Misura del rischio

La misura di rischio ( inglese misura di rischio è) nei economia un termine collettivo per misure statistiche , con i quali è possibile utilizzare l' incertezza di un evento che verrà descritto quantitativamente. Ad esempio, la posizione (complessiva) rischio di una società può essere registrato in questo modo.

Generale

L'applicazione di misure di rischio alle funzioni di distribuzione (perdita) è un sotto-compito nella quantificazione del rischio , una valutazione dei rischi per descrizione utilizzando un'adeguata densità o funzione di distribuzione (o dati storici ) sull'effetto del rischio e sull'allocazione del rischio misure: in primo luogo, vengono identificati quelli individuati Rischi descritti quantitativamente da opportune funzioni di distribuzione ( distribuzione di probabilità ). Una misura del rischio viene quindi utilizzata per determinare il livello di rischio dalla distribuzione.

Esistono diverse varianti alternative per la prima fase (determinazione di una funzione di densità adeguata):

attraverso due funzioni di distribuzione: una per visualizzare la frequenza del danno in un periodo (ad esempio utilizzando la distribuzione di Poisson ) e un'altra per visualizzare l'ammontare del danno per sinistro (ad esempio utilizzando la distribuzione normale );
attraverso una funzione di distribuzione collegata che mostra l'impatto del rischio in un periodo.

Una misura di rischio (come la deviazione standard o il valore a rischio ) è ora un'assegnazione che assegna un valore reale a una funzione di densità o distribuzione. Questo valore dovrebbe rappresentare il rischio associato. Ciò consente un confronto dei rischi descritti da diverse funzioni di distribuzione. La letteratura non vede quali proprietà tale assegnazione deve soddisfare per rappresentare una misura di rischio (vedere proprietà delle misure di rischio).

Le misure di rischio possono riguardare rischi individuali (ad es. Danni a proprietà, impianti), ma anche alla portata complessiva del rischio (ad es. In relazione al profitto) di un'azienda. La valutazione quantitativa di una posizione di rischio complessiva richiede un'aggregazione dei singoli rischi . Ciò è possibile, ad esempio, mediante una simulazione Monte Carlo , in cui gli effetti di tutti i rischi individuali sono considerati nella loro dipendenza nell'ambito della pianificazione.

caratterizzazione

Le misure di rischio possono essere fondamentalmente suddivise in misure per un singolo rischio (cioè una misura di rischio in senso stretto, come la deviazione standard) o misure che mettono in relazione il rischio di due variabili casuali tra loro (cioè una misura di rischio in senso più ampio come la covarianza ).

Un'altra differenziazione delle misure di rischio deriva dalla misura in cui vengono prese in considerazione le informazioni dalla distribuzione sottostante. Le misure di rischio bilaterale (come la deviazione standard) ne tengono conto completamente, mentre le cosiddette misure di rischio di ribasso (come le misure VaR e LPM) considerano la distribuzione solo fino a un certo limite.

Proprietà delle misure di rischio

Le misure di rischio (RM) possono essere caratterizzate dalle proprietà che hanno (vedere ad es.). Con l'aiuto delle definizioni corrispondenti, è possibile discutere quali proprietà dovrebbe avere una misura di rischio e quali misure di rischio hanno quali vantaggi e svantaggi in relazione alla descrizione di un rischio. Una certa classe di misure di rischio è definita anche dalla somma delle proprietà di rischio.

monotonia

Definizione: rischio A è monotona se per ogni vale: . ${\ displaystyle X, Y \ in L ^ {0}}$ ${\ Displaystyle X \ preceq _ {st} Y \ Rightarrow \ rho (X) \ leq \ rho (Y)}$

Monotonia significa che se le funzioni di distribuzione si applicano a due distribuzioni e in ogni punto (la cosiddetta dominanza stocastica ), allora la RM deve essere applicata . Anche se questa proprietà sembra banale, è z. B. non raggiunto in termini di volatilità. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle F_ {X} (x) \ geq F_ {Y} (x)}$ ${\ displaystyle \ rho (X) \ leq \ rho (Y)}$

Invarianza traslazionale

Definizione: Una RM è la traduzione-invariante (o cash-invariante), quando per ogni vale: . ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ rho (Xm) = \ rho (X) -m}$

Se la distribuzione delle perdite viene spostata di un importo fisso e privo di rischio, allora - se c'è invarianza di conversione - l'RM viene modificato esattamente dello stesso importo.

Omogeneità positiva

Definizione: Una RM è positivo omogeneo se per ogni vale: . ${\ displaystyle \ alpha \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ rho (\ alpha X) = \ alpha \ rho (X)}$

L'omogeneità positiva significa che la perdita e la misura del rischio sono ridimensionate nella stessa misura.

Subadditività

Definizione: un RM è subadditivo se: ${\ Displaystyle \ rho (X + Y) \ leq \ rho (X) + \ rho (Y)}$

Ciò significa: se i rischi di due distribuzioni di perdite sono combinati, la misura del rischio non dovrebbe mostrare un rischio maggiore. La subadditività formalizza l'idea di base della diversificazione . La diversificazione è quindi premiata con misure di rischio se subadditive. Il Value at Risk è una misura comune del rischio che non è subadditiva.

Tuttavia, ci sono anche argomenti che parlano contro l'utilità della subadditività: la divisione in due unità separate può in alcuni casi avere un rischio inferiore. Un esempio potrebbe essere la divisione in una " Bad Bank " e una "Good Bank". La scissione di una banca di rilevanza sistemica potrebbe anche ridurre i rischi per il sistema bancario.

Legge invarianza (distribuzione invarianza)

Una RM è legge invariante se per due variabili casuali identicamente distribuite e si applica: . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ rho (X) = \ rho (Y)}$

Ciò significa: se esistono gli stessi rischi per due variabili casuali, se esiste l'invarianza di legge, la misura del rischio mostra lo stesso rischio.

Additività comonotonica

Una RM è additivo komonoton quando due komonotone variabili casuali e applica: . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ rho (X + Y) = \ rho (X) + \ rho (Y)}$

L'additività comonotonica significa che se le variabili casuali dipendono dalla fusione delle distribuzioni, nessun rischio viene ridotto, ovvero il rischio misurato non si riduce. Se un RM ha la proprietà dell'additività comonotonica, la diversificazione viene premiata solo se i rischi vengono effettivamente ridotti.

convessità

Un RM è convesso se a ciascuno di essi si applica quanto segue: ${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ rho (\ lambda X + (1- \ lambda) Y) \ leq \ lambda \ rho (X) + (1- \ lambda) \ rho (Y)}$

Per misure di rischio positivamente omogenee, convessità e subadditività sono ovviamente equivalenti. In particolare, la subadditività segue dalla convessità quando impostata. ${\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {1} {2}}}$

Posizione dipendente (basata sulle perdite) o indipendente dalla posizione (basata sulla dispersione)

L'RM basato sulle perdite come il valore a rischio o il deficit atteso sono misurati in relazione ai valori assoluti e dipendono quindi dal valore medio della distribuzione

Misure di rischio indipendenti dalla posizione, come la volatilità, misurano il rischio indipendentemente da un punto di riferimento (esclusivamente dalla forma della distribuzione). Sono quindi indipendenti dalla media della distribuzione.

Queste due proprietà possono essere parzialmente trasformate l'una nell'altra. Se, ad esempio, una misura del rischio dipendente dalla posizione non viene applicata a una variabile casuale , ma piuttosto a una variabile casuale centrata , ne risulta una misura del rischio indipendente dalla posizione. Poiché il livello del valore atteso è incluso anche nel calcolo delle misure di rischio dipendenti dalla posizione , queste possono anche essere interpretate come un tipo di misura della performance aggiustata per il rischio . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle XE (X)}$ ${\ displaystyle E (X)}$

Classificazione delle misure di rischio

Esistono diverse classificazioni di RM in base alle proprietà sopra descritte. Questi possono essere descritti come segue:

RM monetaria: monotona, traduzione invariante;
Convesso RM: monotono, traslazione invariante, convesso;
RM coerente: monotona, invariante di traslazione, omogenea positiva, convessa.

Panoramica

Deviazione standard

La deviazione standard come misura del rischio per un pagamento non sicuro è calcolata come ${\ displaystyle \ sigma (X)}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle \ sigma (X) = {\ sqrt {Var (X)}} = {\ sqrt {E \ left (\ left (XE (X) \ right) ^ {2} \ right)}}}

,

in quale

{\ displaystyle E (X) \,}

il valore atteso di è

{\ displaystyle X \,}

e le deviazioni sia positive che negative dal valore atteso sono registrate allo stesso modo. Tuttavia, la (apparente) simmetria e l'identico significato di opportunità e pericoli nella misurazione del rischio devono essere messi in prospettiva. Sembra inoltre contraddire l'intuizione e la percezione del rischio della maggior parte delle persone, che valutano i pericoli (possibili deviazioni negative dal piano) molto più alti di opportunità altrettanto elevate. ${\ displaystyle E (X)}$

Al fine di descrivere la portata complessiva del rischio, data la particolare rilevanza delle possibili perdite, vengono utilizzate le cosiddette “misure di rischio di ribasso”, che registrano specificatamente la possibile portata di scostamenti negativi. Questi includono, ad esempio, il Value at Risk, il requisito patrimoniale, gli LPM (Lower Partial Moments) e la probabilità di insolvenza. Sono utili se i rischi non sono simmetrici e le perdite sono particolarmente importanti.

Value at Risk - VaR

In particolare nel settore bancario e assicurativo , il VaR è spesso utilizzato come misura del rischio di ribasso. Il VaR tiene esplicitamente conto delle conseguenze - rilevanti per il KonTraG - di uno sviluppo particolarmente sfavorevole per l'azienda. Il VaR è definito come l'ammontare del danno che non sarà superato in un certo periodo con una determinata probabilità (“ livello di confidenza ” ). Da un punto di vista formale, il VaR è il quantile (negativo) di una distribuzione. Il quantile x% per una distribuzione indica il valore di soglia fino al quale giace x% di tutti i valori possibili. Se il VaR non fa riferimento ad un “valore” ma, ad esempio, al flusso di cassa, si parla occasionalmente di “ flusso di cassa a rischio ”, che però significa la stessa misura di rischio. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1-p}$

Il VaR è positivamente omogeneo, monotono, invariante alla traduzione , ma generalmente non subadditivo e di conseguenza non coerente. Ciò consente di costruire costellazioni in cui il VaR di una posizione finanziaria combinato da due posizioni di rischio è superiore alla somma del VaR delle singole posizioni. Ciò contraddice un'intuizione plasmata dall'idea di diversificazione.

Requisiti di equità - EKB

Il requisito patrimoniale EKB (come caso speciale di capitale di rischio , RAC) è una misura del rischio dipendente dalla situazione correlata al VaR, che si riferisce esplicitamente agli utili della società. Esprime quanta capitale (o liquidità) è necessaria per sopportare perdite realistiche legate al rischio di un periodo. È determinato come il massimo di zero e il quantile negativo di una variabile casuale , che rappresenta la misura del successo e denota il livello di confidenza (livello di sicurezza). ${\ displaystyle (1- \ alpha)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle EKB _ {\ alpha} (X) = \ max (0; -Q_ {1- \ alpha} (X)) \,}

dove si applica

{\ displaystyle P (X <Q_ {1- \ alpha} (X)) = 1- \ alpha \,}

.

Soprattutto per i pagamenti distribuiti normalmente con valore atteso e deviazione standard, si applica quanto segue: ${\ displaystyle E (X)}$ ${\ displaystyle \ sigma (X)}$

{\ displaystyle EKB _ {\ alpha} (X) = \ max \ lbrace 0; E (X) + q_ {1- \ alpha} \ sigma (X) \ rbrace \,}

.

Momenti parziali inferiori - LPM

I momenti parziali inferiori sono misure di rischio che, come misura del rischio di ribasso, si riferiscono solo a una parte della densità di probabilità totale. Registrano solo le deviazioni negative da un limite (variabile obiettivo), ma qui valutano l'intera informazione della distribuzione di probabilità (fino al danno massimo teoricamente possibile). ${\ displaystyle c}$

Il limite può essere, ad esempio, il valore atteso o qualsiasi valore target deterministico desiderato (ad esempio il valore del piano) o un tasso di rendimento minimo richiesto. È anche possibile un benchmark stocastico. Ad esempio, se si considera una distribuzione di probabilità per un tasso di rendimento , sono possibili i seguenti limiti nel calcolo di un LPM: ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle E (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle c = 0 \,}$ (conservazione del capitale nominale),
${\ displaystyle c = {\ text {Tasso di inflazione}} \,}$ (conservazione del capitale reale),
${\ displaystyle c = r_ {0} \,}$ (interessi privi di rischio) e
${\ displaystyle c = E (X) \,}$ (ritorno previsto).

La comprensione del rischio corrisponde alla prospettiva di un investitore che si concentra sul rischio di un deficit , di scendere al di sotto di un obiettivo (rendimento pianificato, rendimento minimo richiesto). Questo è precisamente il motivo per cui si parla qui di misure per il rischio di carenza. In generale, viene calcolata una misura dell'ordine LPM tramite ${\ displaystyle m}$

{\ displaystyle LPM_ {m} (c; X) = E ({\ text {max}} (cX, 0) ^ {m}) \,}

.

Nel caso di variabili casuali discrete, risulta la relazione mostrata di seguito

{\ displaystyle LPM_ {m} (c; X) = \ sum _ {j = 1} ^ {K} p_ {j} (c - {\ bar {x}} _ {j}) ^ {m}}

.

Qui si fa riferimento ai possibili valori inferiori alla barriera richiesta , al numero di questi valori e alla probabilità che si verifichi . Nel caso di variabili casuali costanti, la regola di calcolo è ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {j}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {j}}$

{\ displaystyle LPM_ {m} (c; X) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {c} (cx) ^ {m} f (x) dx}

.

L'ordine non deve essere necessariamente un numero intero. Determinano se e come valutare l'altezza della deviazione dal limite. Maggiore è l'avversione al rischio di un investitore, maggiore dovrebbe essere la scelta. ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$

Di solito vengono considerati nella pratica tre casi speciali:

la probabilità di deficit (probabilità di insolvenza), d. H. ${\ displaystyle m = 0}$

{\ displaystyle SW (c; X) = LPM_ {0} (c; X) = P (X <c) \,}

,

l'aspettativa di deficit, d. H. ${\ displaystyle m = 1}$

{\ displaystyle SE (c; X) = LPM_ {1} (c; X) = E ({\ text {max}} (cX, 0)) \,}

e

la varianza del deficit, d. H. ${\ displaystyle m = 2}$

{\ displaystyle SV (c; X) = LPM_ {2} (c; X) = E ({\ text {max}} (cX, 0) ^ {2}) \,}

.

L'entità del rischio di scendere al di sotto del valore obiettivo viene presa in considerazione in vari modi. Con la probabilità di deficit, solo la probabilità di scendere al di sotto gioca un ruolo. Con il valore dell'aspettativa di deficit, tuttavia, viene preso in considerazione l'importo medio di undershoot e con la varianza di shortfall l'ammontare quadratico medio di undershoot.

La relazione tra Value at Risk e LPM può essere descritta come segue: Il Value at Risk risulta dal fatto che una probabilità di deficit massima accettata , ovvero una , è specificata per un certo periodo di pianificazione e la corrispondente dimensione di rendimento minimo della definizione di LPM è determinato. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle LPM_ {0} = p}$ ${\ displaystyle (c)}$

Le misure di rischio di carenza possono essere suddivise in misure di rischio condizionali e incondizionate. Sebbene le misure di rischio incondizionato (come il valore dell'aspettativa di carenza o la varianza del deficit) ignorino la probabilità di scendere al di sotto del limite, questa è inclusa nel calcolo delle misure di rischio di carenza condizionale (come il valore condizionale a rischio).

Valore a rischio condizionale - CVaR

Il valore condizionale a rischio (CVaR) e le sue varianti Expected Shortfall (ES) o Expected Tail Loss (ETL) sono ulteriori misure di rischio.

Sia X una variabile casuale e . Poi ${\ displaystyle \ alpha \ in (0,1)}$

{\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} (X): = E (X | X> VaR _ {\ alpha} (X)) = VaR _ {\ alpha} (X) + \ underbrace {E [X-VaR _ {\ alpha} (X) | X> VaR _ {\ alpha} (X)]} _ {\ text {superamento medio se superato}}}

Il valore a rischio condizionale può essere interpretato come “riserva quantile (VaR) più riserva in eccesso”.

Corrisponde al valore atteso della realizzazione di una variabile rischiosa che è al di sopra del quantile del livello . Il CVaR indica la deviazione quando si verifica il caso estremo, i. H. è prevedibile in caso di superamento del VaR. Il CVaR quindi non solo tiene conto della probabilità di una deviazione “ampia” (valori estremi), ma anche dell'ammontare della deviazione oltre quella. ${\ displaystyle \ alpha}$

Se X ha una distribuzione continua , il CVaR è positivamente omogeneo, monotono, subadditivo e invariante di traduzione, cioè coerente.

Differenza prevista - ES

Nella maggior parte dei casi considerati (variabili casuali con densità continue), ES e CVaR sono identici.

Se la funzione di distribuzione della variabile casuale ha punti di salto, ha anche punti di salto. ${\ displaystyle F_ {X}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ alpha \ longmapsto CVaR _ {\ alpha} (X)}$

L'ES, considerato come , è una variante senza salti del CVaR. ${\ Displaystyle \ alpha \ longmapsto ES _ {\ alpha} (X)}$

L'unica differenza tra ES e CVaR è l'importo . ${\ displaystyle \ {\ alpha \ mid F_ {X} (VaR (\ alpha))> \ alpha \}}$

ES è definito come segue:

{\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha}: = {\ frac {P (X> VaR _ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}} = {\ frac {1-F_ {X} ( VaR_ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}}}

{\ displaystyle ES _ {\ alpha} (X): = \ lambda _ {\ alpha} CVaR _ {\ alpha} (X) + (1- \ lambda _ {\ alpha}) VaR _ {\ alpha} (X )}

Si applica . ${\ displaystyle VaR \ leq ES \ leq CVaR}$

Allocazione del capitale secondo Kalkbrener

Un'azienda con più divisioni aziendali fornisce un ES, che dovrebbe essere assegnato alle singole divisioni. Kalkbrener suggerisce la seguente distribuzione: sia l'entità della perdita della i-esima divisione e X la loro somma, ovvero l'entità della perdita dell'azienda. ${\ displaystyle X_ {i}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha}: = {\ frac {P (X> VaR _ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}} = {\ frac {1-F_ {X} ( VaR_ {\ alpha} (X))} {1- \ alpha}}}

.

{\ displaystyle \ Lambda _ {ES _ {\ alpha}} (X_ {i}, X) = \ lambda _ {\ alpha} E (X_ {i} \ mid X> VaR _ {\ alpha} (X)) + (1- \ lambda _ {\ alpha}) E (X_ {i} \ mid X = VaR _ {\ alpha} (X))}

.

Ad ogni divisione viene assegnato il valore atteso di tutti i danni che ha causato, che è causato da eventi per i quali il danno totale supera. ${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X)}$

Se nell'azienda è presente una sola divisione, l'ES mostrato sopra risulta:

{\ displaystyle \ Lambda _ {ES _ {\ alpha}} (X, X) = ES _ {\ alpha} (X)}

.

Esempi

Soprattutto nel caso di distribuzione normale , il valore condizionale a rischio può essere rappresentato esplicitamente , per cui il valore atteso e la varianza descrivono. Quanto segue si applica quindi al VaR: ${\ Displaystyle X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

{\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X) = E (X) + q_ {1- \ alpha} \ sigma (X) \,}

,

dove il quantile denota la distribuzione normale standard. Se si denota la densità di una variabile casuale distribuita normalmente standard, il CVaR risulta: ${\ displaystyle q_ {1- \ alpha}}$ ${\ displaystyle (1- \ alpha)}$ ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} (X) = E (X) + {\ frac {\ phi (q_ {1- \ alpha})} {\ alpha}} \ sigma (X)}

.

Rispetto a , viene aggiunto un moltiplicatore più alto della deviazione standard, quindi . ${\ displaystyle VaR _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle E (X)}$ ${\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} \ geq VaR _ {\ alpha}}$

Nel caso della distribuzione log-normale , VaR e CVaR sono calcolati come segue: ${\ displaystyle X \ sim N (m, \ upsilon ^ {2})}$

{\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X) = \ exp (m + q _ {\ alpha} \ upsilon) \,}

.

{\ displaystyle CVaR _ {\ alpha} (X) = E (X) {\ frac {1- \ Phi (q _ {\ alpha} - \ upsilon)} {1- \ alpha}}}

.

In rapporto al valore a rischio, il risultato è che, contrariamente al caso della distribuzione normale , il supplemento qui non è additivo, ma moltiplicativo. ${\ displaystyle E (X)}$

A volte il calcolo del CVaR (e quindi la considerazione di tutti i possibili danni estremi) non ha senso nella pratica. Il danno che porta al fallimento di un'azienda più di una volta non è peggiore (per i proprietari) del danno che causa il fallimento.

Drawdown massimo

Il massimo drawdown di un investimento finanziario è una figura chiave economica che, a seconda di come è strutturato, descrive la massima perdita possibile nel passato in un periodo di tempo. A causa di questa considerazione di perdita, questa cifra di rischio può essere utilizzata anche per distribuzioni asimmetriche. Il massimo drawdown è la perdita percentuale tra il punto più alto e il punto più basso di uno sviluppo di valore dell'investimento da considerare in un determinato periodo.

Inoltre, è possibile formare una media sui prelievi più piccoli. A tal fine i singoli resi sono classificati in base alla loro entità nel periodo considerato . I più piccoli sono generalmente negativi. Per formare una media, i valori più piccoli vengono sommati e divisi per. Il numero di valori può essere scelto liberamente, per cui dovrebbe spostarsi entro un intervallo ragionevole. Un altro modo per utilizzare il drawdown per misurare il rischio è creare una sorta di varianza. A tal fine, i valori di rendimento più piccoli osservati del periodo di osservazione vengono quadrati, quindi aggiunti e infine la somma è radicata al quadrato. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Prove individuali

^ Werner Gleißner / Frank Romeike: Gestione del rischio. Rudolf Haufe Verlag, Monaco 2005, ISBN 3-448-06209-X , p. 211 e segg.
^ Werner Gleißner / Frank Romeike: Gestione del rischio. Rudolf Haufe Verlag, Monaco 2005, ISBN 3-448-06209-X , p. 31ss.
↑ Philippe Artzner / Freddy Delbaen / Jean-Marc Eber / David Heath: misure di rischio coerenti. In: Finanza matematica. Volume 9, No.3, 1999, pagg. 203-228.
↑ Jan LM Dhaene / Mark J. Goovaerts / Rob Kaas: Allocazione del capitale economico derivata dalle misure di rischio. In: North American Actuarial Journal. Vol.7, No. 2, 2003, pagg. 44-56.
↑ Hans Rau-Bredow: Più grande non è sempre più sicuro: un'analisi critica del presupposto di subadditività per misure di rischio coerenti . In: Rischi . nastro 7 , n. 3 , 2019, pag. 91 , doi : 10.3390 / rischi7030091 .
↑ Il valore a rischio al livello di confidenza è definito come ≥ con ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle P (X}$ ${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X)) = \ alpha}$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <1.}$
↑ L'equità necessaria per coprire eventuali perdite.
↑ In altre parole, la probabilità che un asset minimo o un rendimento minimo considerato necessario non venga raggiunto.
↑ Hersh Shefrin / Meir Statman : teoria dei prezzi degli asset del capitale comportamentale. In: Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol.29, No.3, 1994, pp. 323-349.
↑ Il VaR è spesso applicato a una distribuzione del danno, cioè a una variabile casuale . Il VaR può anche essere utilizzato come misura di deviazione indipendente dalla posizione. ${\ displaystyle S = E (X) -X}$
↑ Una misura di rischio è detta coerente se è invariante alla traduzione, positivamente omogenea, monotona e subadditiva.
↑ Philippe Artzner / Freddy Delbaen / Jean-Marc Eber / David Heath: Coherent Measures of Risk. In: Finanza matematica. Vol.9, No. 3, 1999, pagg. 203-228.
↑ Werner Gleißner: Identificazione, misurazione e aggregazione dei rischi. In: Günter Meier (a cura di): Gestione del rischio orientata al valore per l'industria e il commercio. Gabler Verlag, Wiesbaden 2001, ISBN 3-409-11699-0 , pagg. 111-137.
↑ Peter Albrecht / Raimond Maurer / Matthias Möller: Calcolo decisionale per rischio di carenza / eccesso di probabilità: principi di base e relazioni con il principio di Bernoulli. In: Journal for Economics and Social Sciences. Volume 118, 1998, pagg. 249-274.
^ Peter Albrecht / Raimond Maurer: investimenti e gestione del rischio. 2a edizione. Schäffer - Poeschel Verlag, Stoccarda 2005, p. 5ff.
↑ Per i momenti della distribuzione lognormale applica: , e asimmetria . La distribuzione log-normale non può assumere valori negativi. Principalmente è usato per descrivere il danno puro. In questo caso, il rischio estremo rilevante è caratterizzato dal superamento di un quantile e non, come nel caso delle distribuzioni di utili / perdite, dal calo al di sotto di un quantile. ${\ displaystyle E (X) = \ exp (m + \ upsilon ^ {2} / 2)}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} (X) = \ exp (2m + \ sigma ^ {2}) \ cdot (\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1)}$ ${\ displaystyle \ gamma (X) = (\ exp (\ sigma ^ {2}) + 2) \ cdot {\ sqrt {\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1}}}$
↑ Peter Albrecht / Sven Koryciorz: Determinazione del valore condizionale a rischio (CVaR) con distribuzione normale o log-normale. In: manoscritti di Mannheim sulla teoria del rischio. N. 142, 2003, p. 7ss.

[1] Werner Gleißner / Frank Romeike: Gestione del rischio. Rudolf Haufe Verlag, Monaco 2005, ISBN 3-448-06209-X , p. 211 e segg.

[2] Werner Gleißner / Frank Romeike: Gestione del rischio. Rudolf Haufe Verlag, Monaco 2005, ISBN 3-448-06209-X , p. 31ss.

[3] Philippe Artzner / Freddy Delbaen / Jean-Marc Eber / David Heath: misure di rischio coerenti. In: Finanza matematica. Volume 9, No.3, 1999, pagg. 203-228.

[4] Jan LM Dhaene / Mark J. Goovaerts / Rob Kaas: Allocazione del capitale economico derivata dalle misure di rischio. In: North American Actuarial Journal. Vol.7, No. 2, 2003, pagg. 44-56.

[Rau-Bredow-5] Hans Rau-Bredow: Più grande non è sempre più sicuro: un'analisi critica del presupposto di subadditività per misure di rischio coerenti . In: Rischi . nastro 7 , n. 3 , 2019, pag. 91 , doi : 10.3390 / rischi7030091 .

[6] Il valore a rischio al livello di confidenza è definito come ≥ con ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle P (X}$ ${\ displaystyle VaR _ {\ alpha} (X)) = \ alpha}$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <1.}$

[7] L'equità necessaria per coprire eventuali perdite.

[8] In altre parole, la probabilità che un asset minimo o un rendimento minimo considerato necessario non venga raggiunto.

[9] Hersh Shefrin / Meir Statman : teoria dei prezzi degli asset del capitale comportamentale. In: Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol.29, No.3, 1994, pp. 323-349.

[10] Il VaR è spesso applicato a una distribuzione del danno, cioè a una variabile casuale . Il VaR può anche essere utilizzato come misura di deviazione indipendente dalla posizione. ${\ displaystyle S = E (X) -X}$

[11] Una misura di rischio è detta coerente se è invariante alla traduzione, positivamente omogenea, monotona e subadditiva.

[12] Philippe Artzner / Freddy Delbaen / Jean-Marc Eber / David Heath: Coherent Measures of Risk. In: Finanza matematica. Vol.9, No. 3, 1999, pagg. 203-228.

[13] Werner Gleißner: Identificazione, misurazione e aggregazione dei rischi. In: Günter Meier (a cura di): Gestione del rischio orientata al valore per l'industria e il commercio. Gabler Verlag, Wiesbaden 2001, ISBN 3-409-11699-0 , pagg. 111-137.

[14] Peter Albrecht / Raimond Maurer / Matthias Möller: Calcolo decisionale per rischio di carenza / eccesso di probabilità: principi di base e relazioni con il principio di Bernoulli. In: Journal for Economics and Social Sciences. Volume 118, 1998, pagg. 249-274.

[15] Peter Albrecht / Raimond Maurer: investimenti e gestione del rischio. 2a edizione. Schäffer - Poeschel Verlag, Stoccarda 2005, p. 5ff.

[16] Per i momenti della distribuzione lognormale applica: , e asimmetria . La distribuzione log-normale non può assumere valori negativi. Principalmente è usato per descrivere il danno puro. In questo caso, il rischio estremo rilevante è caratterizzato dal superamento di un quantile e non, come nel caso delle distribuzioni di utili / perdite, dal calo al di sotto di un quantile. ${\ displaystyle E (X) = \ exp (m + \ upsilon ^ {2} / 2)}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} (X) = \ exp (2m + \ sigma ^ {2}) \ cdot (\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1)}$ ${\ displaystyle \ gamma (X) = (\ exp (\ sigma ^ {2}) + 2) \ cdot {\ sqrt {\ exp (\ sigma ^ {2}) - 1}}}$

[17] Peter Albrecht / Sven Koryciorz: Determinazione del valore condizionale a rischio (CVaR) con distribuzione normale o log-normale. In: manoscritti di Mannheim sulla teoria del rischio. N. 142, 2003, p. 7ss.

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