Collatz problem

Den Collatz problem , også kendt som (3n + 1) formodninger , er et uløst matematisk problem, der blev stillet ved Lothar Collatz i 1937 . Det har forbindelser til talteori , til teorien om dynamiske systemer og ergodisk teori og til teorien om beregning i datalogi .

Problemet betragtes som notorisk svært, selvom det er let at formulere. Jeffrey Lagarias , der betragtes som en ekspert i problemet, citerede en mundtlig meddelelse fra Paul Erdős , der beskrev det som "absolut håbløst".

Problem

Afklaring af problemet

Søjlediagram for tallene 1 til 100 millioner. Det viser, hvor ofte en bestemt længde af Collatz -sekvensen forekommer.

Problemet handler om sekvenser af tal, der er konstrueret efter en simpel dannelseslov:

• Start med ethvert naturligt tal .${\ displaystyle n> 0}$
• Er lige, så tag næste .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n / 2}$
• Hvis det er mærkeligt, tag det næste .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 3n + 1}$
• Gentag processen med det nummer, du har modtaget.

For eksempel får du sekvensen for startnummeret${\ displaystyle n = 19}$

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Tilsyneladende slutter sekvensen med hver i cyklus 4, 2, 1. Collatz -formodningen lyder: ${\ displaystyle n> 0}$

Hver række af tal, der er konstrueret på denne måde, fører til cyklus 4, 2, 1, uanset hvilket naturligt tal du starter med.${\ displaystyle n> 0}$

Præmiepenge for løsningen

På trods af stor indsats er denne formodning stadig et af de uløste problemer i matematik . Flere priser blev uddelt for en løsning:

• I 1970 tilbød HSM Coxeter $ 50 for et bevis på formodningen og $ 100 for et modeksempel.
• I 1982 lovede Bryan Thwaites 1.000 pund for beviser eller modbevisning i avisen The Times (tilbud fornyet i 1996/1998).
• Paul Erdős tilbød angiveligt $ 500 for en løsning og sagde om Collatz -problemet:

"Matematik er endnu ikke klar til sådanne problemer." ("Matematik er endnu ikke klar til sådanne problemer.") Og

"Håbløs. Absolut håbløst. "(" Hopeless. Absolut håbløst. ")

I 1983 advarede matematikeren Richard Guy om dette og tre andre problemer, der stadig ikke er løst i dag:

"Prøv ikke at løse disse problemer!"

Oprindelse og historie

Oprindelsen af ​​Collatz -formodningen er noget i tågen, da der indtil videre ikke er nogen skriftlige dokumenter, der beskriver problemet, er offentligt tilgængelige fra den formodede oprindelsestidspunkt. Det rapporteres, at Collatz mundtligt spredte problemet på 1950 International Congress of Mathematicians i Cambridge, Massachusetts . Stanisław Ulam og Shizuo Kakutani , der blev inviteret til at holde foredrag på denne kongres, præsenterede gentagne gange problemet i diskussioner og bliver derfor ofte omtalt i denne sammenhæng. Da Lothar Collatz tiltrådte som professor i Hamburg i 1952, fortalte han sin Hamburg -kollega Helmut Hasse om antagelsen. Dette spredte problemet under et forskningsophold på Syracuse University , hvorfor Collatz -problemet også blev kaldt Syracuse -formodningen . Publikationer om oprettelse og formidling:

• I 1971 blev Collatz -problemet sandsynligvis først offentliggjort skriftligt i den trykte version af et foredrag holdt af HSM Coxeter i 1970.
• 1972 lærte Martin Gardner fra ansættelsen af ​​akademiske hackere på MIT med (3n + 1) problemet og beskrev det i sin klumme Mathematical Games in Scientific American . Antagelsen blev bredt kendt inden for og uden for specialkredse gennem denne og andre publikationer, blandt andet af John Conway .
• I 1976 offentliggjorde Riho Terras de første videnskabelige forskningsresultater direkte om Collatz -problemet.
• I 1985 optrådte en anmeldelseartikel af Jeffrey Lagarias i American Mathematical Monthly . I den rapporterer Lagarias om Collatzs interesse for talteoretiske funktioner og grafteori, og han citerer en notesbogspost fra 1. juli 1932, hvor Collatz overvejer følgende permutation af positive heltal:

${\ displaystyle g (n) = {\ begin {cases} {\ tfrac {2} {3}} n & {\ text {if}} \ quad n \ equiv 0 \ mod 3, \\ {\ tfrac {4 } {3}} n - {\ tfrac {1} {3}} og {\ text {if}} \ quad n \ equiv 1 \ mod 3, \\ {\ tfrac {4} {3}} n + { \ tfrac {1} {3}} og {\ tekst {if}} \ quad n \ equiv 2 \ mod 3. \ end {cases}}}$

Denne permutation har det faste punkt 1 og også mindst cyklerne (2, 3), (4, 5, 7, 9, 6) og (44, 59, 79, 105, 70, 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66). I den citerede notesbog post Collatz, det stadig åbent spørgsmål, om den 8 begyndelsen g - bane er cyklisk eller divergerer til uendeligt. Spørgsmålet, som også stadig er åbent, om der eksisterer yderligere cyklusser, er ligesom (3n + 1) formodning om et af de problemer, som Guy beskrev, som man ikke skulle forsøge at løse.

• I 1985 offentliggjorde Bryan Thwaites en meddelelse om, at han havde lavet formodningen den 21. juli 1952 klokken fire om eftermiddagen som en opgave til underholdning af sine elever (han hævdede opdagelsen fra 1952 allerede i 1982).
• I 1986 fik Lothar Collatz en beskrivelse af sin opdagelsesvej om (3n + 1) formodningen oversat til kinesisk og offentliggjort i et tidsskrift på det pædagogiske universitet i Qufu , Shandong, Kina, hvor han havde holdt et foredrag om det. Dette var den eneste publikation af Collatz om dette problem.

Efter Terras udgivelse i 1976 begyndte en livlig videnskabelig optagethed af Collatz -problemet, som nu omfatter godt hundrede publikationer med nye forskningsresultater. På det populærvidenskabelige område blev der skabt nye udtryk:

• 1979 navngav Douglas Hofstadter i sin bog Gödel, Escher, Bach de startnumre, hvis Collatz -bane ender i cyklussen (1,4,2), vidunderlige tal , mirakuløse tal .
• 1984 Brian Hayes kaldte tallene for Collatz -sekvenser i kolonnen computerrekreationer i Scientific American haglnumre , haglstormtal .
• I 1994 viste Ivan Korec, at næsten alle startværdier for Collatz -algoritmen når en værdi under .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S ^ {0.7925}}$
• I 2019 viste Terence Tao , at Collatz -formodningen næsten er sand for næsten alle naturlige tal .

Collatz -graf over en funktion

Uddrag fra Collatz -grafen for Collatz -funktionen

Collatz's beskrivelse af hans motivation for (3n + 1) formodningen er meget plausibel: han forbinder i første omgang en rettet graf generelt for enhver funktion på de naturlige tal med værdier i de naturlige tal , Lagarias i ovennævnte oversigt artikel Collatz -graf kaldes. Den Collatz graf af et antal teoretiske funktion

${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$

er en rettet graf , der består af sættet med naturlige tal som et toppunktssæt og for hvert naturligt tal af en rettet kant fra til . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f (n)}$

Den enkleste sådan funktion er efterfølger -kortlægningen

${\ displaystyle s \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \ quad s (n) = n + 1,}$

hvis Collatz -graf består af en uendelig lang vej:

${\ displaystyle 1 \ to 2 \ to 3 \ to 4 \ to 5 \ to \ dotsb}$

For at få flere eksempler ledte han først efter en "simpel" talteoretisk funktion, hvis Collatz -graf indeholder en cirkel . En sådan funktion skal "stige" på visse naturlige tal , det vil sige opfylde relationen og "falde" på andre naturlige tal , det vil sige opfylde relationen . Så han stødte først på den funktion, der er defineret af ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n <f (n)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m> f (m)}$

${\ displaystyle C_ {1} (n): = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {er lige,}} \\ n + 1 \ quad & {\ text {if}} n {\ tekst {er ulige.}} \ end {cases}}}$

Collatz -grafen for denne funktion kan beskrives som følger: Knuderne er pr. Definition de positive heltal. Hvis knuden er lige, har den de to tidligere noder og ellers kun . Gælder også ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k-1}$${\ displaystyle 2k}$${\ displaystyle 2k}$

${\ displaystyle C_ {1} ^ {2} (n) = C_ {1} (C_ {1} (n)) = {\ start {cases} {\ frac {n} {4}} og {\ text { hvis}} n {\ tekst {er delelig med 4,}} \\ {\ frac {n} {2}} + 1 og {\ tekst {if}} n {\ tekst {er delelig med 2, men ikke med 4 ,}} \\ {\ frac {n + 1} {2}} \ quad & {\ text {if}} n {\ tekst {er ulige.}} \ end {cases}}}$

Det følger

${\ displaystyle C_ {1} ^ {2} (n) <n \ qquad {\ text {if}} n> 2,}$

og det har den konsekvens, at Collatz -grafen kun har cirklen, og at banen ender i denne cirkel ved et hvilket som helst startnummer. ${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle (1,2)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

Fordi denne begrundelse er ganske enkel, så Collatz videre: Collatz -grafen over funktionen

${\ displaystyle C_ {2} (n) = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {er lige,}} \\ 2n + 1 \ quad & {\ text { hvis}} n {\ tekst {er ulige,}} \ slut {sager}}}$

indeholder ikke en cirkel, da hvert ulige tal kortlægges til et større ulige tal, og banerne derfor alle afviger mod uendeligt. ${\ displaystyle C_ {2}}$

Det næste forsøg er Collatz -funktionen

${\ displaystyle C \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \ quad C (n) = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {er lige ,}} \\ 3n + 1 og {\ text {if}} n {\ tekst {er ulige.}} \ End {cases}}}$     (Følg A006370 i OEIS )

Collatz fandt kun den "trivielle cirkel" til denne funktion - han skrev, at han ikke havde offentliggjort sine ideer, fordi han ikke kunne bevise, at den "trivielle cirkel" var den eneste. Collatz-antagelsen er den antagelse i grafteoretisk formulering, som Collatz-grafen for sammenhængende er. ${\ displaystyle (1,4,2)}$${\ displaystyle C}$

Principper

Stiens længde (antal trin) afhængigt af startnumrene fra 1 til 10.000.

For en bane som en sekvens af tal kan man skelne mellem tre indbyrdes udelukkende tilfælde: ${\ displaystyle C}$

• sekvensen ender i (1,4,2) cyklus,
• sekvensen vokser ud over alle grænser,
• sekvensen kommer ind i en anden cyklus.

Formodningen er, at kun den første sag vil forekomme, men hverken den anden eller den tredje sag er hidtil blevet udelukket. Det vides heller ikke, om der kun kan være et begrænset antal cyklusser.

Da ulige altid er lige, og derfor er den følgende iteration altid divideret med 2, bruges den noget lettere at bruge funktion normalt i stedet for Collatz- funktionen ${\ displaystyle 3n + 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle T \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \ quad T (n) = {\ begin {cases} n / 2 & {\ text {if}} n {\ text {er lige ,}} \\ (3n + 1) / 2 & {\ text {if}} n {\ tekst {er ulige,}} \ end {cases}}}$     (Følg A014682 i OEIS )

bruges, hvilket derfor foretager to iterationer på én gang for et ulige tal og reducerer cyklussen fra (1,4,2) til (1,2) , hvilket formodes altid at blive opnået. De fold figure formularer på og på fra især er startværdier for ethvert vilkårligt stor faktor, at den gentagne billeddannelse med eller forøges med mindst denne faktor. Den Collatz-formodningen er at tro, der svarer til alle heltal er et heltal med der. Terras viste i 1976, at den asymptotiske tæthed af heltalene, for hvilke dette er sandt, eksisterer og er lig med 1.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle T ^ {k}}$${\ displaystyle 2 ^ {k} m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 2 ^ {k} m-1}$${\ displaystyle 3 ^ {k} m-1}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle k> 0}$${\ displaystyle T ^ {k} (n) <n}$${\ displaystyle n> 1}$

Beregninger med computere viste:

• Alle positive heltal op til 2 ⁶⁸ (ca. 2,95 × 10 ²⁰ ) som startværdier bekræfter antagelsen (fra juli 2020).
• Hvis iterationen har en anden cyklus end (1,2), skal denne bestå af mindst 10.439.860.591 tal, hvoraf mindst 6.586.818.670 er ulige.${\ displaystyle T}$
• Uendeligt mange positive heltal kræver mindst 6.143 log n iterationer for at nå 1. Stokastiske modeller forudsiger, at i gennemsnit (2 / log (4/3)) log n ≈ 6.952 log n trin er påkrævet, og at der kræves mindst lige så mange iterationer for mindst halvdelen af ​​alle tal .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$
• For tilstrækkeligt store tal er antallet af positive heltal, der bekræfter antagelsen som en startværdi, mindst lig med eller mindre .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {0 {,} 84}}$

Terence Tao viste i 2019, at Collatz -formodningen "næsten" gælder for "næsten alle" naturlige tal (det vil sige, man slutter med Collatz -sekvensen "nær" 1, hvor grænsen for nærhed afhænger af startværdien N). For eksempel følger det af Taos sætning, at mindst 99 procent af de naturlige tal op til , hvormed man starter Collatz -sekvensen, når en slutværdi, der er under 200. Tao brugte metoder, som han tidligere havde anvendt i teorien om partielle differentialligninger, hvor han statistisk udtagede et udvalg af begyndelsesværdier og derefter undersøgte ensemblets "langsigtede adfærd" under Collatz-transformationen. ${\ displaystyle 10 ^ {24}}$

Generaliseringer

For Collatz -problemet, der udvides til at omfatte alle heltal som startværdier, er der mindst fire andre cyklusser ud over (1,4,2) cyklussen:

• (0),
• (−1, −2),
• (−5, −14, −7, −20, −10) og
• (−17, −50, −25, −74, −37, −110, −55, −164, −82, −41, −122, −61, −182, −91, −272, −136, - 68, −34).

De sidste tre cyklusser med positive i stedet for negative tegn opstår også med definitionen i stedet for for ulige . Alle værdier med ende i en af ​​de kendte cyklusser.${\ displaystyle C (n) = 3n-1}$${\ displaystyle C (n) = 3n + 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle | n | <10 ^ {8}}$

Marc Chamberland definerede en kontinuerlig funktion, der udvider den diskrete Collatz -sekvens til området med reelle tal. Simon Letherman, Dierk Schleicher og Reg Wood så funktioner i området komplekse tal som en forlængelse. Generel antagelse: for ulige ender altid i og har kun denne ene cyklus. ${\ displaystyle C (n) = 3n + 3 ^ {x}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (4 \ gange 3 ^ {x}, 2 \ gange 3 ^ {x}, 1 \ gange 3 ^ {x})}$

Hvis man overvejer det analoge (5n + 1) problem, leverer stokastiske modeller en helt anden adfærd: Næsten alle iterater divergerer, hvilket bekræftes af computersimulering. Men det er et åbent problem at bevise, at kun en bane af (5n + 1) problemet rent faktisk afviger.

John Conway kiggede på generaliserede (3n + 1) sekvenser i 1972 og viste, at de kan simulere universelle Turing -maskiner ( generaliseret af ham i FRACTRAN programmeringssprog ). Han viste også, at et bestemt beslutningsproblem, der spørger, om en inputværdi for iterationen, der er en power på 2, fører til en itereret værdi, der også er en power på 2, er uløselig (Collatz -problemet kan også formuleres på en sådan måde, at for alle naturlige tal som input fører iteraten endelig til en effekt på 2).

I deres arbejde, der blev offentliggjort i 2020, analyserer Sultanow, Koch og Cox Collatz-problemet fra et grafteoretisk synspunkt. Du kigger på cyklusser for og den generaliserede form hvor . Dokumentet indeholder en liste over kendte cyklusser, og deraf stammer betingelser for deres forekomst i Collatz -sekvenser. ${\ displaystyle 3n + 1}$${\ displaystyle kn + 1}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} _ {> 0}}$

litteratur

• Jeffrey C. Lagarias : 3x + 1 -problemet og dets generaliseringer , The American Mathematical Monthly 92, januar 1985, s. 3–23 (engelsk; tildelt Lester R. Ford -prisen i 1986 ; på MathDL ; ved CECM ; Zentralblatt -anmeldelse )
• Günther J. Wirsching: Det dynamiske system genereret af 3n + 1-funktionen , Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-63970-5 (engelsk; revideret version af 1996-habiliteringsafhandlingen; Zentralblatt-gennemgang )
• Richard K. Guy : E16. 3x + 1 problemet og E17. Permutationssekvenser i uløste problemer i talteori (3. udgave), Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7 , s. 330–336 og s. 336–337 (engelsk; Zentralblatt anmeldelse )
• Jeffrey C. Lagarias: The 3x + 1 problem: An annotated bibliography (1963–1999) (sorteret efter forfatter) , arxiv : math / 0309224 [math.NT], 2003–2011 (engelsk)
• Jeffrey C. Lagarias: The 3x + 1 problem: An annotated bibliography, II (2000–2009) , arxiv : math / 0608208 [math.NT], 2006–2012 (engelsk)
• Jeffrey C. Lagarias (red.): Den ultimative udfordring: The 3x + 1 problem , American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 978-0-8218-4940-8 (engelsk; Zentralblatt anmeldelse )
  • deri Jeffrey C. Lagarias: 3x + 1 -problemet: En oversigt (PDF, 518 kB, forhåndsvisning af bøger), s. 3–29 (engelsk)

Weblinks

• Eric W. Weisstein : Collatz -problem . I: MathWorld (engelsk).
• Om 3x + 1 -problemet af Eric Roosendaal, et distribueret computerprojekt , der beskæftiger sig med Collatz -problemet
• Collatz Conjecture af Jon Sonntag, et BOINC- baseret projekt, der omhandler søgningen efter modeksempler (engelsk; se Collatz Conjecture )
• Collatz -problemet af Jürgen Dankert - Interaktivt script til (3n + 1) - og (3n - 1) -problemet til generering af sekvenser med vilkårligt store startnumre
• Terence Tao : Collatz-formodningen, Littlewood-Offord-teorien og beføjelser fra 2 og 3 , 25. august 2011
• Paul J. Andaloro: 3x + 1 -problemet og rettede grafer (PDF; 3,8 MB), Fibonacci Quarterly 40, 2002 (engelsk)
• Det enkleste matematikproblem, ingen kan løse - Veritasium på YouTube

Individuelle beviser

1. ↑ ^{a b} Lagarias : 3x + 1 -problemet: En oversigt , 2010, s. 16 “Matematik er endnu ikke klar til sådanne problemer.” Og s. 24 “Håbløst. Absolut håbløst. " (Engelsk)
2. ↑ ^{a b} H. SM Coxeter : Cykliske sekvenser og frisemønstre: Det fjerde Felix Behrend-mindeforedrag , Vinculum 8, 1971, s. 4-7 (engelsk); Genoptrykt med kommentarer i Lagarias (red.): Den ultimative udfordring: 3x + 1 -problemet , 2010, s. 211–218 (antagelse på s. 214 ; Zentralblatt -gennemgang )
3. ^ PHS: The Times Diary. Summer af penge , The Times 61228, 17. juli 1982, s. 8 og The Times Diary. Efterfølgende , The Times 61320, 25. august 1982, s.8
4. ↑ ^{a b} C. Williams, B. Thwaites, A. van der Poorten , W. Edwards, L. Williams: Ulams formodning fortsatte igen , PPC Calculator Journal 9, september 1982, s. 23-24 (engelsk)
5. ↑ Bryan Thwaites: To formodninger, eller hvordan man vinder £ 1100 , The Mathematical Gazette 80, marts 1996, s. 35–36 (engelsk)
6. ↑ ^{a b} Bryan Thwaites: Prøv at vinde på nrich, 10. marts 1998 (engelsk)
7. ↑ Lagarias : 3x + 1 -problemet og dets generaliseringer , 1985, s. 4 (engelsk)
8. ↑ ^{a b} Richard K. Guy : Prøv ikke at løse disse problemer! American Mathematical Monthly 90, 1983, s. 35-41 (engelsk; Zentralblatt anmeldelse ); Genoptrykt i Lagarias (red.): Den ultimative udfordring: 3x + 1-problemet , 2010, s. 231-239
9. ↑ Darren Glass: MAA Review zu Lagarias (red.): The ultimate challenge: The 3x + 1 problem , 2010, MathDL, 31. marts 2011 (engelsk)
10. ↑ ^{a b} Lagarias : 3x + 1 -problemet: En oversigt , 2010, s. 5 (engelsk).
11. ↑ PUNKT 133 (Schroeppel, Gosper, Henneman & Banker) fra M. Beeler, RW Gosper , R. Schroeppel : HAKMEM , MIT AI Memo 239, den 29. februar, 1972 (engelsk).
12. ^ Martin Gardner : Mathematical Games , Scientific American 226, juni 1972, s. 114-118 (engelsk); Genoptrykt med kommentarer i Wheels, life og andre matematiske forlystelser , WH Freeman and Company, New York 1983, ISBN 0-7167-1588-0 , s. 196-197 og 203-204.
13. ↑ ^{a b} J. H. Conway : Uforudsigelige Iterationer i: Proceedings of the Number Number Theory Conference 1972. University of Colorado, Boulder, Colorado , 1972, s. 49-52 (engelsk; Zentralblatt anmeldelse ); Genoptrykt i Lagarias (red.): Den ultimative udfordring: 3x + 1-problemet , 2010, s. 219-223.
14. ↑ ^{a b} Riho Terras: Et stoppetidsproblem på de positive heltal (PDF, 632 kB; 24. oktober 1974), Acta Arithmetica 30, 1976, s. 241-252 (engelsk; Zentralblatt-anmeldelse ) om
    denne Riho Terras: På eksistens af en densitet (PDF, 132 kB; 27. juli 1978), Acta Arithmetica 35, 1979, s. 101-102 (engelsk; Zentralblatt-gennemgang ).
15. ↑ Lagarias : 3x + 1 -problemet og dets generaliseringer , 1985 (engelsk).
16. ↑ Lagarias : 3x + 1 -problemet og dets generaliseringer , 1985, s. 3 .
17. ↑ Fyr : E17. Permutationssekvenser , 2004.
18. ^ Bryan Thwaites: My conjecture , Bulletin of The Institute of Mathematics and its Applications 21, marts / april 1985, s. 35-41 (engelsk; Zentralblatt-anmeldelse ).
19. ↑ Lothar Collatz : On the Origin of the (3n + 1) Problem , Journal of Qufu Normal University Natural Science Edition 12 Nr. 3, 1986, s. 9-11 (kinesisk oversættelse fra tysk af Zhi-Ping Ren); Om motivationen og oprindelsen til (3n + 1) problem i Lagarias (red.): Den ultimative udfordring: 3x + 1 problemet , 2010, s. 241–247 (engelsk oversættelse fra kinesisk).
20. ^ Douglas R. Hofstadter : Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid , Basic Books, New York 1979, ISBN 0-465-02685-0 , s. 400-402 (engelsk).
21. ^ Brian Hayes: Computerrecreations: On the ups and downs of haglstenumre (PDF; 1,1 MB), Scientific American 250, januar 1984, s. 10-16 (engelsk).
22. ↑ Et tæthedsestimat for3x + 1 -problemet. Hentet 23. december 2020 . 
23. ↑ ^{a b} Kevin Hartnett: Matematiker viser et enormt resultat om 'farligt' problem , Quanta Magazine, 11. december 2019 (engelsk).
24. ↑ Günther J. Wirsching: Om 3n + 1 -problemet , Elements of Mathematics 55, november 2000, s. 142–155 ( Zentralblatt -gennemgang )
25. ↑ Lagarias : The 3x + 1 problem: En oversigt , 2010, s. 22 (engelsk).
26. ↑ Lagarias : The 3x + 1 problem: En oversigt , 2010, s. 16-17 (engelsk).
27. ^ Eric Roosendaal: Om 3x + 1 -problemet. I: EricR.nl. 20. juli 2020, adgang til den 27. juli 2020 . 
28. ↑ Shalom Eliahou: 3x + 1 -problemet: nye lavere grænser for ikke -private cykellængder , Diskret matematik 118, august 1993, s. 45–56 (engelsk; resultat ved brug af formodningens gyldighed op til 20 × 2 ⁵⁸ ; Zentralblatt anmeldelse ) .
29. ^ David Applegate , Jeffrey C. Lagarias : Lavere grænser for den samlede stoptid på 3x + 1 iterates , Mathematics of Computation 72, april 2003, s. 1035-1049 (engelsk; Zentralblatt-anmeldelse ).
30. ^ Ilia Krasikov, Jeffrey C. Lagarias : Grænser for 3x + 1-problemet ved hjælp af forskelsforskelle , Acta Arithmetica 109, 2003, s. 237-258 (engelsk; Zentralblatt-gennemgang ).
31. ^ Terence Tao : Næsten alle kredsløb på Collatz -kortet opnår næsten afgrænsede værdier , arxiv : 1909.03562 , september 2019 (engelsk).
32. ↑ Fyr : E16. Problemet 3x + 1 , 2004, s. 332 (engelsk)
33. ↑ Marc Chamberland: En kontinuerlig udvidelse af 3x + 1 -problemet til den virkelige linje (PDF; 159 kB), Dynamik af kontinuerlige, diskrete og impulsive dynamiske systemer 2, 1996, s. 495–509 (engelsk; Zentralblatt anmeldelse )
34. ↑ Simon Leatherman, Dierk Schleicher , Reg Wood: Den 3n + 1-problemet og holomorfe dynamik ., Experimental Matematik 8, 1999, pp 241-251 (engelsk)
35. ↑ Lagarias : 3x + 1 -problemet: En oversigt , 2010, s. 11 og s. 22
36. ^ Eldar Sultanow, Christian Koch, Sean Cox: Collatz -sekvenser i lyset af grafteori. (PDF, 1354 kB) University of Potsdam 2020.