Система сложения
Система сложения - это система счисления, в которой значение числа вычисляется путем сложения значений его цифр . Напротив, положение цифр также играет роль в системе позиционных значений .
Простым примером системы сложения является счетный лист , унарная система : есть только одна цифра, например, вертикальная черта «|». Число представлено как последовательность столбцов, где значение числа соответствует количеству столбцов. Например, десятичное число 3 используется в этой системе как ||| написано. Однако такое обозначение для больших чисел быстро сбивает с толку, и возникает необходимость вводить дополнительные цифры.
За прошедшие годы были разработаны различные аддитивные числовые шрифты . Римские цифры, которые все еще используются сегодня, состоят из семи цифр, а именно I, V, X, L, C, D и M. Они соответствуют значениям 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. За исключением обозначения вычитания, он играет Порядок цифр в римском числе не имеет значения для значения числа, хотя обычно цифры располагаются в порядке убывания слева направо. В принципе, однако, три числа XII, IXI, IIX эквивалентны и соответствуют десятичным 12 (2 * 1 + 10).
Кроме того, в системах сложение чисел довольно просто, так как цифры слагаемых просто объединяются для образования нового числа. При необходимости группы цифр затем объединяются в более значащие цифры. Нет необходимости помнить о переходящих остатках, как это необходимо в системах с местами. Недостатком систем сложения является то, что умножение, дроби и вообще высшая математика трудны для выполнения. В частности, представление очень больших чисел обязательно конечным числом цифр затруднено. Потому что, если W - это наибольшее цифровое значение, вам понадобится по крайней мере Z / W цифр для представления очень большого числа Z. Связь между длиной и стоимостью является ( асимптотически ) линейной - в отличие от систем разметки, в которых она является логарифмической .
Развитые системы сложения
Разные цифры для каждой степени основания
Такая система счисления использовалась уже около 5000 лет назад в Древнем Египте с иероглифическими числами. Принцип этой системы устанавливает число для каждой мощности базы, например Например: E = 1, Z = 10, H = 100 и T = 1000.
Индивидуальные позиции в основном были расположены графически; в следующем, базовом примере, в соответствии с глазами домино .
HHH ZZZ E
1982 = T HHH Z Z
HHH ZZZ E
Почти в то же время, то есть в эпоху протоэламитов, такая система счисления была разработана в Сузах , точно так же, как - со второго тысячелетия до нашей эры - минойцами на Крите, а немного позже и хеттами . Системы счисления, основанные на этом принципе, также известны из мезоамериканских высоких культур.
Недостатком этой системы является то, что каждая цифра состоит из аналогового повторения одного и того же знака, поэтому древние египтяне объединили каждую цифру в одну цифру иератическим почерком еще в середине третьего тысячелетия . Эти иератические числа послужили образцом для последующих буквенных чисел.
Более одной цифры в пределах одной степени основания
Использование ваших собственных символов для «половинных чисел» предотвращает слишком частое повторение одного и того же символа.
Примером этого являются римские цифры , которые используют буквы I, X, C и M как символы для 1, 10, 100 и 1000, а также V, L и D для 5, 50 и 500.
Цифры записываются и складываются с уменьшением значения. Например, 1776 год представлен как MDCC.LXXVI. Чтобы числа были немного короче, позже система была изменена, так что каждая цифра может появляться максимум три раза подряд. Если перед большим стоит меньшее число, первое вычитается из второго. Итак, VIIII стал IX. Это правило вычитания в системе сложения не всегда принимается близко к сердцу.
В Западной Европе римская система счисления широко использовалась до 15 века.
Отдельная цифра для каждой кратности в пределах степени основания
Иератические числа (см. Выше), как и десятичная система, уже подчинялись принципу разных цифр для определения каждой частоты появления (кратности) (используемой) степени основания. Однако каждая степень основания по-прежнему имела свои собственные (девять) цифр для возможных кратностей, которые отличаются от цифр для других степеней. Цифры для частоты неиспользованных степеней основания - то есть одного или нескольких нулей - еще не существуют. Всего было 36 (4 × 9) иератических символов для чисел от 1 до 9999.
В середине четвертого века до нашей эры древние греки создали так называемые буквенные числа на основе этих иератических чисел , заменив первые иератические числа 3 × 9 буквами своего алфавита. Благодаря гибридному использованию номеров акрофона можно также отображать большие числа.
За исключением районов Западной Римской империи, где всегда использовались римские цифры, эта прогрессивная система - в ее адаптации к соответствующим алфавитам - доминировала в науке и управлении Персии , Армении , Грузии , Аравии , Эфиопии , Византийской империи и других стран. Древняя Русь . Только индийские цифры постепенно заменили систему после четырех тысяч лет господства. В арабском регионе уже в конце первого тысячелетия, иначе только в середине второго тысячелетия.
Индивидуальные доказательства
- ↑ Древнеегипетские иератические числа ( Памятка от 2 марта 2016 г. в Интернет-архиве ) (рисунок)
