Riskmått

Den riskmåttet ( engelska riskmått är) i ekonomi ett samlingsbegrepp för statistiska mått , med vilka det är möjligt att använda osäkerhet av en händelse som kommer att beskrivas kvantitativt. Till exempel kan ett företags (övergripande) riskposition registreras på detta sätt.

Allmän

Tillämpningen av riskmått på (förlust) fördelningsfunktioner är en underuppgift i riskkvantifiering , en bedömning av risker genom beskrivning med en lämplig densitets- eller fördelningsfunktion (eller historiska data ) om riskens effekt och allokering av risk åtgärder: Först identifieras de som identifieras Risker beskrivna kvantitativt med lämpliga fördelningsfunktioner ( sannolikhetsfördelning ). En riskmätning används sedan för att bestämma risknivån från fördelningen.

Det finns flera alternativa varianter för det första steget (bestämning av en lämplig densitetsfunktion):

1. med hjälp av två fördelningsfunktioner: en för att visa skadans frekvens under en period (till exempel med hjälp av Poisson-fördelningen ) och en för att visa mängden skada per anspråk (till exempel med normal distribution )
2. med hjälp av en ansluten distributionsfunktion som visar riskpåverkan under en period.

Ett riskmått (som standardavvikelsen eller riskvärdet ) är nu ett uppdrag som tilldelar ett verkligt värde till en densitets- eller fördelningsfunktion. Detta värde bör representera tillhörande risk. Detta möjliggör en jämförelse av risker som beskrivs av olika distributionsfunktioner. Litteraturen ser inte vilka egenskaper en sådan uppgift måste uppfylla för att representera ett riskmått (se egenskaper för riskmått).

Riskåtgärderna kan relatera till enskilda risker (t.ex. skada på egendom, anläggning), men också till ett företags övergripande riskområde (t.ex. i förhållande till vinst). Den kvantitativa bedömningen av en övergripande riskposition kräver en sammanställning av de enskilda riskerna . Detta är till exempel möjligt med hjälp av en Monte Carlo-simulering , där effekterna av alla enskilda risker beaktas i deras beroende i samband med planering.

karakterisering

Riskmått kan i grunden delas in i mått för en enskild risk (dvs. ett riskmått i snävare bemärkelse, såsom standardavvikelse) eller mått som relaterar risken för två slumpmässiga variabler till varandra (dvs. ett riskmått i vidare mening såsom kovarians ).

En annan differentiering av riskmått beror på i vilken utsträckning information från den underliggande fördelningen beaktas. Tvåsidiga riskåtgärder (såsom standardavvikelsen) tar helt hänsyn till dessa, medan de så kallade nedåtriskriskåtgärderna (som VaR och LPM-åtgärderna) bara tar fördelningen upp till en viss gräns.

Riskmåttens egenskaper

Riskåtgärder (RM) kan kännetecknas av de egenskaper de har (se t.ex.). Med hjälp av motsvarande definitioner är det möjligt att diskutera vilka egenskaper ett riskmått ska ha och vilka riskmått som har vilka fördelar och nackdelar i förhållande till beskrivningen av en risk. En viss klass av riskmått definieras också av summan av riskegenskaper.

monotoni

Definition: En risk är monotont om för alla gäller: . ${\ displaystyle X, Y \ i L ^ {0}}$${\ displaystyle X \ preceq _ {st} Y \ Rightarrow \ rho (X) \ leq \ rho (Y)}$

Monotoni betyder att om distributionsfunktionerna gäller för två distributioner och vid varje punkt (så kallad stokastisk dominans ), måste RM gälla . Även om den här egenskapen verkar trivial är den z. B. inte uppfylls när det gäller volatilitet. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F_ {X} (x) \ geq F_ {Y} (x)}$${\ displaystyle \ rho (X) \ leq \ rho (Y)}$

Translationsinvarians

Definition: A RM är translation-invariant (eller kassa invariant) vid varje gäller: . ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ rho (Xm) = \ rho (X) -m}$

Om förlustfördelningen förskjuts med ett fast, riskfritt belopp, ändras RM med exakt samma belopp - om det finns omräkningsinvarians.

Positiv homogenitet

Definition: A RM är homogen positivt om för varje gäller: . ${\ displaystyle \ alpha \ geq 0}$${\ displaystyle \ rho (\ alpha X) = \ alpha \ rho (X)}$

Positiv homogenitet innebär att förlusten och riskmåttet skalas i samma utsträckning.

Underadditivitet

Definition: En RM är underadditiv om: ${\ displaystyle \ rho (X + Y) \ leq \ rho (X) + \ rho (Y)}$

Detta innebär: Om riskerna för två förlustdistributioner kombineras bör riskmåttet inte visa en större risk. Subadditivity formaliserar den grundläggande idén om diversifiering . Diversifiering belönas därför med riskåtgärder om de är underadditiva. Den Value at Risk är ett vanligt mått på risk som inte är subadditiv.

Det finns emellertid också argument som talar mot nyttan av subadditivity.Indelningen i två separata enheter kan i vissa fall ha en lägre risk. Ett exempel kan vara uppdelningen i en " Bad Bank " och en "Good Bank". Att dela upp en systemviktig bank kan också minska riskerna för banksystemet.

Lag invarians (distribution invarians)

En RM är lag-invariant om två identiskt distribuerade slumpvariabler och tillämpar: . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ rho (X) = \ rho (Y)}$

Detta betyder: Om samma risker existerar för två slumpmässiga variabler, om rättsinvarians existerar, visar riskmåttet samma risk.

Komonoton tillsats

En RM är komonoton tillsats när två komonotone stokastiska variabler och gäller: . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ rho (X + Y) = \ rho (X) + \ rho (Y)}$

Komonotonisk tillsats innebär att om de slumpmässiga variablerna är beroende av sammanslagningen av distributionerna, minskas inga risker, dvs. den uppmätta risken blir inte mindre. Om en RM har egenskapen till komonoton tillsats belönas diversifiering bara om riskerna faktiskt minskar.

konvexitet

En RM är konvex om följande gäller för var och en :${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$${\ displaystyle \ rho (\ lambda X + (1- \ lambda) Y) \ leq \ lambda \ rho (X) + (1- \ lambda) \ rho (Y)}$

För positivt homogena riskmått är konvexitet och subadditivitet uppenbarligen likvärdiga. I synnerhet följer subadditivitet från konvexitet när den är inställd. ${\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {1} {2}}}$

Positionsberoende (förlustbaserad) eller positionoberoende (dispersionsbaserad)

Förlustbaserat RM såsom risk-värde eller förväntat underskott mäts i förhållande till absoluta värden och är därför beroende av medelvärdet för distributionen

Platsoberoende riskmått såsom volatilitet mäter risk oberoende av en referenspunkt (endast från distributionsformen). De är därför oberoende av medelvärdet för fördelningen.

Dessa två egenskaper kan delvis omvandlas till varandra. Om till exempel ett positionsberoende riskmått inte tillämpas på en slumpmässig variabel , utan snarare på en centrerad slumpmässig variabel , resulterar ett positionsoberoende riskmått. Eftersom nivån på det förväntade värdet också ingår i beräkningen av positionsberoende riskmått kan dessa också tolkas som en typ av riskjusterat resultatmått . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle XE (X)}$${\ displaystyle E (X)}$

Klassificering av riskåtgärder

Det finns olika klassificeringar av RM baserat på egenskaperna som beskrivs ovan. Dessa kan beskrivas enligt följande:

• Monetär RM: monoton, översättningsvarierande;
• Konvex RM: monoton, översättning invariant, konvex;
• Sammanhängande RM: monoton, översättningsvarierande, positiv homogen, konvex.

Översikt

Standardavvikelse

Den standardavvikelse som mått på risk för en osäker betalning beräknas som ${\ displaystyle \ sigma (X)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ sigma (X) = {\ sqrt {Var (X)}} = {\ sqrt {E \ left (\ left (XE (X) \ right) ^ {2} \ right)}}}$,

i vilken

${\ displaystyle E (X) \,}$det förväntade värdet av är${\ displaystyle X \,}$

och både positiva och negativa avvikelser från det förväntade värdet registreras lika. Den (uppenbara) symmetrin och identiska betydelsen av möjligheter och faror vid riskmätning måste dock sättas i perspektiv. Det verkar också motsäga intuitionen och riskuppfattningen hos de flesta, som bedömer faror (eventuella negativa avvikelser från planen) mycket högre än lika höga möjligheter. ${\ displaystyle E (X)}$

För att beskriva det totala riskområdet, på grund av den speciella betydelsen av möjliga förluster, används så kallade ”nedåtriskriskåtgärder” som specifikt registrerar det möjliga omfånget av negativa avvikelser. Dessa inkluderar till exempel Value at Risk, aktiekravet, LPM: erna (Lower Partial Moments) och sannolikheten för fallissemang. De är användbara om riskerna inte är symmetriska och förluster är särskilt viktiga.

Value at Risk - VaR

I synnerhet inom bank och försäkring används VaR ofta som en nackdel för risk. VaR tar uttryckligen hänsyn till konsekvenserna - relevanta för KonTraG - av en särskilt ogynnsam utveckling för företaget. VaR definieras som mängden skada som inte kommer att överskridas under en viss period med en specificerad sannolikhet (" konfidensnivå " ). Ur formell synvinkel är VaR den (negativa) kvantilen för en distribution. Kvantilen x% för en distribution anger tröskelvärdet upp till vilket x% av alla möjliga värden ligger. Om VaR inte hänvisar till ett ”värde” utan till exempel till kassaflödet talar man ibland om ” kassaflödet i riskzonen ”, vilket dock betyder samma riskmått. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ alpha = 1-p}$

VaR är positivt homogent, monotont, översättningsinvarierande , men i allmänhet inte subadditivt och följaktligen inte sammanhängande. Detta gör det möjligt att konstruera konstellationer där VaR för en finansiell ställning kombinerat från två riskpositioner är högre än summan av VaR för de enskilda positionerna. Detta strider mot en intuition formad av idén om diversifiering.

Kapitalbehov - EKB

Den Kravet aktie EKB (som ett specialfall av riskkapital , RAC) är en situationsberoende riskmått i samband med VaR, som uttryckligen avser bolagets resultat. Den uttrycker hur mycket eget kapital (eller likviditet) som är nödvändigt för att bära realistiska riskrelaterade förluster under en period. Det bestäms som maximalt noll och negativ kvantil för en slumpmässig variabel , som representerar måttet på framgång och betecknar konfidensnivån (säkerhetsnivå). ${\ displaystyle (1- \ alpha)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle EKB _ {\ alpha} (X) = \ max (0; -Q_ {1- \ alpha} (X)) \,}$

där gäller

${\ displaystyle P (X <Q_ {1- \ alpha} (X)) = 1- \ alpha \,}$.

Speciellt för normalt distribuerade betalningar med förväntat värde och standardavvikelse gäller följande: ${\ displaystyle E (X)}$${\ displaystyle \ sigma (X)}$

${\ displaystyle EKB _ {\ alpha} (X) = \ max \ lbrace 0; E (X) + q_ {1- \ alpha} \ sigma (X) \ rbrace \,}$.

Nedre partiella ögonblick - LPM

De lägre partiella ögonblicken är riskmått som, som nedåtriskmåttet, endast avser en del av den totala sannolikhetstätheten. De registrerar bara de negativa avvikelserna från en gräns (målvariabel), men här utvärderar de hela informationen om sannolikhetsfördelningen (upp till den teoretiskt möjliga maximala skadan). ${\ displaystyle c}$

Gränsen kan till exempel vara det förväntade värdet eller vilket som helst önskat deterministiskt målvärde (till exempel planvärde) eller en lägsta avkastningskrav. Ett stokastiskt riktmärke är också möjligt. Till exempel, om du överväger en sannolikhetsfördelning för en avkastning är följande gränser möjliga vid beräkning av en LPM: ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle E (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle c}$

• ${\ displaystyle c = 0 \,}$ (bevarande av nominellt kapital),
• ${\ displaystyle c = {\ text {Inflationshastighet}} \,}$ (bevarande av verkligt kapital),
• ${\ displaystyle c = r_ {0} \,}$ (riskfri ränta) och
• ${\ displaystyle c = E (X) \,}$ (förväntad avkastning).

Förståelsen för risk motsvarar perspektivet hos en investerare som fokuserar på risken för brist , att falla under ett mål (planerad avkastning, minimiavkastning). Det är just därför man här talar om riskåtgärder för underskott. I allmänhet beräknas ett LPM-mått på order genom ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle LPM_ {m} (c; X) = E ({\ text {max}} (cX, 0) ^ {m}) \,}$.

När det gäller diskreta slumpmässiga variabler resulterar sambandet nedan

${\ displaystyle LPM_ {m} (c; X) = \ sum _ {j = 1} ^ {K} p_ {j} (c - {\ bar {x}} _ {j}) ^ {m}}$.

Här hänvisas till de möjliga värdena som är mindre än den nödvändiga barriären är, antalet av dessa värden och sannolikheten för förekomsten av . När det gäller konstanta slumpmässiga variabler är beräkningsregeln ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {j}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle p_ {j}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {j}}$

${\ displaystyle LPM_ {m} (c; X) = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ {c} (cx) ^ {m} f (x) dx}$.

Ordern behöver inte nödvändigtvis vara ett heltal. De avgör om och hur höjden på avvikelsen från gränsen ska bedömas. Ju högre en investerares riskaversion är, desto större bör valet vara. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Vanligtvis beaktas tre speciella fall i praktiken:

• underskottets sannolikhet (sannolikhet för fallissemang), d. H.${\ displaystyle m = 0}$

${\ displaystyle SW (c; X) = LPM_ {0} (c; X) = P (X <c) \,}$,

• underskottets förväntningar, d. H.${\ displaystyle m = 1}$

${\ displaystyle SE (c; X) = LPM_ {1} (c; X) = E ({\ text {max}} (cX, 0)) \,}$ och

• bristavvikelsen, d. H.${\ displaystyle m = 2}$

${\ displaystyle SV (c; X) = LPM_ {2} (c; X) = E ({\ text {max}} (cX, 0) ^ {2}) \,}$.

Omfattningen av risken att falla under målvärdet beaktas på olika sätt. Med sannolikheten för underskott spelar bara sannolikheten att falla under en roll. Med förväntningsvärdet för underskott beaktas emellertid medelunderskottbeloppet och med underskottsvariansen det genomsnittliga kvadratiska underskottbeloppet.

Förhållandet mellan Value at Risk och LPM kan beskrivas på följande sätt: Value at Risk beror på det faktum att en maximal accepterad underskottssannolikhet , dvs. en , anges för en viss planeringsperiod och motsvarande minsta returstorlek för LPM-definitionen fast besluten.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle LPM_ {0} = p}$${\ displaystyle (c)}$

Åtgärderna för bristande risk kan delas in i villkorliga och ovillkorliga riskåtgärder. Medan ovillkorliga riskmått (såsom förväntningsvärdet för underskott eller underskottet för underskott) bortser från sannolikheten att falla under gränsen, ingår detta i beräkningen av de villkorliga riskerna för underskott (t.ex. det villkorliga riskvärdet).

Villkorligt riskvärde - CVaR

Den Conditional Value at Risk (CVaR) och dess varianter Förväntad Garanti (ES) eller Förväntad Tail Loss (ETL) är ytterligare riskmått.

Låt X vara en slumpmässig variabel och . Sedan ${\ displaystyle \ alpha \ in (0,1)}$

${\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} (X): = E (X | X> VaR _ {\ alpha} (X)) = VaR _ {\ alpha} (X) + \ understöd {E [X-VaR _ {\ alpha} (X) | X> VaR _ {\ alpha} (X)]} _ {\ text {mediumöverskridande om den överskrids}}}$

Det villkorliga riskvärdet kan tolkas som ”kvantilreserv (VaR) plus en överskottsreserv”.

Det motsvarar det förväntade värdet av realiseringen av en riskabel variabel som ligger över nivån . CVaR indikerar avvikelsen när extrema fall inträffar, dvs. H. kan förväntas om VaR överskrids. CVaR tar således inte bara hänsyn till sannolikheten för en ”stor” avvikelse (extrema värden) utan också storleken på avvikelsen utöver det. ${\ displaystyle \ alpha}$

Om X har en kontinuerlig fördelning är CVaR positivt homogent, monotont, subadditivt och översättningsvarierande, dvs koherent.

Förväntat underskott - ES

I de flesta fall som beaktats (slumpmässiga variabler med kontinuerlig densitet) är ES och CVaR identiska.

Om fördelningsfunktionen för den slumpmässiga variabeln har hopppunkter har den också hopppunkter. ${\ displaystyle F_ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha \ longmapsto CVaR _ {\ alpha} (X)}$

ES, betraktad som , är en hoppfri variant av CVaR. ${\ displaystyle \ alpha \ longmapsto ES _ {\ alpha} (X)}$

Den enda skillnaden mellan ES och CVaR är beloppet . ${\ displaystyle \ {\ alpha \ mid F_ {X} (VaR (\ alpha))> \ alpha \}}$

ES definieras enligt följande:

${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha}: = {\ frac {P (X> VaR _ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}} = {\ frac {1-F_ {X} ( VaR_ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}}}$

${\ displaystyle ES _ {\ alpha} (X): = \ lambda _ {\ alpha} CVaR _ {\ alpha} (X) + (1- \ lambda _ {\ alpha}) VaR _ {\ alpha} (X )}$

Det gäller . ${\ displaystyle VaR \ leq ES \ leq CVaR}$

Kapitalallokering enligt Kalkbrener

Ett företag med flera affärsdivisioner tillhandahåller en ES som ska tilldelas de enskilda divisionerna. Kalkbrener föreslår följande fördelning: låt förluststorleken på I-divisionen och X vara deras summa, dvs företagets förluststorlek. ${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha}: = {\ frac {P (X> VaR _ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}} = {\ frac {1-F_ {X} ( VaR_ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}}}$.

${\ displaystyle \ Lambda _ {ES _ {\ alpha}} (X_ {i}, X) = \ lambda _ {\ alpha} E (X_ {i} \ mid X> VaR _ {\ alpha} (X)) + (1- \ lambda _ {\ alpha}) E (X_ {i} \ mid X = VaR _ {\ alpha} (X))}$.

Varje division tilldelas det förväntade värdet av all skada den har orsakat, vilket orsakas av händelser för vilka den totala skadan överstiger. ${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X)}$

Om det bara finns en division i företaget resulterar ES som visas ovan:

${\ displaystyle \ Lambda _ {ES _ {\ alpha}} (X, X) = ES _ {\ alpha} (X)}$.

Exempel

Särskilt i normalfördelningsfallet kan det villkorliga riskvärdet uttryckligen representeras , varvid det förväntade värdet och variansen beskrivs. Följande gäller sedan VaR: ${\ displaystyle X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X) = E (X) + q_ {1- \ alpha} \ sigma (X) \,}$,

där den kvantil betecknar standardnormalfördelning. Om man betecknar densiteten för en standard normalt fördelad slumpmässig variabel, resulterar CVaR: ${\ displaystyle q_ {1- \ alpha}}$${\ displaystyle (1- \ alpha)}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} (X) = E (X) + {\ frac {\ phi (q_ {1- \ alpha})} {\ alpha}} \ sigma (X)}$.

Jämfört med , är en högre multiplikator av standardavvikelsen läggs till, så det är . ${\ displaystyle VaR _ {\ alpha}}$${\ displaystyle E (X)}$${\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} \ geq VaR _ {\ alpha}}$

När det gäller log-normalfördelningen beräknas VaR och CVaR enligt följande: ${\ displaystyle X \ sim N (m, \ upsilon ^ {2})}$

${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X) = \ exp (m + q _ {\ alpha} \ upsilon) \,}$.

${\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} (X) = E (X) {\ frac {1- \ Phi (q _ {\ alpha} - \ upsilon)} {1- \ alpha}}}$.

Som ett förhållande till riskvärdet är resultatet att tillägget till skillnad från normalfördelningen inte är additivt här utan multiplikativt. ${\ displaystyle E (X)}$

Ibland är beräkningen av CVaR (och därmed övervägande av all möjlig extrem skada) inte meningsfull i praktiken. Skadorna som leder till ett företags konkurs mer än en gång är inte värre (för ägarna) än skador som orsakar konkurs.

Maximal neddragning

Den maximala utnyttjandet av en finansiell investering är en ekonomisk nyckeltal som, beroende på hur den är strukturerad, beskriver den maximala möjliga förlusten under en tid. På grund av denna förlustvederlag kan denna risksiffra också användas för asymmetriska fördelningar. Den maximala utnyttjandet är den procentuella förlusten mellan den högsta och den lägsta punkten för en värdeutveckling av investeringen som ska beaktas under en viss period.

Dessutom kan ett medel bildas över de minsta uttagen. För detta ändamål klassificeras de enskilda avkastningarna efter sin storlek under skadeundersökningsperioden . De minsta är vanligtvis negativa. För att bilda ett genomsnitt läggs de minsta värdena upp och divideras med. Antalet värden kan väljas fritt, varigenom det ska röra sig inom ett rimligt intervall. Ett annat sätt att använda neddragningen för att mäta risk är att skapa någon form av varians. För detta ändamål kvadreras de minsta observerade returvärdena för observationsperioden, läggs sedan till och slutligen kvadreras summan. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Individuella bevis

1. ^ Werner Gleißner / Frank Romeike: Riskhantering. Rudolf Haufe Verlag, München 2005, ISBN 3-448-06209-X , s. 211 ff.
2. ^ Werner Gleißner / Frank Romeike: Riskhantering. Rudolf Haufe Verlag, München 2005, ISBN 3-448-06209-X , s. 31ff.
3. ↑ Philippe Artzner / Freddy Delbaen / Jean-Marc Eber / David Heath: sammanhängande riskmått. I: Matematisk ekonomi. Volym 9, nr 3, 1999, s. 203-228.
4. ↑ Jan LM Dhaene / Mark J. Goovaerts / Rob Kaas: Ekonomisk kapitalallokering härrörande från riskmått. I: North American Actuarial Journal. Vol. 7, nr. 2, 2003, s. 44-56.
5. ↑ Hans Rau-Bredow: Större är inte alltid säkrare: En kritisk analys av antagandet om subadditivitet för sammanhängande riskåtgärder . I: Risker . tejp 7 , nr. 3 , 2019, s. 91 , doi : 10.3390 / risk7030091 . 
6. ↑ Värdet vid risk på konfidensnivån definieras som ≥ med${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle P (X}$${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X)) = \ alpha}$${\ displaystyle 0 <\ alpha <1.}$
7. ↑ Det kapital som krävs för att täcka eventuella förluster.
8. ↑ Med andra ord kommer sannolikheten att en minimitillgång eller lägsta avkastning som anses nödvändig att underskridas.
9. ↑ Hersh Shefrin / Meir Statman : Prissättningsteori för beteendekapitaltillgångar. I: Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 29, nr 3, 1994, s. 323-349.
10. R VaR tillämpas ofta på en skadefördelning, dvs. på en slumpmässig variabel . VaR kan också användas som ett platsoberoende mått på avvikelse.${\ displaystyle S = E (X) -X}$
11. ↑ Ett riskmått kallas koherent om det är översättningsinvarierande, positivt homogent, monotont och subadditivt.
12. ↑ Philippe Artzner / Freddy Delbaen / Jean-Marc Eber / David Heath: sammanhängande riskmått. I: Matematisk ekonomi. Vol. 9, nr. 3, 1999, sid 203-228.
13. ↑ Werner Gleißner: Identifiering, mätning och aggregering av risker. I: Günter Meier (red.): Värdeorienterad riskhantering för industri och handel. Gabler Verlag, Wiesbaden 2001, ISBN 3-409-11699-0 , s 111-137.
14. Al Peter Albrecht / Raimond Maurer / Matthias Möller: Risk för underskott / överskottsbeslut: Grunder och förhållanden till Bernoulli-principen. I: Journal for Economics and Social Sciences. Volym 118, 1998, s. 249-274.
15. ^ Peter Albrecht / Raimond Maurer: Investment and Risk Management. 2: a upplagan. Schäffer - Poeschel Verlag, Stuttgart 2005, s. 5ff.
16. ↑ För stunder av lognormala fördelningen gäller: , och skevhet . Log-normalfördelningen kan inte anta negativa värden. För det mesta används den för att beskriva ren skada. I det här fallet kännetecknas den relevanta extrema risken av att överstiga en kvantil och inte, som i fallet med vinst / förlustfördelning, genom att falla under en kvantil.${\ displaystyle E (X) = \ exp (m + \ upsilon ^ {2} / 2)}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2} (X) = \ exp (2m + \ sigma ^ {2}) \ cdot (\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1)}$${\ displaystyle \ gamma (X) = (\ exp (\ sigma ^ {2}) + 2) \ cdot {\ sqrt {\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1}}}$
17. Al Peter Albrecht / Sven Koryciorz: Bestämning av det villkorliga riskvärdet (CVaR) med normal eller lognormal distribution. I: Mannheims manuskript om riskteori. Nr 142, 2003, s. 7ff.