Moninkertaisesti suljettu sarja - Multiplicatively closed set

In abstraktin algebran , eli moninkertaistavana suljettu joukko (tai multiplicative sarja ) on osajoukko S on renkaan R siten, että seuraavat kaksi ehtoa pitää:

• 1 ∈ S .
• Kaikille x: lle ja y : lle S : ssä tuote xy on S: ssä .

Toisin sanoen, S on suljettu alle ottaen rajallinen tuotteita, mukaan lukien tyhjät tuote 1. Vastaavasti monikertaisesti joukko on submonoid on multiplikatiivinen monoidi rengas.

Kertolaskujoukot ovat tärkeitä etenkin kommutatiivisessa algebrassa , jossa niitä käytetään rakentamaan kommutatiivisten renkaiden lokalisaatiot .

Renkaan R osajoukkoa S kutsutaan kylläiseksi, jos se on suljettu jakajia ottaen : ts. Aina kun tuote xy on S: ssä , elementit x ja y ovat myös S: ssä .

esimerkit

Yleisiä esimerkkejä kertolaskuista ovat:

• set-theoretic täydennys on alkuideaali vuonna kommutatiivinen rengas;
• joukko {1, x , x ² , x ³ , ...} , missä x on renkaan elementti;
• joukko yksiköitä rengas;
• joukko ei-nolla-jakajia renkaassa;
• 1 + I   ihanteellisen I puolesta .

ominaisuudet

• Kommutatiivisen renkaan R ihanteellinen P on tärkeä silloin ja vain, jos sen komplementti R ∖ P on moninkertaisesti suljettu.
• Osajoukko S on sekä tyydyttynyt että moninkertaisesti suljettu vain ja vain jos S on pääideaalien liiton komplementti . Erityisesti prime-ideaalin komplementti on sekä tyydyttynyt että moninkertaisesti suljettu.
• Kertolaskujen perheen leikkauskohta on kertolasku.
• Kyllästettyjen sarjojen perheen leikkauspiste on kylläinen.

Katso myös

• Renkaan lokalisointi
• Oikea nimittäjä asetettu

Huomautuksia

Viitteet

• MF Atiyah ja IG Macdonald , Johdatus kommutatiiviseen algebraan , Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud , kommutatiivinen algebra kohti algebrallista geometriaa , Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Kommutatiiviset renkaat (uudistettu toim.), University of Chicago Press , MR  0345945
• Serge Lang , Algebra 3. painos, Springer, 2002.