Operador de turno

Los operadores de turno ( operadores de turno, operadores de turno, operadores de turno) se consideran en el subárea matemática del análisis funcional . El operador de turno unilateral (ver más abajo) es un operador no normal concreto en un espacio de Hilbert . Este operador tiene muchas propiedades para las que no existe un equivalente de dimensión finita.

definición

Un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es, según el teorema de Fischer-Riesz, isométricamente isomórfico a , donde un conjunto infinito numerable es, por ejemplo, o . El operador ${\ Displaystyle \ textstyle \ ell ^ {2} (I): = \ {(a_ {i}) _ {i \ in I} \ in {\ mathbb {C}} ^ {I}; \, \ sum _ {i \ in I} | a_ {i} | ^ {2} <\ infty \}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I = {\ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle I = {\ mathbb {N}}}$

${\ Displaystyle W: \ ell ^ {2} ({\ mathbb {Z}}) \ rightarrow \ ell ^ {2} ({\ mathbb {Z}}), \, \, (a_ {n}) _ { n \ in {\ mathbb {Z}}} \ mapsto (a_ {n-1}) _ {n \ in {\ mathbb {Z}}}}$

se denomina operador de turno bilateral .

${\ Displaystyle S: \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}}) \ rightarrow \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}}), \, \, (a_ {n}) _ { n \ in {\ mathbb {N}}} \ mapsto (0, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots)}$

se denomina operador de turno unilateral . El término operador de cambio proviene del hecho de que estos operadores cambian los términos de la secuencia por una posición de índice. Con el operador de cambio bilateral, los índices en ambos lados del cero se ven afectados, tanto positivos como negativos, con el operador de cambio unilateral solo los índices de un lado, es decir, solo los positivos. En la literatura matemática, el operador de turno generalmente se refiere al operador de turno unilateral sin más adición. A menudo, la palabra operador se omite y simplemente habla del turno .

Si se entiende como un subespacio de identificando con , se ve que es, es decir, el operador de turno unilateral es una restricción del operador de turno bilateral. ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}})}$${\ Displaystyle \ ell ^ {2} ({\ mathbb {Z}})}$${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)}$${\ Displaystyle (\ ldots, 0, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)}$${\ Displaystyle S = W | _ {\ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}})}}$

El cambio bilateral

El cambio bilateral es un operador unitario , el inverso es el operador adjunto${\ Displaystyle W}$

${\ Displaystyle W ^ {*}: \ ell ^ {2} ({\ mathbb {Z}}) \ rightarrow \ ell ^ {2} ({\ mathbb {Z}}), \, \, (a_ {n }) _ {n \ in {\ mathbb {Z}}} \ mapsto (a_ {n + 1}) _ {n \ in {\ mathbb {Z}}}}$.

El espectro del cambio bilateral es la línea circular completa, es decir . Ningún elemento del espectro es un valor propio . ${\ Displaystyle \ sigma (W) = \ {\ lambda \ in {\ mathbb {C}}; \, | \ lambda | = 1 \}}$

El cambio unilateral

El desplazamiento unilateral es una isometría que no es sobreyectiva , porque la imagen es el conjunto de todas las secuencias cuyo primer componente es 0. Este es un operador lineal inyectivo que no es sobreyectivo; este es un fenómeno que no aparece en la teoría de los espacios de dimensión finita, es decir, en el álgebra lineal . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}})}$${\ Displaystyle S}$

El operador adjunto es

${\ Displaystyle S ^ {*} \ colon \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}}) \ rightarrow \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}}), \, \, (a_ { n}) _ {n \ in {\ mathbb {N}}} \ mapsto (a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)}$.

Esto sigue inmediatamente y , este último representa la proyección ortogonal sobre la imagen de . En particular, no es normal . Incluso se puede demostrar que el operador de turno de cada operador unitario tiene exactamente la distancia estándar máxima posible 2. ${\ displaystyle S ^ {*} S = id}$${\ Displaystyle SS ^ {*} = P_ {im (S)}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

El espectro del operador de turno

El espectro de todo el disco: . Ninguno de los puntos espectrales es un valor propio . Sin embargo, los puntos espectrales con son los llamados autovalores aproximados , es decir, hay una secuencia de vectores con norma 1, de modo que . Esto no se aplica a los puntos espectrales internos con . ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ sigma (S) = \ {\ lambda \ in {\ mathbb {C}}; \, | \ lambda | \ leq 1 \}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle | \ lambda | = 1}$${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ Displaystyle \ | Sx_ {n} - \ lambda x_ {n} \ | \ to 0}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle | \ lambda | <1}$

El espectro del operador adjunto es también el disco completo y el borde del círculo también consta solo de valores propios aproximados que no son valores propios reales. Los puntos espectrales internos con son todos valores propios de . Los espacios propios asociados son todos unidimensionales, el espacio propio zu es generado por. ${\ Displaystyle S ^ {*}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle | \ lambda | <1}$${\ Displaystyle S ^ {*}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle (1, \ lambda, \ lambda ^ {2}, \ lambda ^ {3}, \ ldots)}$

El operador de turno como operador de Fredholm

El operador de desplazamiento es un operador de Fredholm con . Por tanto, la imagen en el álgebra de Calkin es unitaria, lo que se puede tomar de las fórmulas e incluso sin el término operador de Fredholm . El espectro de es la línea circular. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathrm {ind} (S) = \ mathrm {dim} (\ mathrm {ker} (S)) - \ mathrm {codim} (\ mathrm {im} (S)) = - 1}$${\ Displaystyle \ pi (S)}$${\ displaystyle S ^ {*} S = id}$${\ Displaystyle SS ^ {*} = P_ {im (S)}}$${\ Displaystyle \ pi (S)}$

Descomposición mundial

Un operador lineal continuo en un espacio de Hilbert H es unitariamente equivalente al operador de turno si hay un operador unitario con . Si algún operador está activado , entonces un subespacio se llama invariante (con respecto a ), si . Con estos términos, ahora se pueden describir todas las isometrías en un espacio de Hilbert. Una isometría es esencialmente una suma directa de un operador unitario y algunos operadores de turno, más precisamente: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle U: H \ rightarrow \ ell ^ {2} ({\ mathbb {N}})}$${\ Displaystyle T = U ^ {*} SU}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle V \ subconjunto H}$ ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T (V) \ subconjunto V}$

• Si una isometría está en un espacio de Hilbert , entonces se descompone en una suma directa de subespacios invariantes, por lo que es unitario y cada operador es unitariamente equivalente al operador de desplazamiento.${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ textstyle G \ oplus \ bigoplus _ {i \ in I} H_ {i}}$${\ Displaystyle T | _ {G}}$${\ Displaystyle T | _ {H_ {i}}}$

Puede ser, es decir, desaparece la parte unitaria de la isometría, pero también y así , entonces la isometría es unitaria. Esta representación de una isometría también se denomina descomposición de Wold o descomposición de Wold von Neumann (en honor a Herman Wold y John von Neumann ). ${\ Displaystyle G = \ {0 \}}$${\ Displaystyle G = H}$${\ Displaystyle I = \ conjunto vacío}$

El operador de turno en H ²

Deje que la línea del círculo y la medida de Lebesgue normalizado a 1 sean en , es decir, la medida de la imagen de la medida de Lebesgue en el intervalo de la unidad [0,1] debajo de la cifra . , el llamado espacio de Hardy , se define como el subespacio en el espacio de Hilbert generado por las funciones . ${\ Displaystyle \ Gamma = \ {\ lambda \ in {\ mathbb {C}}; \, | \ lambda | = 1 \}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle t \ to e ^ {2 \ pi it}}$${\ Displaystyle H ^ {2}}$${\ Displaystyle z \ mapsto z ^ {n}, n = 0,1,2, \ ldots}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Gamma, \ mu)}$

Se puede demostrar que la multiplicación con la función define un operador lineal continuo en . Dado que las funciones forman una base ortogonal del espacio de Hardy, este operador es unitariamente equivalente al operador de turno, y también se lo denomina simplemente operador de turno. En esta representación particular del operador de turno, el operador de turno aparece como un operador de multiplicación. ${\ ID de estilo de pantalla _ {\ Gamma}: z \ mapsto z}$${\ Displaystyle H ^ {2}}$${\ Displaystyle z \ mapsto z ^ {n}}$

hinchar

• Paul Halmos : Un libro de problemas espaciales de Hilbert, Springer-Verlag, ISBN 0387906851