Oggetto gratuito

Gli oggetti liberi vengono esaminati in algebra astratta . Si tratta di strutture algebriche in cui sono valide solo quelle equazioni che derivano dagli assiomi di definizione della struttura algebrica, cioè sono libere da ulteriori relazioni. Nella teoria delle categorie , gli oggetti liberi sono definiti da una proprietà universale .

definizione

Lascia che sia una categoria concreta con la funzione dimentica . Facoltativamente essere ulteriormente molto , un oggetto da e una mappa iniettiva . La coppia viene chiamata libera se viene soddisfatta la seguente proprietà universale: ${\ displaystyle (\ mathrm {K}, V)}$ ${\ Displaystyle V \ colon \ mathrm {K} \ rightarrow \ mathrm {Set}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathrm {K}}$${\ Displaystyle i \ due punti X \ rightarrow V (A)}$${\ displaystyle (A, i)}$${\ displaystyle X}$

Per ogni oggetto da e ogni immagine c'è esattamente un morfismo con , il che significa che il seguente diagramma commutativo è:${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathrm {K}}$${\ Displaystyle f \ due punti X \ rightarrow V (B)}$ ${\ Displaystyle g \ due punti A \ rightarrow B}$${\ Displaystyle f = V (g) \ circ i}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c} X {\ xrightarrow {\ quad i \ quad}} V (A) \\ {} _ {f} \ searrow \ quad \ swarrow {} _ {V (g) } \\ V (B) \ quad \\\ end {array}}}$

Spesso ed è la figura di inclusione . Quindi lascialo fuori e, in modo un po 'impreciso, dai un nome all'oggetto libero . ${\ displaystyle X \ subset V (A)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$

Unicità

Sono libera sopra e libera sopra e sono e uguali in potenza , allora e sono isomorfi . Quindi, se ci sono oggetti liberi, questi sono unici tranne che per l'isomorfismo e dipendono solo dallo spessore dell'insieme. ${\ displaystyle (A, i)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle ({\ tilde {A}}, {\ tilde {i}})}$${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$

Esempi

Il caso più noto è la categoria degli spazi vettoriali su un corpo solido con le mappature lineari K come morfismi. Il funtore dell'oblio mappa uno spazio vettoriale sull'insieme di elementi dello spazio vettoriale, quindi dimentica la struttura dello spazio vettoriale. Se è presente un set, è presente uno spazio vettoriale libero. Per fare ciò, considera lo spazio vettoriale di tutte le mappature con supporto finito . Se la mappatura che mappa a 1 e ogni altro elemento da a 0 è una mappatura iniettiva ed è libera nel senso della definizione precedente. è una base di . Il teorema di unicità non è altro che il noto teorema che gli spazi vettoriali con basi di uguale potenza sono isomorfi. C'è anche la particolarità che ogni spazio vettoriale è libero, perché ogni spazio vettoriale ha una base ed è libero sopra ogni base. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle f \ due punti X \ rightarrow K}$${\ displaystyle i_ {x} \ in E}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle i \ due punti X \ rightarrow E, x \ mapsto i_ {x}}$${\ displaystyle (E, i)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {i_ {x} \ mid x \ in X \}}$${\ displaystyle E}$

Altri esempi sono

• Gruppo abeliano gratuito
• Algebra associativa libera
• Gruppo gratuito
• Algebra di Lie libera
• Magma libero
• Modulo gratuito
• Monoide libero

Libertà come funtore

La costruzione dell'oggetto libero su un insieme assegna un oggetto della categoria data a ciascun insieme, se esistono oggetti liberi nella categoria , ad esempio con le immagini . Se una figura è nella categoria , esiste per definizione esattamente un morfismo , quindi questo è il diagramma ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {K}}$${\ displaystyle X \ mapsto F (X)}$${\ Displaystyle i_ {X} \ colon X \ rightarrow V (F (X))}$${\ Displaystyle \ alpha \ due punti X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle \ mathrm {Set}}$${\ Displaystyle i_ {Y} \ circ \ alpha \ colon X \ rightarrow V (F (Y))}$${\ Displaystyle g _ {\ alpha} \ due punti F (X) \ rightarrow F (Y)}$${\ Displaystyle i_ {Y} \ circ \ alpha = V (g _ {\ alpha}) \ circ i_ {X}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} X & {\ xrightarrow {\ alpha}} & Y \\\ downarrow _ {i_ {X}} && \ downarrow _ {i_ {Y}} \\ V (F (X )) & {\ xrightarrow {V (g _ {\ alpha})}} & V (F (Y)) \ end {array}}}$

è commutativo. Se si imposta , si ottiene un funtore che viene lasciato aggiunto al funtore dimentica. Al contrario, si può definire la libertà come un funtore aggiunto a sinistra del funtore che dimentica.${\ displaystyle F (\ alpha): = g _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle F \ colon \ mathrm {Set} \ rightarrow \ mathrm {K}}$

Prove individuali

1. ↑ Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Discrete and Algebraic Structures - In Brief , Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-662-45176-2 , Capitolo 11.4: Libertà
2. ↑ Thomas W. Hungerford: Algebra , Springer-Verlag (1974), ISBN 978-1-4612-6103-2 , Capitolo I §7, Definizione 7.7
3. ↑ Ulrich Knauer, Kolja Knauer: Discrete and Algebraic Structures - In Brief , Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-662-45176-2 , frase 11.13
4. ↑ Thomas W. Hungerford: Algebra , Springer-Verlag (1974), ISBN 978-1-4612-6103-2 , Capitolo I §7, frase 7.8
5. ^ PJ Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra , Springer-Verlag (1971), ISBN 978-0-387-90033-9 , Capitolo II.10: Oggetti proiettivi, iniettivi e liberi