Volný objekt - Free object

V matematice je představa volného objektu jedním ze základních pojmů abstraktní algebry . Je součástí univerzální algebry v tom smyslu, že se vztahuje ke všem typům algebraické struktury (s konečnými operacemi). Má také formulaci z hlediska teorie kategorií , i když je to ještě abstraktnější pojmy. Příklady zahrnují volné skupiny , tenzorové algebry nebo volné mříže . Neformálně lze volný objekt nad množinou A považovat za „generickou“ algebraickou strukturu nad A : mezi prvky volného objektu platí pouze rovnice, které vyplývají z definujících axiomů algebraické struktury.

Definice

Volné objekty jsou přímým zobecněním na kategorie pojmu základ ve vektorovém prostoru. Lineární funkce u  : E ₁ → E ₂ mezi vektorovými prostory je zcela určena jeho hodnotami na základě vektorového prostoru E ₁ . Následující definice to překládá do jakékoli kategorie.

Kategorie beton je kategorie, který je vybaven věrnou functor k sadě , v kategorii souborů . Nechť C je konkrétní kategorie s věrným funktorem F  : C → Nastavit . Nechť X je objekt v sadě (to znamená, že X je množina, zde nazývaná základ ), nechť A je objekt v C a nechť i  : X → F ( A ) je injektivní mapa mezi množinami X a F ( A ) (nazývá se kanonické vkládání ). Potom se říká, že A je volný objekt na X (s ohledem na i ) právě tehdy, pokud splňuje následující univerzální vlastnost :

pro jakýkoli objekt B v C a jakoukoli mapu mezi množinami f  : X → F ( B ) existuje jedinečný morfismus g  : A → B v C takový, že f = F ( g ) ∘ i . To znamená, že následující diagram dojíždí:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c} X {\ xrightarrow {\ quad i \ quad}} F (A) \\ {} _ {f} \ searrow \ quad \ swarrow {} _ {F (g) } \\ F (B) \ quad \\\ end {array}}}$

Tímto způsobem je bez functor která staví volný objekt A z množiny X se stává levá adjoint do zapomnění funktoru .

Příklady

Vytváření volných objektů probíhá ve dvou krocích. U algeber, které jsou v souladu s asociativním zákonem , je prvním krokem zvážení shromáždění všech možných slov vytvořených z abecedy . Poté člověk na slova vnese sadu vztahů ekvivalence , kde jsou vztahy určujícími vztahy algebraického objektu, který je po ruce. Volný objekt se pak skládá ze sady tříd ekvivalence .

Uvažujme například o konstrukci volné skupiny ve dvou generátorech . Jeden začíná abecedou skládající se z pěti písmen . V prvním kroku ještě neexistuje žádný přiřazený význam „písmen“ nebo ; tyto budou uvedeny později, ve druhém kroku. Dalo by se tedy stejně dobře začít s abecedou v pěti písmenech . V tomto příkladu bude sada všech slov nebo řetězců obsahovat řetězce jako aebecede a abdc atd. Libovolné konečné délky s písmeny uspořádanými v každém možném pořadí. ${\ Displaystyle \ {e, a, b, a^{-1}, b^{-1} \}}$${\ displaystyle a^{-1}}$${\ displaystyle b^{-1}}$${\ Displaystyle S = \ {a, b, c, d, e \}}$${\ displaystyle W (S)}$

V dalším kroku je uložen soubor vztahů ekvivalence. Tyto ekvivalence pro skupinu je, že násobení identitou, a množení inverzí: . Použitím těchto vztahů na výše uvedené řetězce získáte ${\ Displaystyle ge = eg = g}$${\ Displaystyle gg^{-1} = g^{-1} g = e}$

${\ Displaystyle aebecede = aba^{-1} b^{-1},}$

kde se rozumělo, že je záštitou a je záštitou , zatímco je prvkem identity. Podobně má jeden ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a^{-1}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle b^{-1}}$${\ displaystyle e}$

${\ Displaystyle abdc = abb^{-1} a^{-1} = e.}$

Označující vztah ekvivalence nebo shodu podle , volný objekt je pak soubor tříd ekvivalence slov. V tomto případě je tedy volná skupina ve dvou generátorech kvocient${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle F_ {2} = W (S)/\ sim.}$

Poté , co jsou uloženy vztahy definující skupinu, se často zapisuje jako kde je množina všech slov a je třídou ekvivalence identity. ${\ displaystyle F_ {2} = W (S)/E}$${\ Displaystyle W (S) = \ {a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {n} \, \ vert \; a_ {k} \ in S \,; \, n \ in \ mathbb {N} \}}$${\ Displaystyle E = \ {a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {n} \, \ vert \; e = a_ {1} a_ {2} \ ldots a_ {n} \,; \, a_ { k} \ v S \,; \, n \ v \ mathbb {N} \}}$

Jednodušším příkladem jsou volné monoidy . Volný monoid na sadě X je monoid všech konečných řetězců používajících X jako abecedu s řetězcem operací řetězců. Identita je prázdný řetězec. V podstatě je volný monoid jednoduše souborem všech slov, aniž by byly stanoveny vztahy ekvivalence. Tento příklad je dále rozvinut v článku o Kleeneově hvězdě .

Obecný případ

V obecném případě nemusí být algebraické vztahy asociativní, v takovém případě není výchozím bodem soubor všech slov, ale spíše řetězce přerušované závorkami, které se používají k označení neasociativních seskupení písmen. Takový řetězec může být ekvivalentně reprezentován binárním stromem nebo volným magmatem ; listy stromu jsou písmena z abecedy.

Algebraické vztahy pak mohou být obecné arity nebo konečné vztahy na listech stromu. Spíše než začít shromažďováním všech možných závorkových řetězců může být pohodlnější začít s Herbrandovým vesmírem . Správně popsat nebo vyjmenovat obsah volného objektu může být snadné nebo obtížné v závislosti na konkrétním dotyčném algebraickém objektu. Například volná skupina ve dvou generátorech je snadno popsatelná. Naproti tomu o struktuře volných Heytingových algeber ve více než jednom generátoru je známo jen málo nebo vůbec nic . Problém určení, zda dva různé řetězce patří do stejné třídy ekvivalence, se nazývá slovní problém .

Jak ukazují příklady, volné objekty vypadají jako konstrukce ze syntaxe ; lze to do určité míry zvrátit tím, že hlavní použití syntaxe lze vysvětlit a charakterizovat jako volné objekty způsobem, který činí zjevnou „interpunkci“ vysvětlitelnou (a zapamatovatelnější).

Zdarma univerzální algebry

Nechť je libovolná množina a nechť je algebraická struktura typu generovaného . Nechť je základní sada této algebraické struktury , někdy nazývané její vesmír , a nechme být funkcí. My říkáme, že (nebo neformálně jen ) je volný algebra (typu ) na množině všech volných generátorů , jestliže pro každou algebry typu a každou funkci , kde je vesmír , existuje jedinečná homomorfismus takový, že${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ psi: S \ až A}$${\ Displaystyle (A, \ psi)}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ tau: S \ to B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle \ sigma: A \ to B}$${\ Displaystyle \ sigma \ circ \ psi = \ tau.}$

Bezplatný funktor

Nejobecnější nastavení pro volný objekt je v teorii kategorií , kde se definuje funktor , volný funktor , tj. Levý soused s zapomnětlivým funktorem .

Uvažujme kategorie C z algebraických struktur ; o objektech lze uvažovat jako o sadách plus operacích, dodržujících nějaké zákony. Tato kategorie má funktor, je zapomnětlivý functor , který mapuje objekty a funkce C do sady , v kategorii souborů . Zapomnětlivý funktor je velmi jednoduchý: ignoruje všechny operace. ${\ Displaystyle U: \ mathbf {C} \ to \ mathbf {Set}}$

Volný functor F , pokud existuje, je na levé straně adjoint na U . To znamená, že se sady X v sadě s jejich odpovídající volné předměty F ( X ) v kategorii C . Sadu X lze považovat za množinu „generátorů“ volného objektu F ( X ). ${\ Displaystyle F: \ mathbf {Set} \ to \ mathbf {C}}$

Pro volný functor být levá adjoint, jeden musí mít také Set -morphism . Přesněji řečeno, F je až do izomorfismů v C charakterizován následující univerzální vlastností : ${\ Displaystyle \ eta: X \ až U (F (X)) \, \!}$

Kdykoli A je algebra v C a g  : X → U ( A ) je funkce (morfismus v kategorii množin), pak existuje jedinečný C -morfismus h  : F ( X ) → A takový, že U ( h ) ∘  η = g .

Konkrétně to odešle sadu do volného objektu na této sadě; je to „zahrnutí základu“. Zneužívání notace, (toto zneužívá notaci, protože X je množina, zatímco F ( X ) je algebra; správně, je ). ${\ Displaystyle X \ až F (X)}$${\ displaystyle X \ to U (F (X))}$

Přírodní transformace se nazývá jednotka ; společně s hrabstvím lze sestrojit T-algebru , a tedy monadu . ${\ displaystyle \ eta: \ operatorname {id} _ {\ mathbf {Set}} \ to UF}$ ${\ displaystyle \ varepsilon: FU \ to \ operatorname {id} _ {\ mathbf {C}}}$

Cofree functor je správná adjoint do zapomnění funktoru.

Existence

Platí obecné věty o existenci; ti nejzákladnější z nich to zaručují

Vždy, když C je odrůda , pak pro každou nastavenou X je volný objekt F ( X ) v C .

Zde je odrůda synonymem pro konečnou algebraickou kategorii , což znamená, že množina vztahů je konečná a algebraická, protože je monadická nad sadou .

Obecný případ

Jiné typy zapomnětlivosti také dávají vzniknout objektům, které jsou docela podobné volným předmětům, protože jsou ponechány v zapomnění na funktor, ne nutně v sadách.

Například konstrukce tenzorové algebry na vektorovém prostoru je levá sousední s funktorem na asociativních algebrách, které ignorují strukturu algebry. Často se proto také nazývá volná algebra . Podobně symetrická algebra a vnější algebra jsou volné symetrické a antisymetrické algebry ve vektorovém prostoru.

Seznam volných předmětů

Mezi konkrétní druhy bezplatných objektů patří:

• algebra zdarma
  • volná asociativní algebra
  • volná komutativní algebra
• bezplatná kategorie
  • zdarma přísná monoidální kategorie
• volná skupina
  • svobodná abelianská skupina
  • volná částečně komutativní skupina
• Kleeneova algebra zdarma
• volná mříž
  • zdarma booleovská algebra
  • distribuční mříž zdarma
  • Zdarma Heytingova algebra
  • volný modulární mřížka
• zdarma Lieova algebra
• magma zdarma
• volný modul , a zejména vektorový prostor
• volný monoid
  • volný komutativní monoid
  • volný částečně komutativní monoid
• prsten zdarma
• poloskupina zdarma
• semiring zdarma
  • komutativní semiring zdarma
• svobodná teorie
• termín algebra
• diskrétní prostor

Viz také

• Generační sada

Poznámky