Ilmainen objekti - Free object

Vuonna matematiikan , ajatus vapaa esine on yksi peruskäsitteet abstraktin algebran . Se on osa yleistä algebran , siinä mielessä, että se koskee kaikenlaisia algebrallinen rakenne (jossa finitary toimintaa). Siinä on myös muotoilu kategoriateorian kannalta , vaikka tämä on vielä abstraktimmin. Esimerkkejä ovat vapaat ryhmät , tensorialgebrat tai vapaat ristikot . Epämuodollisesti joukon A yli oleva vapaa objekti voidaan ajatella olevan "yleinen" algebrallinen rakenne A : n päällä : ainoat yhtälöt, jotka pitävät vapaan objektin elementtien välissä, ovat ne, jotka seuraavat algebrallisen rakenteen määrittelevistä aksioomista.

Määritelmä

Vapaa esineet ovat suoria yleistys luokkiin käsitteen perustana on vektoriavaruus. Lineaarinen funktio u  : E ₁ → E ₂ vektoriavaruuksien välillä määräytyy kokonaan sen arvojen perusteella vektoriavaruuden E _{1 perusteella} . Seuraava määritelmä kääntää tämän mihin tahansa luokkaan.

Konkreettinen luokka on luokka, joka on varustettu uskollinen functor ja Set The luokan sarjaa . Olkoon C konkreettinen luokka, jossa on uskollinen funktio F  : C → Aseta . Olkoon X objektin joukko (eli X on joukko, jota tässä kutsutaan perustaksi ), olkoon A objekti C : ssä ja olkoon i  : X → F ( A ) ruiskutuskartta joukkojen X ja F välillä ( A ) (kutsutaan kanoniseksi lisäykseksi ). Sitten A: n sanotaan olevan vapaa objekti X: ssä ( i: n suhteen ) silloin ja vain, jos se täyttää seuraavat yleisominaisuudet :

tahansa esine B on C ja kaikki kartta sarjojen välissä f  : X → F ( B ) , on olemassa ainutlaatuinen morfismi g  : → B on C siten, että f = F ( g ) ∘ i . Eli seuraava kaavio liikkuu:

${\ displaystyle {\ begin {array} {c} X {\ xrightarrow {\ quad i \ quad}} F (A) \\ {} _ {f} \ search \ quad \ swarrow {} _ {F (g) } \\ F (B) \ quad \\\ end {array}}}$

Näin vapaa functor joka rakentaa vapaa esine joukosta X tulee vasemmalle adjoint että huonomuistinen functor .

Esimerkkejä

Vapaiden objektien luominen etenee kahdessa vaiheessa. Algebrat, jotka noudattavat assosiatiivista lakia , ensimmäinen askel on harkita kaikkien mahdollisten aakkosista muodostettujen sanojen kokoamista . Sitten sanalle asetetaan joukko vastaavuussuhteita , joissa suhteet ovat käsillä olevan algebrallisen objektin määritteleviä suhteita. Vapaa objekti koostuu tällöin vastaavuusluokkien joukosta .

Harkitse esimerkiksi vapaan ryhmän rakentamista kahteen generaattoriin . Yksi alkaa aakkosella, joka koostuu viidestä kirjaimesta . Ensimmäisessä vaiheessa "kirjaimille" tai ; ne annetaan myöhemmin, toisessa vaiheessa. Näin ollen yhtä hyvin voisi aloittaa viiden kirjaimen aakkosella . Tässä esimerkissä kaikkien sanojen tai merkkijonojen joukko sisältää merkkijonoja, kuten aebecede ja abdc , ja niin edelleen, mielivaltaisen äärellisen pituisia, ja kirjaimet on järjestetty kaikessa mahdollisessa järjestyksessä. ${\ displaystyle \ {e, a, b, a^{-1}, b^{-1} \}}$${\ displaystyle a^{-1}}$${\ displaystyle b^{-1}}$${\ displaystyle S = \ {a, b, c, d, e \}}$${\ displaystyle W (S)}$

Seuraavassa vaiheessa asetetaan joukko vastaavuussuhteita. Ekvivalenssirelaatiot varten ryhmä ovat kuin kertominen identiteetin, ja moninkertaistuminen inverssien: . Soveltamalla näitä suhteita yllä oleviin merkkijonoihin saadaan ${\ displaystyle ge = eg = g}$${\ displaystyle gg^{-1} = g^{-1} g = e}$

${\ displaystyle aebecede = aba^{-1} b^{-1},}$

jossa ymmärrettiin, että se on stand-in ja on stand-in , kun taas identiteettielementti. Samoin yhdellä on ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a^{-1}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle b^{-1}}$${\ displaystyle e}$

${\ displaystyle abdc = abb^{-1} a^{-1} = e.}$

Vapaa objekti merkitsee ekvivalenssisuhdetta tai kongruenssia sanalla ekvivalenssiluokkien kokoelma . Näin ollen tässä esimerkissä kahden ryhmän generaattorien vapaa ryhmä on osamäärä${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle F_ {2} = L (S)/\ sim.}$

Tämä kirjoitetaan usein siten, että missä on kaikkien sanojen joukko, ja se on identiteetin vastaavuusluokka ryhmän määrittävien suhteiden asettamisen jälkeen. ${\ displaystyle F_ {2} = L (S)/E}$${\ displaystyle W (S) = \ {a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {n} \, \ vert \; a_ {k} \ in S \,; \, n \ in \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle E = \ {a_ {1} a_ {2} \ pisteitä a_ {n} \, \ vert \; e = a_ {1} a_ {2} \ pisteitä a_ {n} \,; \, a_ { k} \ in S \,; \, n \ in \ mathbb {N} \}}$

Yksinkertaisempi esimerkki ovat ilmaiset monoidit . Joukon X vapaa monoidi on kaikkien äärellisten merkkijonojen monoidi, joka käyttää X : ää aakkosena, ja toimintojen ketjutus . Identiteetti on tyhjä merkkijono. Pohjimmiltaan vapaa monoidi on yksinkertaisesti kaikkien sanojen joukko ilman vastaavuussuhteita. Tätä esimerkkiä kehitetään edelleen artikkelissa Kleene -tähdestä .

Yleinen tapaus

Yleisessä tapauksessa algebrallisten suhteiden ei tarvitse olla assosiatiivisia, jolloin lähtökohtana ei ole kaikkien sanojen joukko, vaan suluilla varustetut merkkijonot, joita käytetään osoittamaan ei-assosiatiiviset kirjainryhmät. Tällaista merkkijonoa voi vastaavasti esittää binääripuu tai vapaa magma ; puun lehdet ovat aakkosten kirjaimia.

Algebralliset suhteet voivat tällöin olla yleisiä ariteetteja tai puun lehdillä olevia lopullisia suhteita . Sen sijaan, että aloitettaisiin kaikkien mahdollisten suluissa olevien merkkijonojen keräämisestä, voi olla helpompaa aloittaa Herbrand -universumista . Vapaan objektin sisällön asianmukainen kuvaaminen tai luetteleminen voi olla helppoa tai vaikeaa riippuen kyseisestä algebrallisesta objektista. Esimerkiksi kahden generaattorin vapaa ryhmä kuvataan helposti. Sitä vastoin vapaiden Heyting -algebrojen rakenteesta tiedetään vain vähän tai ei lainkaan useammassa kuin yhdessä generaattorissa. Ongelma sen määrittämisessä, kuuluuko kaksi eri merkkijonoa samaan vastaavuusluokkaan, tunnetaan sanatehtävänä .

Kuten esimerkit viittaavat, vapaat objektit näyttävät syntaksin rakenteilta ; voidaan kääntää tämä jossain määrin sanomalla, että syntaksin suuret käyttötarkoitukset voidaan selittää ja luonnehtia vapaiksi objekteiksi tavalla, joka tekee ilmeisesti raskaan "välimerkit" selitettäviksi (ja mieleenpainuvammiksi).

Ilmaiset yleisalgebrat

Antaa olla mikä tahansa joukko, ja anna olla algebrallinen rakenne tyypin syntyy . Olkoon tämän algebrallisen rakenteen taustalla oleva joukko , jota joskus kutsutaan sen universumiksi , ja olkoon funktio. Sanomme, että (tai epävirallisesti vain ) on vapaa algebra (tyyppiä ) vapaiden generaattoreiden joukossa , jos jokaiselle tyypin algebralle ja toiminnolle , missä universumi on , on ainutlaatuinen homomorfismi , joka${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi: S \ - A}$${\ displaystyle (A, \ psi)}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ tau: S \ B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ sigma: A \ B}$${\ displaystyle \ sigma \ circ \ psi = \ tau.}$

Ilmainen functor

Yleisimmässä puitteet vapaa kohde on luokka teoria , jossa yksi määrittelee functor The vapaa functor , joka on vasemmalla adjungoitu on huonomuistinen functor .

Tarkastellaan luokan C on algebrallinen rakenne ; esineitä voidaan ajatella joukkoina ja operaatioina noudattaen joitain lakeja. Tässä luokassa on functor, The huonomuistinen functor , joka kartoittaa esineitä ja toiminnot C ja Set The luokan sarjaa . Unohtamaton functor on hyvin yksinkertainen: se vain jättää huomiotta kaikki toiminnot. ${\ displaystyle U: \ mathbf {C} \ \ mathbf {Set}}$

Vapaa functor F , kun se on olemassa, on U: n vasen liitännäinen . Eli vie sarjaa X in Set niiden vastaavia vapaita objekteja F ( X ) kategoriassa C . Joukkoa X voidaan ajatella vapaan objektin F ( X ) "generaattoreiden" joukkona . ${\ displaystyle F: \ mathbf {Aseta} \ arvoksi \ mathbf {C}}$

Jotta vapaa functor olisi vasen liitännäinen, on oltava myös set -morfismi . Tarkemmin sanottuna F on isomorfismiin asti C , jolle on tunnusomaista seuraava yleisominaisuus : ${\ displaystyle \ eta: X \ - U (F (X)) \, \!}$

Aina kun A on algebra C : ssä ja g  : X → U ( A ) on funktio (morfismi joukkojen luokassa), silloin on olemassa ainutlaatuinen C -morfismi h  : F ( X ) → A siten, että U ( h ) ∘  η = g .

Konkreettisesti tämä lähettää joukon vapaaseen objektiin kyseisellä joukolla; se on "perustan sisällyttäminen". Merkintä väärin , (tämä väärinkäyttö, koska X on joukko, kun taas F ( X ) on algebra; oikein, se on ). ${\ displaystyle X \ - F (X)}$${\ displaystyle X \ - U (F (X))}$

Luonnollinen muunnos kutsutaan yksikkö ; yhdessä laskurin kanssa voidaan rakentaa T-algebra ja siten monadi . ${\ displaystyle \ eta: \ operaattorinimi {id} _ {\ mathbf {Aseta}} \ UF}$ ${\ displaystyle \ varepsilon: FU \ operaattorinimelle {id} _ {\ mathbf {C}}}$

Cofree functor on oikeus adjungoitu on huonomuistinen functor.

Olemassaolo

On olemassa olemassaolon yleislauseita; kaikkein yksinkertaisin niistä takaa sen

Aina kun C on lajike , jokaiselle joukolle X on vapaa objekti F ( X ) C: ssä .

Täällä, erilaisia on synonyyminä finitary algebrallinen luokkaan , mikä merkitsee, että joukko suhteet ovat finitary ja algebrallinen koska se on monadisen ohi Set .

Yleinen tapaus

Muunlaiset unohdukset aiheuttavat myös esineitä, jotka ovat aivan kuin vapaita esineitä, koska ne jätetään unohtavan functorin viereen, ei välttämättä joukkoihin.

Esimerkiksi tensor algebran rakennettaessa vektori tila on vasemmalla adjungoitu on functor on yhdistys algebras sivuutetaan algebran rakenne. Siksi sitä kutsutaan usein myös vapaaksi algebraksi . Samoin symmetrinen algebra ja ulkoinen algebra ovat vapaat symmetriset ja anti-symmetriset algebrat vektoriavaruudessa.

Luettelo ilmaisista objekteista

Erityisiä ilmaisia ​​esineitä ovat:

• ilmainen algebra
  • ilmainen assosiatiivinen algebra
  • ilmainen kommutoiva algebra
• ilmainen luokka
  • ilmainen tiukka yksivärinen luokka
• ilmainen ryhmä
  • ilmainen Abelin ryhmä
  • vapaa osittain kommutoiva ryhmä
• ilmainen Kleene algebra
• vapaa hila
  • ilmainen Boolen algebra
  • vapaa jakeluhila
  • ilmainen Heyting -algebra
  • ilmainen modulaarinen hila
• vapaa Lie algebra
• ilmainen magma
• vapaa moduuli ja erityisesti vektoritila
• ilmainen monoidi
  • vapaa kommutoiva monoidi
  • vapaa osittain kommutoiva monoidi
• ilmainen rengas
• ilmainen puoliryhmä
• ilmainen semirointi
  • ilmainen kommutoiva semirointi
• ilmainen teoria
• termi algebra
• erillinen tila

Katso myös

• Luo sarja

Huomautuksia