Problema de Collatz

El problema de Collatz , también conocido como la conjetura (3n + 1) , es un problema matemático sin resolver que planteó Lothar Collatz en 1937 . Tiene conexiones con la teoría de números , con la teoría de sistemas dinámicos y la teoría ergódica y con la teoría de la computabilidad en la informática .

El problema se considera notoriamente difícil, aunque fácil de formular. Jeffrey Lagarias , considerado un experto en el problema, citó una comunicación oral de Paul Erdős , quien la describió como "absolutamente desesperada".

Problema

Aclaración del problema

Gráfico de barras para los números del 1 al 100 millones. Muestra la frecuencia con la que ocurre una cierta longitud de la secuencia de Collatz.

El problema tiene que ver con secuencias de números que se construyen de acuerdo con una simple ley de formación:

• Empiece con cualquier número natural .${\ Displaystyle n> 0}$
• Es recto, así que toma el siguiente .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n / 2}$
• Si es extraño, tome el siguiente .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 3n + 1}$
• Repite el proceso con el número que recibiste.

Por ejemplo, obtienes la secuencia para el número inicial${\ Displaystyle n = 19}$

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Aparentemente, la secuencia termina con cada uno en el ciclo 4, 2, 1. La conjetura de Collatz dice: ${\ Displaystyle n> 0}$

Cada secuencia de números construida de esta manera conduce al ciclo 4, 2, 1, independientemente del número natural con el que empiece.${\ Displaystyle n> 0}$

Premio en metálico por la solución

A pesar de mucho esfuerzo, esta conjetura sigue siendo uno de los problemas no resueltos en matemáticas . Se otorgaron varios premios por una solución:

• En 1970, HSM Coxeter ofreció $ 50 por una prueba de la conjetura y $ 100 por un contraejemplo.
• En 1982, Bryan Thwaites prometió £ 1,000 por evidencia o refutación en el periódico The Times (oferta renovada en 1996/1998).
• Paul Erdős supuestamente ofreció $ 500 por una solución y dijo sobre el problema de Collatz:

"Las matemáticas aún no están listas para tales problemas" ("Las matemáticas aún no están listas para tales problemas").

"Sin esperanza. Absolutamente desesperado. "(" Sin esperanza. Absolutamente desesperado ").

En 1983, el matemático Richard Guy advirtió sobre este y otros tres problemas que aún hoy están sin resolver:

"¡No intentes resolver estos problemas!"

Origen e historia

El origen de la conjetura de Collatz está algo en la niebla, ya que hasta ahora no hay documentos escritos que describan el problema a disposición del público desde el presunto momento de origen. Se informa que Collatz difundió oralmente el problema en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 en Cambridge, Massachusetts . Stanisław Ulam y Shizuo Kakutani , que fueron invitados a dar conferencias en este congreso, presentaron repetidamente el problema en las discusiones y, por lo tanto, se mencionan con frecuencia en este contexto. Cuando Lothar Collatz asumió su cátedra en Hamburgo en 1952, le contó a su colega de Hamburgo Helmut Hasse sobre la suposición. Esto extendió el problema durante una estancia de investigación en la Universidad de Syracuse , razón por la cual el problema de Collatz también se denominó conjetura de Syracuse . Publicaciones sobre la creación y difusión:

• En 1971, el problema de Collatz probablemente se publicó por primera vez por escrito en la versión impresa de una conferencia impartida por HSM Coxeter en 1970.
• 1972 aprendió a Martin Gardner del empleo de hackers académicos en el MIT con el problema (3n + 1) y lo describió en su columna Mathematical Games en Scientific American . La suposición se hizo ampliamente conocida dentro y fuera de los círculos especializados a través de esta y otras publicaciones, entre otras de John Conway .
• En 1976 Riho Terras publicó los primeros resultados de una investigación científica directamente sobre el problema de Collatz.
• En 1985, apareció un artículo de revisión de Jeffrey Lagarias en American Mathematical Monthly . En él, Lagarias informa sobre el interés de Collatz en las funciones teóricas de números y la teoría de grafos, y cita una entrada del cuaderno del 1 de julio de 1932 en la que Collatz considera la siguiente permutación de enteros positivos:

${\ displaystyle g (n) = {\ begin {cases} {\ tfrac {2} {3}} n & {\ text {if}} \ quad n \ equiv 0 \ mod 3, \\ {\ tfrac {4 } {3}} n - {\ tfrac {1} {3}} & {\ text {if}} \ quad n \ equiv 1 \ mod 3, \\ {\ tfrac {4} {3}} n + { \ tfrac {1} {3}} & {\ text {if}} \ quad n \ equiv 2 \ mod 3. \ end {cases}}}$

Esta permutación tiene el punto fijo 1 y también al menos los ciclos (2, 3), (4, 5, 7, 9, 6) y (44, 59, 79, 105, 70, 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66). En la entrada del cuaderno citado Collatz, la pregunta sigue abierta si el principio 8 g - trayectoria es cíclica o diverge a infinito. La pregunta, que también sigue abierta, en cuanto a si existen más ciclos, es como la conjetura (3n + 1), uno de los problemas descritos por Guy que uno no debería intentar resolver.

• En 1985, Bryan Thwaites publicó un aviso de que había hecho la conjetura el 21 de julio de 1952 a las cuatro de la tarde como una tarea para el entretenimiento de sus estudiantes (reclamó el descubrimiento de 1952 ya en 1982).
• En 1986, Lothar Collatz obtuvo una descripción de su camino de descubrimiento sobre la conjetura (3n + 1) traducida al chino y publicada en una revista de la Universidad Pedagógica de Qufu , Shandong, China, donde había dado una conferencia al respecto. Ésta fue la única publicación de Collatz sobre este problema.

Después de la publicación de Terras en 1976, comenzó una viva preocupación científica por el problema de Collatz, que ahora incluye más de un centenar de publicaciones con nuevos resultados de investigación. En el área de divulgación científica se crearon nuevos términos:

• 1979 nombró a Douglas Hofstadter en su libro Gödel, Escher, Bach aquellos números iniciales cuya trayectoria de Collatz termina en el ciclo (1,4,2), números maravillosos , números milagrosos .
• 1984 Brian Hayes llamó a los números secuencias de Collatz en la columna recreaciones por computadora en Scientific American números de granizo , números de granizo .
• En 1994, Ivan Korec demostró que casi todos los valores iniciales del algoritmo de Collatz alcanzan un valor inferior .${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {0,7925}}$
• En 2019, Terence Tao demostró que la conjetura de Collatz es casi cierta para casi todos los números naturales .

Gráfico de Collatz de una función

Extracto del gráfico de Collatz para la función Collatz

La descripción de Collatz de su motivación para la conjetura (3n + 1) es muy plausible: inicialmente asocia un gráfico dirigido en general para cualquier función en los números naturales con valores en los números naturales , el de Lagarias en el resumen mencionado anteriormente. artículo se llama gráfico de Collatz . La gráfica de Collatz de una función teórica de números

${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$

es un gráfico dirigido , que consta del conjunto de números naturales como un conjunto de vértices y para cada número natural de una arista dirigida de a . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle f (n)}$

La función más simple de este tipo es el mapeo sucesor

${\ Displaystyle s \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \ quad s (n) = n + 1,}$

cuyo gráfico de Collatz consiste en un camino infinitamente largo:

${\ Displaystyle 1 \ a 2 \ a 3 \ a 4 \ a 5 \ a \ dotsb}$

Para tener más ejemplos, primero buscó una función teórica de números "simple" cuyo gráfico de Collatz contiene un círculo . Tal función debe "subir" sobre ciertos números naturales , es decir, cumplir la relación , y "disminuir" sobre otros números naturales , es decir, cumplir la relación . Así que se encontró por primera vez con la función definida por ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n <f (n)}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m> f (m)}$

${\ Displaystyle C_ {1} (n): = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {es par,}} \\ n + 1 \ quad & {\ text {if}} n {\ text {es impar.}} \ end {cases}}}$

El gráfico de Collatz de esta función se puede describir de la siguiente manera: Los nodos son, por definición, los números enteros positivos. Si el nodo es recto, tiene los dos nodos anteriores y , en caso contrario, solo . También se aplica ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k-1}$${\ displaystyle 2k}$${\ displaystyle 2k}$

${\ Displaystyle C_ {1} ^ {2} (n) = C_ {1} (C_ {1} (n)) = {\ begin {cases} {\ frac {n} {4}} & {\ text { if}} n {\ text {es divisible por 4,}} \\ {\ frac {n} {2}} + 1 & {\ text {if}} n {\ text {es divisible por 2 pero no por 4 ,}} \\ {\ frac {n + 1} {2}} \ quad & {\ text {if}} n {\ text {es impar.}} \ end {cases}}}$

Sigue

${\ Displaystyle C_ {1} ^ {2} (n) <n \ qquad {\ text {if}} n> 2,}$

y eso tiene como consecuencia que la gráfica de Collatz de solo tiene el círculo y que la trayectoria termina en este círculo en cualquier número inicial. ${\ Displaystyle C_ {1}}$${\ Displaystyle (1,2)}$${\ Displaystyle C_ {1}}$

Debido a que este razonamiento es bastante simple, Collatz miró más allá: La gráfica de Collatz de la función

${\ Displaystyle C_ {2} (n) = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {es par,}} \\ 2n + 1 \ quad & {\ text { si}} n {\ text {es impar,}} \ end {cases}}}$

no contiene un círculo, ya que cada número impar se asigna a un número impar mayor y, por lo tanto, todas las trayectorias divergen hacia el infinito. ${\ Displaystyle C_ {2}}$

El siguiente intento es la función Collatz

${\ Displaystyle C \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \ quad C (n) = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {es par ,}} \\ 3n + 1 & {\ text {if}} n {\ text {es impar.}} \ End {cases}}}$     (Siga A006370 en OEIS )

Collatz sólo encontró el "círculo trivial" para esta función ; escribió que no había publicado sus ideas porque no podía probar que el "círculo trivial" fuera el único. El supuesto de Collatz es el supuesto en la formulación teórica de grafos que el gráfico de Collatz de contiguo es. ${\ Displaystyle (1,4,2)}$${\ Displaystyle C}$

Principios

La longitud de la ruta (número de pasos) dependiendo de los números iniciales de 1 a 10,000.

Para una trayectoria como una secuencia de números, se pueden distinguir tres casos mutuamente excluyentes: ${\ Displaystyle C}$

• la secuencia termina en el ciclo (1,4,2),
• la secuencia crece más allá de todos los límites,
• la secuencia entra en un ciclo diferente.

Se presume que solo ocurrirá el primer caso, pero hasta ahora no se ha descartado ni el segundo ni el tercero. Tampoco se sabe si solo puede haber un número finito de ciclos.

Dado que impar es siempre par y, por lo tanto, la siguiente iteración siempre es una división por 2, generalmente se usa la función algo más fácil de usar en lugar de la función Collatz${\ Displaystyle 3n + 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle T \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \ quad T (n) = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {es par ,}} \\ (3n + 1) / 2 & {\ text {if}} n {\ text {es impar,}} \ end {cases}}}$     (Siga A014682 en OEIS )

se utiliza, que por lo tanto hace dos iteraciones a la vez para un número impar y reduce el ciclo de (1,4,2) a (1,2) , que se supone que siempre se logra. Las figura de plegado formas en y sobre de, en particular, no son valores iniciales para cualquier factor de arbitrariamente grande que la proyección de imagen repetida con o aumentado al menos en este factor. La conjetura de Collatz es creer que es equivalente para todos los números enteros es un entero con allí. Terras demostró en 1976 que la densidad asintótica de los enteros para los que esto es cierto existe y es igual a 1.${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle T ^ {k}}$${\ Displaystyle 2 ^ {k} m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle 2 ^ {k} m-1}$${\ Displaystyle 3 ^ {k} m-1}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle n> 1}$${\ Displaystyle k> 0}$${\ Displaystyle T ^ {k} (n) <n}$${\ Displaystyle n> 1}$

Los cálculos con computadoras mostraron:

• Todos los enteros positivos hasta 2 ⁶⁸ (aproximadamente 2,95 × 10 ²⁰ ) como valores iniciales confirman la suposición (a partir de julio de 2020).
• Si la iteración tiene otro ciclo que (1,2), entonces debe constar de al menos 10,439,860,591 números, de los cuales al menos 6,586,818,670 son impares.${\ Displaystyle T}$
• Infinitamente muchos enteros positivos requieren al menos 6,143 log n iteraciones para llegar a 1. Los modelos estocásticos predicen que en promedio (2 / log (4/3)) log n ≈ 6,952 log n pasos se requieren y que se requieren al menos tantas iteraciones para al menos la mitad de todos los números .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$
• Para números suficientemente grandes , el número de enteros positivos que confirman la suposición como valor inicial es al menos igual o menor .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X ^ {0 {,} 84}}$

Terence Tao demostró en 2019 que la conjetura de Collatz "casi" se aplica a "casi todos" los números naturales (es decir, uno termina con la secuencia de Collatz "cerca" de 1, donde el límite de proximidad depende del valor inicial N). Por ejemplo, del teorema de Tao se deduce que al menos el 99 por ciento de los números naturales hasta , con los que se inicia la secuencia de Collatz, alcanzan un valor final que está por debajo de 200. Tao utilizó métodos que había aplicado previamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, en los que muestreó estadísticamente una selección de valores iniciales y luego examinó el "comportamiento a largo plazo" del conjunto bajo la transformación de Collatz. ${\ Displaystyle 10 ^ {24}}$

Generalizaciones

Para el problema de Collatz, que se expande para incluir todos los enteros como valores iniciales, hay al menos otros cuatro ciclos además del ciclo (1,4,2):

• (0),
• (−1, −2),
• (−5, −14, −7, −20, −10) y
• (−17, −50, −25, −74, −37, −110, −55, −164, −82, −41, −122, −61, −182, −91, −272, −136, - 68, -34).

Los últimos tres ciclos con signos positivos en lugar de negativos también surgen con la definición en lugar de impar . Todos los valores con extremo en uno de los ciclos conocidos.${\ Displaystyle C (n) = 3n-1}$${\ Displaystyle C (n) = 3n + 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle | n | <10 ^ {8}}$

Marc Chamberland definió una función continua que extiende la secuencia discreta de Collatz al rango de números reales. Simon Letherman, Dierk Schleicher y Reg Wood vieron funciones en el área de números complejos como una extensión. Supuesto general: porque impar siempre termina en y solo tiene este ciclo. ${\ Displaystyle C (n) = 3n + 3 ^ {x}}$${\ Displaystyle n}$${\ displaystyle (4 \ times 3 ^ {x}, 2 \ times 3 ^ {x}, 1 \ times 3 ^ {x})}$

Si se considera el problema analógico (5n + 1), los modelos estocásticos ofrecen un comportamiento completamente diferente: casi todos los iterados divergen, lo que se confirma mediante simulación por computadora. Pero es un problema abierto demostrar que solo una órbita del problema (5n + 1) realmente diverge.

John Conway observó secuencias generalizadas (3n + 1) en 1972 y demostró que pueden simular máquinas de Turing universales ( generalizadas por él en el lenguaje de programación FRACTRAN ). También mostró que un problema de decisión particular que pregunta si un valor de entrada para la iteración que es una potencia de 2 conduce a un valor iterado que también es una potencia de 2 es irresoluble (el problema de Collatz también se puede formular de tal manera que para cualquier número natural como entrada, la iteración finalmente conduce a una potencia de 2).

En su trabajo publicado en 2020, Sultanow, Koch y Cox analizan el problema de Collatz desde un punto de vista teórico-gráfico. Está buscando ciclos para y la forma generalizada dónde . El documento contiene una lista de ciclos conocidos y de esto se derivan las condiciones para su ocurrencia en las secuencias de Collatz. ${\ Displaystyle 3n + 1}$${\ Displaystyle kn + 1}$${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N} _ {> 0}}$

literatura

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enlaces web

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• Conjetura de Collatz de Jon Sonntag, unproyecto basado en BOINC que se ocupa de la búsqueda de contraejemplos (inglés; ver Conjetura de Collatz )
• El problema de Collatz de Jürgen Dankert - Script interactivo para el problema (3n + 1) - y (3n - 1) para generar secuencias con números iniciales arbitrariamente grandes
• Terence Tao : La conjetura de Collatz, teoría de Littlewood-Offord y potencias de 2 y 3 , 25 de agosto de 2011
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