asteet ovat samat. Tässä tapauksessa katoaminen

${\ displaystyle f (\ lambda x_ {0}, \ pisteitä, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^{\ deg f} f (x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n})}$

on riippumaton valinnasta . ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$

Siksi projektiivinen lajikkeita syntyy yhtenäisistä alkuideaali I on , ja asetus ${\ displaystyle k [x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}]}$

${\ displaystyle X = \ left \ {[x_ {0}: \ dots: x_ {n}] \ in \ mathbb {P} ^{n}, f ([x_ {0}: \ pisteet: x_ {n} ]) = 0 {\ teksti {kaikille}} f \ I \ oikealla \}.}$

Lisäksi projektiivinen lajike X on algebrallinen lajike, mikä tarkoittaa, että se on avoimien affiinisten alalajien peitossa ja täyttää erotteluaksioomin. Siten paikallinen X: n tutkimus (esim. Singulaarisuus) pienenee affiinisen lajikkeen tutkimukseen. Selkeä rakenne on seuraava. Projektiivinen tila on vakiomuotoisten avoimien affiinikarttojen peitossa ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$

${\ displaystyle U_ {i} = \ {[x_ {0}: \ dots: x_ {n}], x_ {i} \ neq 0 \},}$

jotka itsessään ovat affiinisia n -avaruuksia koordinaattirenkaan kanssa

${\ displaystyle k \ vasen [y_ {1}^{(i)}, \ pisteitä, y_ {n}^{(i)} \ oikea], \ quad y_ {j}^{(i)} = x_ { j}/x_ {i}.}$

Sano merkinnän yksinkertaisuuden vuoksi i = 0 ja pudota yläindeksi (0). Sitten on suljettu osa -alue, jonka määrittelee ihanteen tuottama ${\ displaystyle X \ cap U_ {0}}$${\ displaystyle U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle k [y_ {1}, \ pisteitä, y_ {n}]}$

${\ displaystyle f (1, y_ {1}, \ pisteitä, y_ {n})}$

Kaikkien f in I . Siten X on algebrallinen lajike, joka kattaa ( n +1) avoimet affiinikaaviot . ${\ displaystyle X \ cap U_ {i}}$

Huomaa, että X on affiinisen lajikkeen sulkeminen vuonna . Päinvastoin, alkaen jostakin suljetusta (affiinisesta) lajikkeesta , V : n sulkeminen on projektiivinen lajike nimeltä${\ displaystyle X \ cap U_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle V \ osajoukko U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$ projektiiviset loppuun jaV. JosmääritteleeV: n, tämän sulkemisen määrittelevä ideaali on homogeeninen idea, jonkasynnyttää ${\ displaystyle I \ osajoukko k [y_ {1}, \ pisteitä, y_ {n}]}$${\ displaystyle k [x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}]}$

${\ displaystyle x_ {0}^{\ deg (f)} f (x_ {1}/x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}/x_ {0})}$

Kaikkien f in I .

Esimerkiksi, jos V on affiinikäyrä, jonka antaa esimerkiksi affiinitaso, niin sen projektiivinen täydellisyys projektiivisella tasolla annetaan${\ displaystyle y^{2} = x^{3}+kirves+b}$${\ displaystyle y^{2} z = x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

Projektiiviset kaaviot

Eri sovelluksissa on otettava huomioon yleisemmät algebrogeometriset objektit kuin projektiiviset lajikkeet, nimittäin projektiiviset kaaviot. Ensimmäinen askel kohti projektiivisia kaavioita on antaa projektiiviselle avaruudelle rakennerakenne siten, että edellä oleva kuvaus projektiivisesta avaruudesta on algebrallinen lajike, eli järjestelmä, joka muodostuu ( n + 1) kopiosta affine n -tila k ⁿ . Yleisemmin heijastava tila renkaan A päällä on affiinijärjestelmien liitto ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n} (k)}$

${\ displaystyle U_ {i} = \ operaattorinimi {Spec} A [x_ {1}/x_ {i}, \ pisteitä, x_ {n}/x_ {i}], \ quad 0 \ leq i \ leq n,}$

muuttujat täsmäävät odotetulla tavalla. Joukon suljetun pistettä on , algebrallisesti suljettu kentät k , on sitten projektiiviselle tila tavanomaisessa merkityksessä. ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n} (k)}$

Vastaavan mutta virtaviivaisen rakenteen antaa Proj -rakenne , joka on renkaan spektrin analogi , jota kutsutaan nimellä "Spec", joka määrittelee affiinikaavion . Jos esimerkiksi A on rengas, niin

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {A}^{n} = \ operaattorinimi {Proj} A [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].}$

Jos R on osamäärä on tasainen ja sopii I , sitten kanoninen surjektio indusoi suljetun upottamalla${\ displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Proj} R \ hookrightarrow \ mathbb {P} _ {k}^{n}.}$

Verrattuna projektiivisiin lajikkeisiin ehto, että ihanne olen ensisijainen ideaali, hylättiin. Tämä johtaa paljon joustavampaan käsitykseen: toisaalta topologisessa tilassa voi olla useita pelkistymättömiä komponentteja . Lisäksi X: llä voi olla tehottomia toimintoja . ${\ displaystyle X = \ operaattorinimi {Proj} R}$

Suljetut alijärjestelmät vastaavat bijektiivisesti homogeenisia ihanteita I , jotka ovat tyydyttyneitä ; eli Tätä tosiasiaa voidaan pitää hienostuneena versiona projektiivisesta Nullstellensatzista . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle I: (x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}) = I.}$

Voimme antaa edellä mainitun koordinaatittoman analogin. Nimittäin annettaessa äärellinen-ulotteinen vektoritila V k: n yli , annamme

${\ displaystyle \ mathbb {P} (V) = \ operaattorinimi {Proj} k [V]}$

jossa on symmetrinen algebran ja . Se on projectivization ja V ; eli se parametroi V: n linjat . On olemassa kanoninen surjektiivikartta , joka määritellään käyttämällä yllä kuvattua kaaviota. Yksi tärkeä rakenteen käyttö on tämä (vrt. § Kaksinaisuus ja lineaarinen järjestelmä ). Jakaja D on projektiivisen erilaisia X vastaa linjan nippu L . Yksi sitten asetettu ${\ displaystyle k [V] = \ operaattorinimi {Sym} (V^{*})}$${\ displaystyle V^{*}}$${\ displaystyle \ pi: V \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {P} (V)}$

${\ displaystyle | D | = \ mathbb {P} (\ Gamma (X, L))}$;

sitä kutsutaan täydellinen lineaarinen järjestelmä ja D .

Projektiivinen tila minkä tahansa järjestelmän S yläpuolella voidaan määritellä kaavojen kuitutuotteena

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {S}^{n} = \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}}^{n} \ times _ {\ operaattorinimi {Spec} \ mathbb {Z}} S .}$

Jos on kiertämällä nipun Serre päällä , annamme merkitsevät pullback ja että ; eli kanoniselle kartalle${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}}^{n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {S}^{n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1) = g^{*} ({\ mathcal {O}} (1))}$${\ displaystyle g: \ mathbb {P} _ {S}^{n} \ to \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}}^{n}.}$

Kaaviota X → S kutsutaan projektiiviseksi S: n yli, jos se on suljettu upotus

${\ displaystyle X \ \ \ mathbb {P} _ {S}^{n}}$

jota seuraa projektio S: lle .

Viivanipun (tai käännettävän nipun) kaaviossa X S: n yli sanotaan olevan erittäin runsaasti suhteessa S, jos kyseessä on upotus (eli avoin upotus, jota seuraa suljettu upotus) ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle i: X \ to \ mathbb {P} _ {S}^{n}}$

joillekin n niin, että pullbacks . Sitten S -ohjelma X sanoen projektiivisia jos ja vain jos se on oikea , ja on olemassa hyvin runsaasti nippu on X suhteessa S . Itse asiassa, jos X on oikea, erittäin runsasta linjakimppua vastaava upotus on välttämättä suljettu. Toisaalta, jos X on projektiivinen, niin vetäytyminen on alle suljetun upottamalla X osaksi projektiivisen tila on hyvin runsaasti. Tämä "projektiivinen" merkitsee "asianmukaista" on syvempi: eliminaatioteorian päälause . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

Suhde täydellisiin lajikkeisiin

Määritelmän mukaan lajike on täydellinen , jos se on oikea yli k . Valuative kriteeri kunnollisuus ilmaisee intuitio, että oikea lajike, ei ole pisteitä "puuttuu".

Täydellisten ja projektiivisten lajikkeiden välillä on läheinen suhde: toisaalta projektiivinen tila ja siten mikä tahansa projektiivinen lajike on täydellinen. Päinvastoin ei pidä paikkaansa yleisesti. Kuitenkin:

• Sileä käyrä C on projektiivinen jos ja vain jos se on valmis . Tämä on osoittautunut tunnistamalla C kanssa joukon erillisiä arvostus renkaat on toimintokentän k ( C ) yli k . Tässä sarjassa on luonnollinen Zariski -topologia, jota kutsutaan Zariski – Riemann -avaruudeksi .
• Chow lemman todetaan, että mistään täydellinen valikoima X , on projektiivinen lajike Z ja birational morfismi Z → X . (Lisäksi normalisoinnin avulla voidaan olettaa, että tämä projektiivinen lajike on normaali.)

Jotkin projektiivisen lajikkeen ominaisuudet johtuvat täydellisyydestä. Esimerkiksi,

${\ displaystyle \ Gamma (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = k}$

mille tahansa projektiiviselle lajikkeelle X yli k . Tämä tosiasia on Liouvillen lauseen algebrallinen analogi (mikä tahansa holomorfinen funktio kytketyssä kompaktissa monimutkaisessa jakotukissa on vakio). Itse asiassa monimutkaisen analyyttisen geometrian ja algebrallisen geometrian samankaltaisuus monimutkaisissa projektiivisissa lajikkeissa ulottuu paljon pidemmälle kuin tämä, kuten alla selitetään.

Kvasiprojektiiviset lajikkeet ovat määritelmän mukaan niitä, jotka ovat projektiivisten lajikkeiden avoimia alalajeja. Tähän lajikeluokkaan kuuluvat affiinilajikkeet . Affine -lajikkeet eivät ole koskaan täydellisiä (tai projektiivisia). Itse asiassa affiinisen lajikkeen projektiivisen alamuunnoksen ulottuvuuden on oltava nolla. Tämä johtuu siitä, että vain vakiot ovat maailmanlaajuisesti säännöllisiä funktioita projektiivisessa lajikkeessa.

Esimerkkejä ja perusvariantteja

Määritelmän mukaan mikä tahansa homogeeninen ideaali polynomirenkaassa tuottaa projektiivisen kaavion (vaaditaan ensisijaiseksi ideaaliksi lajikkeen antamiseksi). Tässä mielessä esimerkkejä projektiivisista lajikkeista on runsaasti. Seuraavassa luettelossa mainitaan erilaisia ​​projektiivisten lajikkeiden luokkia, jotka ovat huomionarvoisia, koska niitä on tutkittu erityisen intensiivisesti. Jäljempänä käsitellään monimutkaisten projektiivisten lajikkeiden tärkeää luokkaa eli tapausta . ${\ displaystyle k = \ mathbb {C}}$

Kahden projektiivisen tilan tuote on projektiivinen. Itse asiassa on olemassa nimenomainen upotus (nimeltään Segre -upotus )

${\ displaystyle {\ begin {case} \ mathbb {P} ^{n} \ times \ mathbb {P} ^{m} \ to \ mathbb {P} ^{(n+1) (m+1) -1 } \\ (x_ {i}, y_ {j}) \ mapsto x_ {i} y_ {j} \ end {tapaukset}}}$

Tämän seurauksena projektiivisten lajikkeiden tuote yli k on jälleen projektiivinen. Plücker upottamisen ilmentää Grassmannian kuin projektiivisen erilaisia. Lippulajikkeet , kuten yleisen lineaarisen ryhmän modulo , joka on ylempien kolmikulmaisten matriisien alaryhmän osamäärä , ovat myös projektiivisia, mikä on tärkeä tosiasia algebrallisten ryhmien teoriassa . ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (k)}$

Homogeeninen koordinaattirengas ja Hilbert -polynomi

Ensisijaisena ideaalina P, joka määrittelee projektiivisen lajikkeen X, on homogeeninen, homogeeninen koordinaattirengas

${\ displaystyle R = k [x_ {0}, \ pisteitä, x_ {n}]/P}$

on luokiteltu rengas , eli voidaan ilmaista sen luokiteltujen komponenttien suorana summana :

${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} R_ {n}.}$

On olemassa polynomi P siten, että kaikille riittävän suurille n ; sitä kutsutaan Hilbert polynomi on X . Se on numeerinen invariantti, joka koodaa jotakin X: n ulkoista geometriaa . Aste P on mitta r ja X ja sen johtava kerroin kertaa r! on lajikkeen X aste . Aritmeettinen suvun ja X on (-1) ^r ( P (0) - 1), kun X on sileä. ${\ displaystyle \ dim R_ {n} = P (n)}$

Esimerkiksi homogeeninen koordinaatti rengas on ja sen Hilbert-polynomi on ; sen aritmeettinen suku on nolla. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle P (z) = {\ binom {z+n} {n}}}$

Jos homogeeninen koordinaattirengas R on kiinteästi suljettu alue , projektiivisen lajikkeen X sanotaan olevan projektiivisesti normaali . Huomaa, toisin kuin normaalit , projektiivinen normaliteetti riippuu R: stä , X: n upottamisesta projektiiviseen tilaan. Projisoivan lajikkeen normalisointi on projektiivista; itse asiassa se on jonkin X: n homogeenisen koordinaattirenkaan integroidun sulkemisen Proj .

Tutkinto

Antaa olla projektiivinen lajike. On vähintään kaksi vastaavaa tapaa määritellä X: n aste sen upotukseen verrattuna. Ensimmäinen tapa on määritellä se äärellisen joukon kardinaalisuudeksi ${\ displaystyle X \ osajoukko \ mathbb {P} ^{N}}$

${\ displaystyle \#(X \ cap H_ {1} \ cap \ cdots \ cap H_ {d})}$

jossa d on X: n ulottuvuus ja H _i ovat hyperplanoja "yleisasemissa". Tämä määritelmä vastaa intuitiivista käsitystä tutkinnosta. Itse asiassa, jos X on hypersurface, sitten aste X on aste homogeeninen polynomi määritellään X . "Yleiset sijainnit" voidaan tarkentaa esimerkiksi leikkausteorian avulla ; yksi edellyttää, että leikkauskohta on oikea ja että redusoitumattomien komponenttien moninaisuudet ovat kaikki yksi.

Toinen määritelmä, joka on mainittu edellisessä osassa, on se, että aste X on johtava kerroin Hilbert polynomin ja X kertaa (dim X ) !. Geometrisesti tämä määritelmä tarkoittaa, että X -aste on affiinikartion kärjen monikertaisuus X: n päällä .

Annetaan suljetut puhtaiden mittojen osajärjestelmät, jotka leikkaavat oikein (ne ovat yleisessä asennossa). Jos m _i merkitsee pelkistymättömän komponentin Z _i moninaisuutta leikkauksessa (eli leikkauskertoimia ), niin Bézoutin lauseen yleistys sanoo: ${\ displaystyle V_ {1}, \ pisteitä, V_ {r} \ osajoukko \ mathbb {P} ^{N}}$

${\ displaystyle \ sum _ {1}^{s} m_ {i} \ deg Z_ {i} = \ prod _ {1}^{r} \ deg V_ {i}.}$

Risteyksessä moninaisuus m _i voidaan määritellä kerroin Z _i risteyksessä tuote on Chow renkaassa on . ${\ displaystyle V_ {1} \ cdot \ cdots \ cdot V_ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{N}}$

Erityisesti, jos hypersurface ei sisällä X: tä , niin ${\ displaystyle H \ osajoukko \ mathbb {P} ^{N}}$

${\ displaystyle \ sum _ {1}^{s} m_ {i} \ deg Z_ {i} = \ astetta (X) \ astetta (H)}$

jossa Z _i ovat redusoitumattoman komponentteja järjestelmän teoreettista risteyksessä ja X ja H moninaisuus (pituus paikallisen rengas) m _i .

Monimutkaista projektiivista lajiketta voidaan pitää kompaktina monimutkaisena jakotukina ; lajikkeen aste (suhteessa upotukseen) on sitten lajikkeen tilavuus moninaisena suhteessa ympäröivän monimutkaisen projektiivisen tilan perimään metriikkaan . Monimutkaista projektiivista lajiketta voidaan luonnehtia äänenvoimakkuuden minimoijaksi (tietyssä mielessä).

Osien rengas

Olkoon X projektiivinen lajike ja L viivapaketti sen päällä. Sitten luokiteltu rengas

${\ displaystyle R (X, L) = \ bigoplus _ {n = 0}^{\ infty} H^{0} (X, L^{\ otimes n})}$

kutsutaan rengas osien ja L . Jos L on runsaasti , niin Prjis Tämän renkaan on X . Lisäksi, jos X on normaali ja L on hyvin runsas, niin X: n homogeenisen koordinaattirenkaan kiinteä sulkeminen määritetään L: llä ; eli niin, että vedetään takaisin L: ään . ${\ displaystyle R (X, L)}$${\ displaystyle X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^{N}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{N}} (1)}$

Sovelluksissa on hyödyllistä sallia jakajien (tai -jakajien) käyttö vain rivinippujen osalta; olettaen, että X on normaali, syntynyttä rengasta kutsutaan sitten osien yleistetyksi renkaaksi. Jos on kanoninen jakaja on X , sitten yleisen renkaan osien ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ displaystyle R (X, K_ {X})}$

kutsutaan kanoninen rengas ja X . Jos kanoninen rengas on äärellinen muodostetaan niin Prjis renkaan kutsutaan kanoninen malli on X . Kaanonista rengasta tai mallia voidaan sitten käyttää X: n Kodaira -ulottuvuuden määrittämiseen .

Projektiiviset käyrät

Yhden ulottuvuuden projektiivisia kaavoja kutsutaan projektiivisiksi käyriksi . Suuri osa projektiivisten käyrien teoriasta liittyy sujuviin projektiivisiin käyriin, koska käyrien erityispiirteet voidaan ratkaista normalisoimalla , joka käsittää paikallisesti säännöllisten funktioiden renkaan kiinteän sulkemisen . Sileät projektiiviset käyrät ovat isomorfisia silloin ja vain, jos niiden funktiokentät ovat isomorfisia. Lopullisten laajennusten tutkimus

${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} (t),}$

tai vastaavasti sileät projektiiviset käyrät ovat tärkeä algebrallisen lukuteorian haara . ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

Suvun yhden tasaista projektiivista käyrää kutsutaan elliptiseksi käyräksi . Riemann-Rochin lauseen seurauksena tällainen käyrä voidaan upottaa suljetuksi alamuunnokseksi . Yleensä mikä tahansa (sileä) projektiivinen käyrä voidaan upottaa (todisteeksi katso Secant -lajike#Esimerkit ). Päinvastoin, missä tahansa tason kolmessa sileässä suljetussa käyrässä on sukua kaavan mukaan ja se on siten elliptinen käyrä. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{2}}$

Suvun tasaista täydellistä käyrää, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin kaksi, kutsutaan hyperelliptiseksi käyräksi, jos asteen toinen rajallinen morfismi on olemassa . ${\ displaystyle C \ \ \ mathbb {P} ^{1}}$

Projektiiviset hyperpinnat

Jokainen kodimension yhden redusoitumaton suljettu osajoukko on hypersurface ; eli jonkin homogeenisen pelkistymättömän polynomin nollajoukko. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$

Abelin lajikkeet

Toinen tärkeä invariantti projektiivinen lajike X on Picard ryhmä ja X , joukko isomorphism luokkien linja kimput X . Se on isomorfinen ja siksi luontainen käsite (riippumaton upotuksesta). Esimerkiksi Picard -ryhmä on isomorfinen astekartan kautta. Ytimen ei ole vain abstrakti Abelin ryhmä, mutta on olemassa monia kutsutaan Jacobin erilaisia ja X , Jac ( X ), jonka pistettä yhtä tähän ryhmään. (Sileän) käyrän jakobialaisella on tärkeä rooli käyrän tutkimuksessa. Esimerkiksi elliptisen käyrän E jakobilainen on itse E. Suvun g käyrälle X Jac ( X ): llä on ulottuvuus g . ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Pic} (X)}$${\ displaystyle H^{1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}^{*})}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ deg: \ operaattorinimi {Pic} (X) \ to \ mathbb {Z}}$

Lajikkeita, kuten jakobilainen lajike, jotka ovat täydellisiä ja joilla on ryhmärakenne , tunnetaan Abelin lajikkeina Niels Abelin kunniaksi . Toisin kuin affiiniset algebralliset ryhmät , kuten tällaiset ryhmät ovat aina kommutoivia, mistä nimi. Lisäksi he hyväksyvät runsaan rivinippun ja ovat siten projektiivisia. Toisaalta aabelin kaava ei välttämättä ole projektiivinen. Esimerkkejä abelilajeista ovat elliptiset käyrät, jakobilaiset lajikkeet ja K3 -pinnat . ${\ displaystyle GL_ {n} (k)}$

Ennusteet

Antaa olla lineaarinen aliavaruus; eli noin lineaarisesti riippumattomia lineaarisia functionals s _i . Sitten projektio E: stä on (hyvin määritelty) morfismi ${\ displaystyle E \ osajoukko \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle E = \ {s_ {0} = s_ {1} = \ cdots = s_ {r} = 0 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {case} \ phi: \ mathbb {P} ^{n} -E \ to \ mathbb {P} ^{r} \\ x \ mapsto [s_ {0} (x): \ cdots : s_ {r} (x)] \ loppu {tapaukset}}}$

Tämän kartan geometrinen kuvaus on seuraava:

• Pidämme niin että se on erilliset alkaen E . Sitten kenelle tahansa ,${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{r} \ osajoukko \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {P} ^{n} \ setminus E}$
  $${\ displaystyle \ phi (x) = W_ {x} \ cap \ mathbb {P} ^{r},}$$

  
  jossa tarkoittaa pienintä lineaarinen sisältävä tila E ja x (kutsutaan liittymään ja E ja x .)${\ displaystyle W_ {x}}$
• ${\ displaystyle \ phi ^{-1} (\ {y_ {i} \ neq 0 \}) = \ {s_ {i} \ neq 0 \},}$missä ovat homogeeniset koordinaatit${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{r}.}$
• Kaikille suljetuille alijärjestelmille, jotka ovat erillään E: stä , rajoitus on rajallinen morfismi .${\ displaystyle Z \ subset \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle \ phi: Z \ to \ mathbb {P} ^{r}}$

Ulokkeita voidaan käyttää leikkaamaan ulottuvuutta, johon projektiivinen lajike on upotettu, rajallisiin morfismiin asti . Aloita jostakin projektiivisesta lajikkeesta Jos projektio pisteestä, joka ei ole X: ssä, antaa Lisäksi on rajallinen kartta sen kuvaan. Näin ollen prosessia iteroimalla nähdään, että on olemassa rajallinen kartta ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^{n}.}$${\ displaystyle n> \ dim X,}$${\ displaystyle \ phi: X \ to \ mathbb {P} ^{n-1}.}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle X \ to \ mathbb {P} ^{d}, \ quad d = \ dim X.}$

Tämä tulos on Noetherin normalisointielman projektiivinen analogi . (Itse asiassa se antaa geometrisen todistuksen normalisoitumislemmasta.)

Samaa menettelyä voidaan käyttää osoittamaan seuraavan hieman tarkempi tulos: annetaan projektiivisen erilaisia X yli täydellinen kenttä, on olemassa rajallinen birational morfismi kohteesta X on hypersurface H on erityisesti, jos X on normaalia, niin se on H: n normalisointi . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{d+1}.}$

Kaksinaisuus ja lineaarinen järjestelmä

Vaikka projektiivinen n -avaruus parametroi viivat affiinisessa n -avaruudessa, sen kaksikko parametroi projektiivisen tilan hyperplanit seuraavasti. Korjaa kenttä k . Vuoteen , tarkoitamme projektiivinen n -space ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n}}$

${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n} = \ operaattorinimi {Proj} (k [u_ {0}, \ pisteitä, u_ {n}])}$

varustettu rakenteella:

${\ displaystyle f \ mapsto H_ {f} = \ {\ alpha _ {0} x_ {0} +\ cdots +\ alpha _ {n} x_ {n} = 0 \}}$, hyperplane päällä ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {L}^{n}}$

jossa on L pisteen of varten kuntalaajennus L ja k ja${\ displaystyle f: \ operatorname {Spec} L \ {{breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} = f^{*} (u_ {i}) \ in L.}$

Jokaiselle L : lle rakenne on bijisointi L -pisteiden joukon ja hypertasojen joukon välillä . Tämän vuoksi kaksoisprojektiivisen avaruuden sanotaan olevan päällä olevien hyperplaneiden moduulitila . ${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {L}^{n}}$${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{n}}$

Viivaa sisään kutsutaan lyijykynäksi : se on hyperplanien perhe, jonka parametrit ovat . ${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k}^{1}}$

Jos V on rajallinen ulottuvuusvektoriavaruus k: n yläpuolella , niin samasta syystä kuin yllä, on hypertasojen avaruus päällä . Tärkeä tapaus on, kun V koostuu linjanipun osista. Nimittäin olkoon X algebrallinen lajike, L rivipaketti X: llä ja vektorin aliavaruus, jolla on äärellinen positiivinen ulottuvuus. Sitten on kartta: ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V^{*}) = \ operaattorinimi {Proj} (\ operaattorinimi {Sym} (V))}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}$${\ displaystyle V \ subset \ Gamma (X, L)}$

${\ displaystyle {\ begin {case} \ varphi _ {V}: X \ setminus B \ to \ mathbb {P} (V^{*}) \\ x \ mapsto H_ {x} = \ {s \ in V | s (x) = 0 \} \ loppu {tapaukset}}}$

määritetään lineaarisella järjestelmällä V , jossa B , jota kutsutaan peruslokaksi , on nollan ei -osioiden jakajien leikkauspiste V: ssä (katso Lineaarinen jakajien järjestelmä#A -kartta, joka määritetään lineaarisella järjestelmällä kartan rakentamiseksi).

Koherenssipyörien kohomologia

Olkoon X projektiivinen kaava kentän (tai yleisemmin Noetherian renkaan A ) päällä. Kohomologia johdonmukaisen lyhteitä päällä X täyttää seuraavat tärkeät lauseet takia Serre: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. ${\ displaystyle H^{p} (X, {\ mathcal {F}})}$on äärellinen ulottuvuus k -vektoritila mille tahansa p: lle .
2. On olemassa kokonaisluku (riippuen ; katso myös Castelnuovo – Mumford -säännöllisyys )${\ displaystyle n_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$
   $${\ displaystyle H^{p} (X, {\ mathcal {F}} (n)) = 0}$$

   
   kaikille ja p > 0, missä on kiertyminen erittäin runsaalla siimanipulla${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (n) = {\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {O}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1).}$

Nämä tulokset ovat osoittautuneet pienenevän tapaukseen käyttämällä isomorfismia ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} ^{n}}$

${\ displaystyle H^{p} (X, {\ mathcal {F}}) = H^{p} (\ mathbb {P}^{r}, {\ mathcal {F}}), p \ geq 0}$

jossa oikealla puolella nähdään nipuna projektiivisessa tilassa nollan verran. Tulosta seuraa sitten suora laskenta n mille tahansa kokonaisluvulle ja mielivaltaisen pienentämisen tähän tapaukseen ilman suurempia vaikeuksia. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{r}} (n),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Seurauksena 1. kohdasta, jos f on projektiivinen morfismi noeetterimallista noeetterirenkaaseen, niin ylempi suora kuva on johdonmukainen. Sama tulos pätee oikeisiin morfismeihin f , kuten voidaan osoittaa Chowin lemman avulla . ${\ displaystyle R^{p} f _ {*} {\ mathcal {F}}}$

Pinkka Kohomologia ryhmiä H ⁱ on noetherian topologinen tilaa kadota i ehdottomasti suurempi kuin ulottuvuus tilaa. Siten määrä, kutsutaan Euler ominaisuus on , ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ chi ({\ mathcal {F}}) = \ summa _ {i = 0}^{\ infty} (-1)^{i} \ dim H^{i} (X, {\ mathcal { F}})}$

on hyvin määritelty kokonaisluku ( X- projektille). Voidaan sitten näyttää joillekin polynomeille P rationaaliluvuilla. Soveltamalla tätä menettelyä rakennekerrokseen saadaan X: n Hilbert -polynomi . Erityisesti, jos X on pelkistymätön ja sillä on mitat r , X: n aritmeettinen suku annetaan ${\ displaystyle \ chi ({\ mathcal {F}} (n)) = P (n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle (-1)^{r} (\ chi ({\ mathcal {O}} _ {X})-1),}$

joka on selvästi luontainen; eli riippumatta upotuksesta.

D -asteen hyperpinnan aritmeettinen suku on mukana . Erityisesti, sileä käyrä aste d sisään on aritmeettinen sukuun . Tämä on suvun kaava . ${\ displaystyle {\ binom {d-1} {n}}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{2}}$${\ displaystyle (d-1) (d-2)/2}$

Sileät projektiiviset lajikkeet

Olkoon X tasainen projektiivinen lajike, jossa kaikilla sen pelkistämättömillä komponenteilla on ulottuvuus n . Tässä tilanteessa kanoninen nippu ω _X , joka määritellään korkeimman asteen Kähler -differentiaalien (eli algebrallisten n -muotojen) nipuksi, on viivakimppu.

Serre kaksinaisuus

Serre kaksinaisuus todetaan, että mille tahansa paikallisesti ilmaiseksi nippu on X , ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle H^{i} (X, {\ mathcal {F}}) \ simeq H^{ni} (X, {\ mathcal {F}}^{\ vee} \ otimes \ omega _ {X}) '}$

jossa yläindeksi prime viittaa kaksoisavaruuteen ja on kaksoisviiva . Yleistäminen projektiivisiin, mutta ei välttämättä sujuviin järjestelmiin tunnetaan Verdier -kaksinaisuutena . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{\ vee}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Riemann-Rochin lause

(Sileä projektiivinen) käyrä X , H ² ja korkeammat katoavat ulottuvuussyistä, ja rakennekannan globaalien osien tila on yksiulotteinen. Siten X: n aritmeettinen suku on . Määritelmän mukaan X: n geometrinen suku on H ⁰ ( X , ω _X ). Serre -kaksinaisuus tarkoittaa siten, että aritmeettinen suku ja geometrinen suku ovat samat. Niitä kutsutaan yksinkertaisesti X -suvuksi . ${\ displaystyle H^{1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Serre -kaksinaisuus on myös keskeinen ainesosa Riemann -Rochin lauseen todistamisessa . Koska X on sileä, esiintyy ryhmien isomorfismi

${\ displaystyle {\ begin {tapaukset} \ operaattorinimi {Cl} (X) \ - \ operaattorinimi {Pic} (X) \\ D \ mapsto {\ mathcal {O}} (D) \ loppu {tapaukset}}}$

(Weil) -jakajien ryhmästä modulo -pääjakajat rivinippujen isomorfismiluokkien ryhmään. Ω _X: ää vastaavaa jakajaa kutsutaan kanoniseksi jakajaksi ja sitä merkitään K: llä . Olkoon l ( D ) mitta . Sitten Riemann -Rochin lause sanoo: jos g on X -suku , ${\ displaystyle H^{0} (X, {\ mathcal {O}} (D))}$

${\ displaystyle l (D) -l (KD) = \ deg D+1-g,}$

tahansa jakaja D on X . Serre -kaksinaisuuden mukaan tämä on sama kuin:

${\ displaystyle \ chi ({\ mathcal {O}} (D)) = \ deg D+1-g,}$

joka voidaan helposti todistaa. Yleistys Riemann-Rochin lauseesta korkeampaan ulottuvuuteen on Hirzebruch-Riemann-Roch-lause sekä kauaskantoinen Grothendieck-Riemann-Roch-lause .

Hilbertin kaaviot

Hilbert -kaaviotparametrisoivat projektiivisen kaavion X kaikki suljetut osa-alueet siinä mielessä, että H: n pisteet (funktionaalisessa mielessä)vastaavat X: n suljettujaosajärjestelmiä. Hilbert -kaavio on sellaisenaan esimerkki moduuli -avaruudesta eli geometrisesta objektista, jonka pisteet parametrisoivat muita geometrisia objekteja. Tarkemmin sanottuna Hilbertin järjestelmää parametrizes suljetun subvarieties jonka Hilbert polynomi on sama määrätty polynomi P . Se on syvä lause, Grothendieck että on järjestelmäyli k siten, että mitä tahansa K -ohjelma T on bijektio ${\ displaystyle H_ {X}^{P}}$

${\ displaystyle \ {{\ text {morphisms}} T \ to H_ {X}^{P} \} \ \ \ longleftrightarrow \ \ \ {{\ text {closed alchemes of}} X \ kertaa _ {k} T {\ text {flat over}} T, {\ text {jossa Hilbertin polynomi}} P. \}}$

Sen suljettua alajärjestelmää, joka vastaa identiteettikarttaa, kutsutaan yleisperheeksi . ${\ displaystyle X \ kertaa H_ {X}^{P}}$${\ displaystyle H_ {X}^{P} - H_ {X}^{P}}$

Varten , Hilbert järjestelmää kutsutaan Grassmannian ja R -planes vuonna ja, jos X on projektiivinen järjestelmässä kutsutaan Fano järjestelmää on r -planes on X . ${\ displaystyle P (z) = {\ binom {z+r} {r}}}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {P} ^{n}} ^{P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n}}$${\ displaystyle H_ {X}^{P}}$

Monimutkaiset projektiiviset lajikkeet

Tässä osiossa kaikki algebralliset lajikkeet ovat monimutkaisia algebrallisia lajikkeita. Monimutkaisten projektiivisten lajikkeiden teorian keskeinen piirre on algebrallisten ja analyyttisten menetelmien yhdistelmä. Siirtymän näiden teorioiden välillä tarjoaa seuraava linkki: koska mikä tahansa monimutkainen polynomi on myös holomorfinen funktio, mikä tahansa monimutkainen lajike X tuottaa monimutkaisen analyyttisen tilan , joka on merkitty . Lisäksi X: n geometriset ominaisuudet heijastuvat . Esimerkiksi jälkimmäinen on monimutkainen jakotukki silloin ja vain, jos X on sileä; se on kompakti silloin ja vain, jos X on oikea yli . ${\ displaystyle X (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle X (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Suhde monimutkaisiin Kähler -jakotukkeihin

Monimutkainen projektiivinen tila on Kähler -jakotukki . Tämä merkitsee sitä, että kaikki projektiiviseen algebrallinen erilaisia X , on kompakti Kähler moninaiset. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa, mutta Kodairan upotuslause antaa kriteerin Kähler -jakotukin olevan projektiivinen. ${\ displaystyle X (\ mathbb {C})}$

Pienissä mitoissa on seuraavat tulokset:

• (Riemann) Pienikokoinen Riemann -pinta (eli pienikokoinen monimutkainen jakotukki ulottuvuus yksi) on heijastava lajike. Vuoteen Torelli lauseen , se on ainutlaatuinen määräytyy sen Jacobin.
• (Chow-Kodaira) Kompakti monimutkainen jakotukki ulottuvuus kaksi, jossa on kaksi algebrallisesti riippumatonta meromorfista funktiota, on heijastava lajike.

GAGA ja Chow'n lause

Chow'n lause tarjoaa hämmästyttävän tavan siirtyä toiseen suuntaan, analyyttisestä algebralliseen geometriaan. Siinä todetaan, että monimutkaisen projektiivisen tilan jokainen analyyttinen osa -alue on algebrallinen. Lause voidaan tulkita sanomalla, että holomorfinen funktio, joka täyttää tietyt kasvuolosuhteet, on välttämättä algebrallinen: "projektiivinen" tarjoaa tämän kasvuolon. Lauseesta voidaan päätellä seuraavaa:

• Meromorfiset funktiot monimutkaisessa projektiivisessa tilassa ovat järkeviä.
• Jos algebrallinen kartta algebrallisten lajikkeiden välillä on analyyttinen isomorfismi , niin se on (algebrallinen) isomorfismi. (Tämä osa on perustiedot monimutkaisesta analyysistä.) Erityisesti Chowin lause viittaa siihen, että projektiivisten lajikkeiden välinen holomorfinen kartta on algebrallinen. (harkitse tällaisen kartan kaaviota.)
• Jokainen projektiivisen lajikkeen holomorfinen vektoripaketti indusoidaan ainutlaatuisella algebrallisella vektoripaketilla.
• Jokainen projektiivisen lajikkeen holomorfinen viivakimppu on jakajan viivanippu.

Chow'n lause voidaan esittää Serren GAGA -periaatteen avulla . Sen päälause sanoo:

Olkoon X projektiprojekti . Sitten funktio, joka liittää X : n koherenssipyörät vastaavan monimutkaisen analyyttisen tilan X ^an koherensseihin, on luokkien ekvivalentti. Lisäksi luonnonkartat ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle H^{i} (X, {\ mathcal {F}}) \ to H^{i} (X^{\ text {an}}, {\ mathcal {F}})}$

ovat isomorfisuudella kaikilla i ja kaikki johdonmukaisia lyhteitä on X .${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Monimutkaiset tori vs. monimutkaiset abelilajikkeet

Abelin lajikkeeseen A over liittyvä monimutkainen jakotukki on kompakti kompleksi Lie -ryhmä . Nämä voidaan osoittaa muodoltaan ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{g}/L}$

ja niitä kutsutaan myös nimellä monimutkainen tori . Tässä g on toruksen ulottuvuus ja L on hila (jota kutsutaan myös periodihilaksi ).

Edellä mainitun yhdenmukaistamislauseen mukaan mitan 1 torus syntyy ulottuvuuden 1 abelilaisesta lajikkeesta, eli elliptisestä käyrästä . Itse asiassa Weierstrassin elliptinen funktio, joka on liitetty L: ään, täyttää tietyn differentiaaliyhtälön ja sen seurauksena se määrittelee suljetun upotuksen: ${\ displaystyle \ wp}$

${\ displaystyle {\ begin {tapaukset} \ mathbb {C} /L \ - \ mathbb {P} ^{2} \\ L \ mapsto (0: 0: 1) \\ z \ mapsto (1: \ wp ( z): \ wp '(z)) \ end {tapaukset}}}$

On p -adic Analogiäänityksessä p-adic yhdenmukaistetaan lause.

Korkeammissa mitoissa monimutkaisten abelilajikkeiden ja monimutkaisten torien käsitteet eroavat toisistaan: vain polarisoidut monimutkaiset tori tulevat abelilajeista.

Kodaira katoaa

Perustavanlaatuinen Kodaira katoava lause todetaan, että runsaasti linja nippu on sileä projektiivisen erilaisia X yli alalla ominaisuuden nolla, ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle H^{i} (X, {\ mathcal {L}} \ otimes \ omega _ {X}) = 0}$

ja i > 0, tai vastaavasti mukaan Serre kaksinaisuuteen varten i < n . Ensimmäinen todiste tästä lauseesta käytti Kähler -geometrian analyyttisiä menetelmiä, mutta puhtaasti algebrallinen todiste löydettiin myöhemmin. Kodairan katoaminen yleensä epäonnistuu sujuvan projektiivisen lajikkeen suhteen positiivisissa ominaisuuksissa. Kodairan lause on yksi erilaisista katoamislauseista, jotka antavat kriteerit korkeamman nipun kohomologioiden katoamiselle. Koska kasan Euler -ominaisuus (katso edellä) on usein hallittavampi kuin yksittäiset kotitekniikkaryhmät, tällä on usein merkittäviä vaikutuksia projektiivisten lajikkeiden geometriaan. ${\ displaystyle H^{i} (X, {\ mathcal {L}}^{-1}) = 0}$

Liittyvät käsitteet

• Moniprojektinen lajike
• Painotettu projektiivinen lajike , painotetun projektiivisen tilan suljettu osa -alue

Katso myös

• Projektiivisten tilojen algebrallinen geometria
• Hilbertin kaava
• Lefschetzin hyperplane -lause
• Minimaalinen malliohjelma

Huomautuksia

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Charles Siegelin Hilbert -malli - blogikirjoitus
• Projektiiviset lajikkeet Ch. 1