Problem Collatza

Problemem Collatz , znana również jako (3n + 1) hipotezy jest nierozwiązanym matematyczny problemem zostało postawione przez Lothar Collatz w 1937 roku . Ma powiązania z teorią liczb , teorią układów dynamicznych i teorią ergodyczną oraz teorią obliczalności w informatyce .

Problem jest uważany za niezwykle trudny, choć łatwy do sformułowania. Jeffrey Lagarias , który jest uważany za eksperta w tej dziedzinie, zacytował ustny komunikat Paula Erdősa , który określił go jako „absolutnie beznadziejny”.

Problem

Wyjaśnienie problemu

Wykres słupkowy dla liczb od 1 do 100 milionów. Pokazuje, jak często występuje określona długość sekwencji Collatza.

Problem dotyczy ciągów liczb, które są konstruowane zgodnie z prostym prawem formacji:

• Zacznij od dowolnej liczby naturalnej .${\ styl wyświetlania n> 0}$
• Jest prosty, więc weź następny .${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n / 2}$
• Jeśli to dziwne, weź następny .${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania 3n + 1}$
• Powtórz proces z otrzymanym numerem.

Na przykład otrzymasz sekwencję numeru początkowego${\ styl wyświetlania n = 19}$

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Podobno sekwencja kończy się każdym z nich w cyklu 4, 2, 1. Hipoteza Collatza brzmi: ${\ styl wyświetlania n> 0}$

Każdy tak skonstruowany ciąg liczb prowadzi do cyklu 4, 2, 1, niezależnie od tego, od jakiej liczby naturalnej zaczniesz.${\ styl wyświetlania n> 0}$

Nagroda pieniężna za rozwiązanie

Mimo wielu wysiłków to przypuszczenie jest nadal jednym z nierozwiązanych problemów matematyki . Za rozwiązanie przyznano kilka nagród:

• W 1970 roku HSM Coxeter zaoferował 50 dolarów za dowód hipotezy i 100 dolarów za kontrprzykład.
• W 1982 Bryan Thwaites obiecał 1000 funtów za dowód lub obalenie w gazecie The Times (oferta odnowiona w 1996/1998).
• Paul Erd's rzekomo zaoferował 500 dolarów za rozwiązanie i powiedział o problemie Collatza:

„Matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy” („Matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy”).

"Beznadziejny. Absolutnie beznadziejny. ”(„ Beznadziejny. Absolutnie beznadziejny. ”)

W 1983 roku matematyk Richard Guy ostrzegał przed tym i trzema innymi problemami, które do dziś nie zostały rozwiązane:

„Nie próbuj rozwiązywać tych problemów!”

Pochodzenie i historia

Pochodzenie przypuszczenia Collatza jest nieco we mgle, ponieważ jak dotąd żadne pisemne dokumenty opisujące problem nie są publicznie dostępne z przypuszczalnego czasu powstania. Poinformowano, że Collatz ustnie rozpowszechnił problem na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 1950 roku w Cambridge, Massachusetts . Stanisław Ulam i Shizuo Kakutani , którzy zostali zaproszeni do wygłoszenia wykładów na tym kongresie, wielokrotnie przedstawiali problem w dyskusjach i dlatego są często wymieniani w tym kontekście. Kiedy Lothar Collatz objął w Hamburgu w 1952 r. profesurę, opowiedział o tym założeniu swojemu hamburskiemu koledze Helmutowi Hasse . To rozprzestrzeniło problem podczas pobytu naukowego na Uniwersytecie Syracuse , dlatego problem Collatza był również nazywany przypuszczeniem Syracuse . Publikacje dotyczące tworzenia i rozpowszechniania:

• W 1971 problem Collatza został prawdopodobnie po raz pierwszy opublikowany na piśmie w drukowanej wersji wykładu wygłoszonego przez HSM Coxeter w 1970 roku.
• 1972 nauczył Martina Gardnera z zatrudnienia akademickich hakerów w MIT z problemem (3n + 1) i opisał go w swojej kolumnie Mathematical Games in Scientific American . Ta hipoteza stała się szeroko znana w kręgach specjalistów i poza nimi dzięki tej i wielu innym publikacjom, m.in. Johna Conwaya .
• W 1976 roku Riho Terras opublikował pierwsze wyniki badań naukowych bezpośrednio dotyczących problemu Collatza.
• W 1985 roku w American Mathematical Monthly ukazał się artykuł przeglądowy autorstwa Jeffreya Lagariasa . Lagarias donosi w nim o zainteresowaniu Collatza funkcjami teorii liczb i teorią grafów i cytuje zapis zeszytu z 1 lipca 1932 r., w którym Collatz rozważa następującą permutację dodatnich liczb całkowitych:

${\ displaystyle g (n) = {\ początek {przypadki} {\ tfrac {2} {3}} n & {\ tekst {jeżeli}} \ quad n \ równoważny 0 \ mod 3, \\ {\ tfrac {4 } {3}} n - {\ tfrac {1} {3}} & {\ text {if}} \ quad n \ equiv 1 \ mod 3, \\ {\ tfrac {4} {3}} n + { \ tfrac {1} {3}} & {\ text {if}} \ quad n \ equiv 2 \ mod 3. \ end {cases}}}$

Ta permutacja ma stały punkt 1, a także co najmniej cykle (2, 3), (4, 5, 7, 9, 6) i (44, 59, 79, 105, 70, 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66). W cytowanym wpisie zeszytu Collatz, wciąż otwarte pytanie, czy początek 8 g - trajektoria jest cykliczna, czy też rozchodzi się w nieskończoność. Pytanie, które również pozostaje otwarte, czy istnieją dalsze cykle, jest jak przypuszczenie (3n + 1), jeden z problemów opisanych przez Guya, którego nie należy próbować rozwiązywać.

• W 1985 roku Bryan Thwaites opublikował zawiadomienie, że postawił to przypuszczenie 21 lipca 1952 roku o czwartej po południu jako zadanie dla rozrywki swoich uczniów (twierdził odkrycie z 1952 roku już w 1982 roku).
• W 1986 roku Lothar Collatz przetłumaczył na chiński opis swojej drogi odkrycia hipotezy (3n + 1) i opublikował w czasopiśmie na Uniwersytecie Pedagogicznym w Qufu w Shandong w Chinach, gdzie wygłosił na ten temat wykład. Była to jedyna publikacja Collatza na ten temat.

Po publikacji Terrasa w 1976 r. rozpoczęło się ożywione zainteresowanie naukowe problemem Collatza, które obecnie obejmuje ponad sto publikacji z nowymi wynikami badań. W obszarze popularnonaukowym powstały nowe terminy:

• 1979 nazwany Douglas Hofstadter w książce Gödel, Escher, Bach te numery startowe, których końce Collatz trajektoria w cyklu (1,4,2), numery cudownych , numery cudowne .
• 1984 Brian Hayes zwane numery sekwencji Collatz w kolumnie rekonstrukcje komputerowe w Scientific American numerów Hailstone , numery gradobicia .
• W 1994 Ivan Korec wykazał, że prawie wszystkie początkowe wartości algorytmu Collatza osiągają wartość poniżej .${\ styl wyświetlania S}$${\ styl wyświetlania S ^ {0.7925}}$
• W 2019 r. Terence Tao wykazał, że hipoteza Collatza jest prawie prawdziwa dla prawie wszystkich liczb naturalnych .

Wykres Collatza funkcji

Fragment wykresu Collatza dla funkcji Collatza

Opis jego motywacji dla hipotezy (3n + 1) autorstwa Collatza jest bardzo wiarygodny: początkowo łączy on graf skierowany ogólnie dla dowolnej funkcji na liczbach naturalnych z wartościami w liczbach naturalnych , graf Lagariasa we wspomnianym przeglądzie artykuł Wykres Collatza nazywa się. Collatz wykres w funkcji liczby teoretycznych

${\ displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}}$

jest grafem skierowanym , składającym się ze zbioru liczb naturalnych jako zbioru wierzchołków i dla każdej liczby naturalnej krawędzi skierowanej od do . ${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania f (n)}$

Najprostszą taką funkcją jest mapowanie następców

${\ displaystyle s \ dwukropek \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}, \ quad s (n) = n + 1,}$

którego wykres Collatza składa się z nieskończenie długiej ścieżki:

${\ styl wyświetlania 1 \ do 2 \ do 3 \ do 4 \ do 5 \ do \ kropki}$

Aby mieć więcej przykładów, najpierw szukał „prostej” funkcji teoretycznej liczb, której wykres Collatza zawiera okrąg . Taka funkcja musi „wzrosnąć” na pewnych liczbach naturalnych , czyli wypełnić relację , a „maleć” na innych liczbach naturalnych , czyli wypełnić relację . Więc po raz pierwszy natknął się na funkcję zdefiniowaną przez ${\ styl wyświetlania f}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n <f (n)}$${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania m> f (m)}$

${\ displaystyle C_ {1} (n): = {\ początek {przypadki} n / 2 & {\ tekst {jeżeli}} n {\ tekst {jest parzysty,}} \\ n + 1 \ quad & {\ tekst { jeśli}} n {\ tekst {jest nieparzysty}} \ koniec {przypadki}}}$

Wykres Collatza tej funkcji można opisać następująco: Węzły są z definicji dodatnimi liczbami całkowitymi. Jeśli węzeł jest prosty, ma dwa poprzednie węzły i , w przeciwnym razie tylko . Dotyczy również ${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania k-1}$${\ styl wyświetlania 2k}$${\ styl wyświetlania 2k}$

${\ displaystyle C_ {1} ^ {2} (n) = C_ {1} (C_ {1} (n)) = {\ początek {przypadki} {\ frac {n} {4}} & {\ tekst { if}} n {\ text {jest podzielny przez 4,}} \\ {\ frac {n} {2}} + 1 & {\ text {if}} n {\ text {jest podzielny przez 2, ale nie przez 4 ,}} \\ {\ frac {n + 1} {2}} \ quad & {\ tekst {jeżeli}} n {\ tekst {jest nieparzysty}} \ koniec {przypadki}}}$

Wynika

${\ displaystyle C_ {1} ^ {2} (n) <n \ qquad {\ text {if}} n> 2,}$

co skutkuje tym, że wykres Collatza ma tylko okrąg, a trajektoria kończy się w tym okręgu pod dowolną liczbą początkową. ${\ styl wyświetlania C_ {1}}$${\ styl wyświetlania (1,2)}$${\ styl wyświetlania C_ {1}}$

Ponieważ to rozumowanie jest dość proste, Collatz spojrzał dalej: Wykres Collatza funkcji

${\ displaystyle C_ {2} (n) = {\ początek {przypadki} n / 2 & {\ tekst {jeżeli}} n {\ tekst {jest parzysty,}} \\ 2n + 1 \ quad & {\ tekst { if }} n {\ tekst {jest nieparzysty,}} \ end {przypadki}}}$

nie zawiera koła, ponieważ każda liczba nieparzysta jest odwzorowywana na większą liczbę nieparzystą, a zatem trajektorie rozbiegają się w kierunku nieskończoności. ${\ styl wyświetlania C_ {2}}$

Kolejna próba to funkcja Collatza

${\ displaystyle C \ dwukropek \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}, \ quad C (n) = {\ początek {przypadki} n/2 & {\ tekst {jeżeli}} n {\ tekst {jest parzysty , }} \\ 3n + 1 & {\ text {jeżeli}} n {\ tekst {jest nieparzysty}} \ Koniec {przypadki}}}$     (Podążaj za A006370 w OEIS )

Collatz znalazł tylko „trywialne koło” dla tej funkcji – pisał, że nie opublikował swoich pomysłów, bo nie potrafił udowodnić, że „trywialne koło” było jedynym. Założenie Collatza jest założeniem w teoretycznym ujęciu grafu, że graf Collatza ciągłości jest. ${\ styl wyświetlania (1,4,2)}$${\ styl wyświetlania C}$

Zasady

Długość ścieżki (liczba kroków) w zależności od numerów początkowych od 1 do 10 000.

Dla trajektorii jako ciągu liczb można wyróżnić trzy wzajemnie wykluczające się przypadki: ${\ styl wyświetlania C}$

• sekwencja kończy się w cyklu (1,4,2),
• sekwencja przekracza wszelkie granice,
• sekwencja przechodzi w inny cykl.

Domniemywa się, że wystąpi tylko pierwszy przypadek, ale ani drugi, ani trzeci do tej pory nie został wykluczony. Nie wiadomo też, czy może istnieć tylko skończona liczba cykli.

Ponieważ nieparzyste jest zawsze parzyste, a zatem następująca iteracja jest zawsze dzielona przez 2, zwykle używana jest nieco łatwiejsza w użyciu funkcja zamiast funkcji Collatz${\ styl wyświetlania 3n + 1}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania C}$

${\ displaystyle T \ dwukropek \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}, \ quad T (n) = {\ początek {przypadki} n/2 & {\ tekst {jeżeli}} n {\ tekst {jest parzysty , }} \\ (3n + 1) / 2 & {\ tekst {jeżeli}} n {\ tekst {jest nieparzysty,}} \ koniec {przypadki}}}$     (Postępuj zgodnie z A014682 w OEIS )

jest używany, co w związku z tym wykonuje dwie iteracje naraz dla liczby nieparzystej i zmniejsza cykl z (1,4,2) do (1,2) , który zakłada się, że zawsze był osiągany. W zagięcia postać formy o a o z, w szczególności, nie są początkowe wartości dowolnie duży czynnik powtarzające obrazowania lub zwiększona o co najmniej tego czynnika. Collatz przypuszczenie jest wierzyć, że jest odpowiednikiem dla wszystkich liczb całkowitych jest liczbą całkowitą z tam. Terras wykazał w 1976 roku, że asymptotyczna gęstość liczb całkowitych, dla których jest to prawdą, istnieje i jest równa 1.${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania C}$${\ styl wyświetlania k}$${\ styl wyświetlania T ^ {k}}$${\ displaystyle 2 ^ {k} m}$${\ styl wyświetlania m}$${\ styl wyświetlania 2 ^ {k} m-1}$${\ styl wyświetlania 3 ^ {k} m-1}$${\ styl wyświetlania C}$${\ styl wyświetlania T}$${\ styl wyświetlania n> 1}$${\ styl wyświetlania k> 0}$${\ styl wyświetlania T ^ {k} (n) <n}$${\ styl wyświetlania n> 1}$

Obliczenia z komputerami wykazały:

• Wszystkie liczby całkowite dodatnie do 2 ⁶⁸ (ok. 2,95 × 10 ²⁰ ) jako wartości wyjściowe potwierdzają założenie (stan na lipiec 2020).
• Jeśli iteracja ma inny cykl niż (1,2), musi składać się z co najmniej 10 439 860 591 liczb, z których co najmniej 6 586 818 670 jest nieparzystych.${\ styl wyświetlania T}$
• Nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych wymaga co najmniej 6143 log n iteracji, aby osiągnąć 1. Modele stochastyczne przewidują, że średnio (2 / log (4/3)) log n ≈ 6,952 log n kroków jest wymaganych i że co najmniej tyle iteracji jest wymaganych dla co najmniej połowy wszystkich liczb .${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania T}$${\ styl wyświetlania T}$
• Dla wystarczająco dużych liczb liczba dodatnich liczb całkowitych, które potwierdzają założenie jako wartość początkową, jest co najmniej równa lub mniejsza .${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania X ^ {0 {,} 84}}$

Terence Tao wykazał w 2019 r., że hipoteza Collatza „prawie” dotyczy „prawie wszystkich” liczb naturalnych (to znaczy, że jedna kończy się ciągiem Collatza „blisko” 1, gdzie granica bliskości zależy od wartości początkowej N). Na przykład z twierdzenia Tao wynika, że ​​co najmniej 99 procent liczb naturalnych do , od których zaczyna się ciąg Collatza, osiąga wartość końcową poniżej 200. Tao zastosował metody, które wcześniej stosował w teorii równań różniczkowych cząstkowych, w których statystycznie próbkował wybór wartości początkowych, a następnie badał „długookresowe zachowanie” zespołu w transformacji Collatza. ${\ styl wyświetlania 10 ^ {24}}$

Uogólnienia

W przypadku problemu Collatza, który jest rozszerzony o wszystkie liczby całkowite jako wartości początkowe, istnieją co najmniej cztery inne cykle oprócz cyklu (1,4,2):

• (0),
• (−1, −2),
• (-5, -14, -7, -20, -10) oraz
• (−17, −50, −25, −74, −37, −110, −55, −164, −82, −41, −122, −61, −182, −91, −272, −136, - 68, -34).

Ostatnie trzy cykle ze znakami dodatnimi zamiast ujemnymi powstają również z definicją zamiast nieparzystego . Wszystkie wartości z końca w jednym ze znanych cykli.${\ styl wyświetlania C (n) = 3n-1}$${\ styl wyświetlania C (n) = 3n + 1}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania | n | <10 ^ {8}}$

Marc Chamberland zdefiniował funkcję ciągłą, która rozszerza dyskretny ciąg Collatza na zakres liczb rzeczywistych. Simon Letherman, Dierk Schleicher i Reg Wood widzieli funkcje w obszarze liczb zespolonych jako rozszerzenie. Ogólne założenie: na nieparzyste zawsze kończy się i ma tylko ten jeden cykl. ${\ styl wyświetlania C (n) = 3n + 3 ^ {x}}$${\ styl wyświetlania n}$${\ styl wyświetlania (4 \ razy 3 ^ {x}, 2 \ razy 3 ^ {x}, 1 \ razy 3 ^ {x})}$

Jeśli weźmiemy pod uwagę problem analogowy (5n + 1), modele stochastyczne wykazują zupełnie inne zachowanie: prawie wszystkie iteracje są rozbieżne, co potwierdza symulacja komputerowa. Ale udowodnienie, że tylko jedna orbita problemu (5n + 1) jest rozbieżna, jest otwartym problemem.

W 1972 roku John Conway przyjrzał się uogólnionym sekwencjom (3n + 1) i wykazał, że mogą one symulować uniwersalne maszyny Turinga ( uogólnione przez niego w języku programowania FRACTRAN ). Pokazał również, że pewien problem decyzyjny, który pyta, czy wartość wejściowa dla iteracji, która jest potęgą 2 prowadzi do wartości iterowanej, która jest również potęgą 2, jest nierozwiązywalny (problem Collatza można również sformułować w taki sposób, że dla dowolnych liczb naturalnych jako danych wejściowych iteracja ostatecznie prowadzi do potęgi 2).

W swojej pracy opublikowanej w 2020 r. Sultanow, Koch i Cox analizują problem Collatza z grafowo-teoretycznego punktu widzenia. Patrzysz na cykle i uogólnioną formę gdzie . Dokument zawiera listę znanych cykli iz tego wyprowadza warunki ich występowania w sekwencjach Collatza. ${\ styl wyświetlania 3n + 1}$${\ styl wyświetlania kn + 1}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} _ {> 0}}$

literatura

• Jeffrey C. Lagarias : The 3x + 1 problem and its generalisations , The American Mathematical Monthly 92, styczeń 1985, s. 3–23 (w języku angielskim; nagrodzony Lester R. Ford Prize w 1986 ; w MathDL ; w CECM ; recenzja Zentralblatt )
• Günther J. Wirsching: Układ dynamiczny generowany przez funkcję 3n + 1 , Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-63970-5 (angielski; poprawiona wersja pracy habilitacyjnej 1996; przegląd Zentralblatt )
• Richard K. Guy : E16. Problem 3x+1 i E17. Sekwencje permutacyjne w nierozwiązanych problemach w teorii liczb (wydanie trzecie), Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7 , s. 330-336 i s. 336-337 (angielski; przegląd Zentralblatt )
• Jeffrey C. Lagarias: Problem 3x+1: Bibliografia z adnotacjami (1963–1999) (posortowana według autorów) , arxiv : math / 0309224 [math.NT], 2003–2011 (angielski)
• Jeffrey C. Lagarias: Problem 3x+1: Bibliografia z adnotacjami, II (2000–2009) , arxiv : math / 0608208 [math.NT], 2006–2012 (angielski)
• Jeffrey C. Lagarias (red.): Ostateczne wyzwanie: problem 3x + 1 , American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 978-0-8218-4940-8 (angielski; przegląd Zentralblatt )
  • w tym Jeffrey C. Lagarias: Problem 3x+1: Przegląd (PDF, 518 kB, zapowiedź książki), s. 3–29 (j. angielski)

linki internetowe

• Eric W. Weisstein : Problem Collatza . W: MathWorld (angielski).
• O problemie 3x+1 autorstwa Erica Roosendaala,projekcie obliczeniowym zajmującym się problemem Collatza
• Colatz Conjecture autorstwa Jona Sonntag,projekt oparty na BOINC, który zajmuje się poszukiwaniem kontrprzykładów (w języku angielskim; zob. hipoteza Collatza )
• Problem Collatza Jürgena Dankerta - Interaktywny skrypt dla problemu (3n + 1) - i (3n - 1) do generowania ciągów o dowolnie dużych liczbach początkowych
• Terence Tao : Przypuszczenie Collatza, teoria Littlewooda-Offorda i moce 2 i 3 , 25 sierpnia 2011
• Paul J. Andaloro: Problem 3x+1 i ukierunkowane wykresy (PDF; 3,8 MB), Fibonacci Quarterly 40, 2002 (angielski)
• Najprostszy problem matematyczny, którego nikt nie rozwiąże — Veritasium na YouTube

Indywidualne dowody

1. ↑ ^{a b} Lagarias : Problem 3x+1: Przegląd , 2010, s. 16 „Matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy.” I s. 24 „ Bez nadziei . Absolutnie beznadziejny ”. (angielski)
2. ↑ ^{a b} H. SM Coxeter : Sekwencje cykliczne i wzory fryzów: Czwarty wykład memoriałowy Feliksa Behrenda , Vinculum 8, 1971, s. 4-7 (j. angielski); Przedruk z komentarzem w Lagarias (red.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem , 2010, s. 211–218 (założenie na s. 214 ; recenzja Zentralblatt )
3. ^ PHS: Dziennik Timesa. Sumy pieniędzy , The Times 61228, 17 lipca 1982, s. 8 oraz The Times Diary. Następstwa , The Times 61320, 25 sierpnia 1982, s. 8
4. ↑ ^{a b} C. Williams, B. Thwaites, A. van der Poorten , W. Edwards, L. Williams: przypuszczenie Ulama kontynuowane , PPC Calculator Journal 9, wrzesień 1982, s. 23-24 (j. angielski)
5. ↑ Bryan Thwaites: Dwie domysły, czyli jak wygrać 1100 £ , The Mathematical Gazette 80, marzec 1996, s. 35–36 (j. angielski)
6. ↑ ^{a b} Bryan Thwaites: Spróbuj wygrać na nrich, 10 marca 1998 (w języku angielskim)
7. ↑ Lagarias : Problem 3x+1 i jego uogólnienia , 1985, s. 4 (j. angielski)
8. ↑ ^{a b} Richard K. Guy : Nie próbuj rozwiązywać tych problemów! American Mathematical Monthly 90, 1983, s. 35-41 (angielski; przegląd Zentralblatt ); Przedruk w Lagarias (red.): Ostateczne wyzwanie: Problem 3x+1 , 2010, s. 231-239
9. ↑ Darren Glass: MAA Review zu Lagarias (red.): Ostateczne wyzwanie: Problem 3x+1 , 2010, MathDL, 31 marca 2011 (w języku angielskim)
10. ↑ ^{a b} Lagarias : Problem 3x+1: Przegląd , 2010, s. 5 (j. angielski).
11. ↑ POZYCJA 133 (Schroeppel, Gosper, Henneman & Banks) od M. Beelera, RW Gosper , R. Schroeppel : HAKMEM , MIT AI Memo 239, 29 lutego 1972 (w języku angielskim).
12. ^ Martin Gardner : Gry matematyczne , Scientific American 226, czerwiec 1972, s. 114-118 (angielski); Przedrukowany z komentarzem w Wheels, life, and other matematycznych rozrywkach , WH Freeman and Company, New York 1983, ISBN 0-7167-1588-0 , s. 196-197 i 203-204.
13. ↑ ^{a b} JH Conway : Nieprzewidywalne iteracje w: Proceedings of the Number Theory Conference z 1972 roku. University of Colorado, Boulder, Colorado , 1972, s. 49-52 (angielski; przegląd Zentralblatt ); Przedruk w Lagarias (red.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem , 2010, s. 219-223.
14. ↑ ^{a b} Riho Terras: Zatrzymywanie problemu czasu na liczbach całkowitych dodatnich (PDF, 632 kB; 24 października 1974), Acta Arithmetica 30, 1976, s. 241-252 (angielski; recenzja Zentralblatt )
    na temat Riho Terras: O istnieniu o gęstości (PDF, 132 kB; 27 lipca 1978), Acta Arithmetica 35, 1979, s. 101-102 (angielski; recenzja Zentralblatt ).
15. ↑ Lagarias : Problem 3x+1 i jego uogólnienia , 1985 (angielski).
16. ↑ Lagarias : Problem 3x+1 i jego uogólnienia , 1985, s. 3 (j. angielski).
17. ↑ Facet : E17. Sekwencje permutacyjne , 2004.
18. ^ Bryan Thwaites: Moje przypuszczenie , Biuletyn Instytutu Matematyki i jego Zastosowania 21, marzec/kwiecień 1985, s. 35-41 (w języku angielskim; przegląd Zentralblatt ).
19. ↑ Lothar Collatz : O pochodzeniu problemu (3n + 1) , Journal of Qufu Normal University Natural Science Edition 12 nr. 3, 1986, s. 9-11 (przekład chiński z języka niemieckiego Zhi-Ping Ren); O motywacji i pochodzeniu problemu (3n + 1) w Lagarias (red.): The ultimate challenge: The 3x + 1 problem , 2010, s. 241–247 (tłumaczenie angielskie z chińskiego).
20. ^ Douglas R. Hofstadter : Gödel, Escher, Bach: wieczny złoty warkocz , Basic Books, New York 1979, ISBN 0-465-02685-0 , s. 400-402 (angielski).
21. ^ Brian Hayes: Rekreacja komputerowa: na wzloty i upadki numerów gradobicia (PDF; 1,1 MB), Scientific American 250, styczeń 1984, s. 10-16 (w języku angielskim).
22. ↑ Oszacowanie gęstości dla problemu 3x+1. Źródło 23 grudnia 2020 . 
23. ↑ ^{a b} Kevin Hartnett: Matematyk udowadnia ogromny wynik w „niebezpiecznym” problemie , Quanta Magazine, 11 grudnia 2019 r. (w języku angielskim).
24. ↑ Günther J. Wirsching: About the 3n + 1 problem , Elements of Mathematics 55, listopad 2000, s. 142–155 ( recenzja Zentralblatt )
25. ↑ Lagarias : Problem 3x+1: Przegląd , 2010, s. 22 (j. angielski).
26. ↑ Lagarias : Problem 3x+1: Przegląd , 2010, s. 16-17 (j. angielski).
27. ↑ Eric Roosendaal: W zadaniu 3x+1. W: EricR.nl. 20 lipca 2020, dostęp 27 lipca 2020 . 
28. ↑ Shalom Eliahou: Problem 3x+1: nowe dolne granice na nietrywialnych długościach cykli , Discrete Mathematics 118, sierpień 1993, s. 45–56 (w języku angielskim; wynik wykorzystujący słuszność hipotezy do 20 × 2 ⁵⁸ ; przegląd Zentralblatt ) .
29. ↑ David Applegate , Jeffrey C. Lagarias : Dolne granice dla całkowitego czasu zatrzymania 3x + 1 iteracji , Mathematics of Computation 72, kwiecień 2003, s. 1035-1049 (w języku angielskim; przegląd Zentralblatt ).
30. ^ Ilia Krasikov, Jeffrey C. Lagarias : Granice dla problemu 3x+1 przy użyciu nierówności różnicowych , Acta Arithmetica 109, 2003, s. 237-258 (w języku angielskim; przegląd Zentralblatt ).
31. ↑ Terence Tao : Prawie wszystkie orbity mapy Collatza osiągają wartości prawie ograniczone , arxiv : 1909.03562 , wrzesień 2019 (w języku angielskim).
32. ↑ Facet : E16. Problem 3x+1 , 2004, s. 332 (angielski)
33. ↑ Marc Chamberland: Ciągłe rozszerzenie zagadnienia 3x+1 do linii rzeczywistej (PDF; 159 kB), Dynamika układów dynamicznych ciągłych, dyskretnych i impulsowych 2, 1996, s. 495–509 (j. angielski; recenzja Zentralblatt )
34. ↑ Simon Letherman, Dierk Schleicher , Reg Wood: Problem 3n+1 i dynamika holomorficzna , Matematyka eksperymentalna 8, 1999, s. 241-251 (j. angielski)
35. ↑ Lagarias : Problem 3x+1: Przegląd , 2010, s. 11 i s. 22
36. ↑ Eldar Sultanow, Christian Koch, Sean Cox: Sekwencje Collatza w świetle teorii grafów. (PDF, 1354 kB) Uniwersytet Poczdamski 2020.