Sistema di addizione

Un sistema di addizione è un sistema numerico in cui il valore di un numero viene calcolato sommando i valori delle sue cifre . Al contrario, anche la posizione delle cifre gioca un ruolo in un sistema di valori di posizione .

Un semplice esempio di un sistema di addizione è il foglio di conteggio , un sistema unario : c'è solo una cifra, ad esempio la barra verticale "|". Un numero è rappresentato come una serie di barre, dove il valore di un numero corrisponde al numero di barre. Ad esempio, il numero decimale 3 viene utilizzato in questo sistema come ||| scritto. Tuttavia, una tale notazione diventa rapidamente fonte di confusione per i grandi numeri, quindi sorge la necessità di introdurre cifre aggiuntive.

Vari caratteri numerici additivi sono stati sviluppati nel corso degli anni . I numeri romani che sono ancora usati oggi hanno sette cifre, cioè I, V, X, L, C, D e M. Questi corrispondono ai valori 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000. Ad eccezione della notazione di sottrazione, gioca L'ordine delle cifre in un numero romano non ha importanza per il valore del numero, sebbene sia comune ordinare le cifre in ordine decrescente da sinistra a destra. In linea di principio, tuttavia, i tre numeri XII, IXI, IIX sono equivalenti e corrispondono al 12 decimale (2 * 1 + 10).

In aggiunta ai sistemi, l'aggiunta di numeri è abbastanza semplice, poiché le cifre degli addendi vengono semplicemente combinate per formare un nuovo numero. Se necessario, i gruppi di cifre vengono quindi combinati in cifre più significative. Non è necessario ricordare i riporti, come è necessario nei sistemi di valori sul posto. Lo svantaggio dei sistemi di addizione è che la moltiplicazione, le frazioni e la matematica generalmente più alta sono difficili da realizzare. In particolare, è difficile la rappresentazione di numeri molto grandi con un numero di cifre necessariamente finito. Perché se W è il valore della cifra più grande, allora hai bisogno di almeno Z / W cifre per rappresentare un numero molto grande Z. La relazione tra lunghezza e valore è ( asintoticamente ) lineare , in contrasto con i sistemi di valori di posizione in cui è logaritmica .

Sistemi di addizione sviluppati

Cifre diverse per ogni potenza della base

Un tale sistema numerico era già utilizzato circa 5000 anni fa nell'antico Egitto con i numeri geroglifici . Il principio di questo sistema imposta un numero per ogni potenza della base, ad es. Ad esempio: E = 1, Z = 10, H = 100 e T = 1000.

I singoli luoghi erano per lo più organizzati graficamente; nel seguito, esempio di base secondo gli occhi del domino .

                 HHH  ZZZ    E
 1982   =    T   HHH  Z Z    
                 HHH  ZZZ  E

Quasi contemporaneamente - cioè durante l' epoca protoelamita - un tale sistema numerico si sviluppò a Susa , proprio come - a partire dal II millennio aC - dai Minoici a Creta, e poco dopo anche dagli Ittiti . I sistemi numerici basati su questo principio sono noti anche dalle alte culture mesoamericane .

Lo svantaggio di questo sistema è che ogni cifra consiste nella ripetizione analogica dello stesso segno, motivo per cui gli antichi egizi univano ogni cifra in una singola cifra con la scrittura ieratica già a metà del terzo millennio . Questi numeri ieratici servirono da modello per i successivi numeri alfabetici.

Più di una cifra entro la stessa potenza della base

Usare i propri caratteri per i "mezzi numeri" impedisce che lo stesso carattere venga ripetuto troppo spesso.

Un esempio di ciò sono i numeri romani , che usano le lettere I, X, C e M come simboli per 1, 10, 100 e 1000, nonché V, L e D per 5, 50 e 500.

Le cifre vengono scritte e aggiunte con valore decrescente. Ad esempio, 1776 è rappresentato come MDCC.LXXVI. Al fine di mantenere i numeri un po 'più corti, il sistema è stato successivamente modificato in modo che ogni cifra possa apparire al massimo tre volte di seguito. Se c'è un numero minore davanti a uno maggiore, il primo viene sottratto dal secondo. Così VIIII divenne IX. Questa regola di sottrazione all'interno del sistema di addizione non è sempre presa a cuore.

Nell'Europa occidentale, il sistema numerico romano è stato ampiamente utilizzato fino al XV secolo.

Cifra separata per ogni molteplicità entro una potenza della base

I numeri ieratici (vedi sopra), come il sistema decimale, obbedivano già al principio delle diverse cifre per identificare ogni frequenza di occorrenza (molteplicità) di una potenza (usata) della base. Tuttavia, ogni potenza della base aveva ancora le sue (nove) cifre per i suoi possibili multipli, che differiscono dalle cifre per le altre potenze. I numeri per la frequenza delle potenze inutilizzate della base - cioè uno o più zeri - non esistono ancora. C'erano un totale di 36 (4 × 9) simboli ieratici per i numeri da 1 a 9999.

A metà del IV secolo a.C., gli antichi greci crearono i cosiddetti numeri alfabetici basati su questi numeri ieratici, sostituendo i primi numeri ieratici 3 × 9 con le lettere del loro alfabeto. Con l'uso ibrido dei numeri acrophone , possono essere visualizzati anche numeri grandi.

Tranne che nelle aree romane occidentali, dove i numeri romani erano sempre usati, questo sistema progressivo - nei suoi adattamenti ai rispettivi alfabeti - dominava la scienza e l'amministrazione di Persia , Armenia , Georgia , Arabia , Etiopia , Impero bizantino e antica Russia . Solo i numeri indiani sostituirono gradualmente il sistema dopo quattromila anni di dominio. Nella regione araba già alla fine del primo millennio, altrimenti non fino alla metà del secondo millennio.

Prove individuali

1. ↑ Numeri ieratici dell'antico Egitto ( Memento del 2 marzo 2016 in Internet Archive ) (grafico)