Operador lineal

El término operador lineal se introdujo en el análisis funcional (una rama de las matemáticas) y es sinónimo del término mapeo lineal . Un mapeo lineal es un mapeo que preserva la estructura entre espacios vectoriales sobre un cuerpo común . Si los espacios vectoriales se consideran sobre el campo de los números reales o complejos y si estos cuentan con una topología ( espacios localmente convexos , espacios normalizados , espacios de Banach ), se habla preferentemente de operadores lineales.

En contraste con los espacios de dimensión finita, donde los operadores lineales siempre están restringidos , los operadores lineales ilimitados también aparecen en espacios de dimensión infinita .

definición

Operador lineal

Sea y espacios vectoriales reales o complejos. Un mapeo de a se llama operador lineal si las siguientes condiciones son válidas para todos y (o ): ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle x, y \ en X}$${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$

1. ${\ Displaystyle T}$ es homogéneo: ${\ Displaystyle T (\ lambda x) = \ lambda T (x)}$
2. ${\ Displaystyle T}$ es aditivo: ${\ Displaystyle T (x + y) = T (x) + T (y)}$

Operador antilineal

Ser y espacios vectoriales complejos. Un operador de en se llama un operador anti-lineal si todos y tienen las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle x, y \ en X}$${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$

1. ${\ Displaystyle T}$ es antihomogéneo: ${\ Displaystyle T (\ lambda x) = {\ overline {\ lambda}} T (x)}$
2. ${\ Displaystyle T}$ es aditivo: ${\ Displaystyle T (x + y) = T (x) + T (y)}$

Ejemplos

Operadores lineales

• Que sea una matriz real . Entonces el mapeo lineal es un operador lineal de in .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n \ times m}$${\ Displaystyle A \ colon x \ mapsto Ax}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• El conjunto de operadores lineales entre dos espacios vectoriales fijos se convierte en un espacio vectorial en sí mismo a través de la definición de suma y multiplicación escalar .${\ Displaystyle (S + T) (x): = S (x) + T (x)}$ ${\ Displaystyle (\ lambda S) (x): = \ lambda S (x)}$

• El operador derivado que asigna su derivada a una función es un operador lineal.${\ Displaystyle D \ colon C ^ {1} \ to C}$${\ Displaystyle f \ mapsto Df = f '}$

• Sean dos números reales. El operador que asigna un número real a una función integrable es lineal.${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle \ textstyle f \ mapsto \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}$

• Cada funcional lineal en un espacio vectorial es un operador lineal.

Operador antilineal

• Si hay un espacio de Hilbert complejo y su espacio dual , entonces según el teorema de representación de Fréchet-Riesz hay exactamente uno para cada uno , por lo que se aplica a todos . La figura es antilineal. Esto se debe al hecho de que un producto escalar complejo es antilineal en la segunda variable.${\ Displaystyle (H, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {H})}$${\ Displaystyle H \, '}$${\ Displaystyle f \ in H \, '}$${\ Displaystyle y_ {f} \ in H}$${\ Displaystyle f (x) = \ langle x, y_ {f} \ rangle _ {H}}$${\ Displaystyle x \ in H}$${\ Displaystyle H \, '\ rightarrow H, f \ mapsto y_ {f}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Importancia y usos

La importancia de los operadores lineales es que respetan la estructura lineal del espacio subyacente, es decir es decir, son homomorfismos entre espacios vectoriales.

Las aplicaciones de los operadores lineales son:

• La descripción de las transformaciones de coordenadas en el espacio euclidiano tridimensional (reflexión, rotación, estiramiento) y la transformación de Lorentz en el espacio-tiempo tetradimensional utilizando matrices.

• La representación de observables en mecánica cuántica y la descripción de la dinámica de un sistema de mecánica cuántica utilizando su operador de Hamilton en la ecuación de Schrödinger .${\ Displaystyle H}$

• El desarrollo de teorías de solución para ecuaciones diferenciales e integrales, ver espacio y distribución de Sobolew .

• En la teoría de cuatro polos ( ingeniería eléctrica ), las relaciones entre las variables de entrada (intensidad de la corriente y voltaje) y las variables de salida (intensidad de la corriente y voltaje) se consideran mutuamente dependientes linealmente unas de otras. Las dependencias se pueden describir mediante matrices de 2 × 2.

Operadores lineales restringidos

Definiciones

Sean y dos espacios vectoriales normalizados y un operador lineal. La norma del operador de está definida por ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle A \ dos puntos V \ a W}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ | A \ |: = \ inf \ {M \ geq 0, \; \ | Ax \ | _ {W} \ leq M \ | x \ | _ {V} {\ text {para todos}} x \ in V \}}$,

donde para esta constante

${\ Displaystyle \ | A \ | = \ sup _ {x \ in V, \; x \ neq 0} {\ frac {\ | Ax \ | _ {W}} {\ | x \ | _ {V}} } = \ sup _ {\ | x \ | _ {V} \ leq 1} \ | Ax \ | _ {W} = \ sup _ {\ | x \ | _ {V} = 1} \ | Ax \ | _ {W}}$

se aplica. Si la norma del operador es finita, el operador se llama acotado, de lo contrario ilimitado.

Se llama al conjunto de todos los operadores lineales acotados desde el espacio normalizado al espacio normalizado . Con la norma del operador, este es en sí mismo un espacio vectorial normalizado. Si está completo , es incluso un espacio de Banach . Si con es idéntico, también se escribe de forma abreviada . Los operadores lineales acotados se pueden caracterizar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}} (V, W)}$${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}} (V)}$

Si un operador lineal es de a , las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$

1. ${\ Displaystyle T}$está restringido, d. H. en incluido.${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}} (V, W)}$
2. ${\ Displaystyle T}$es uniformemente continua en .${\ Displaystyle V}$
3. ${\ Displaystyle T}$es continuo en todos los puntos de .${\ Displaystyle V}$
4. ${\ Displaystyle T}$es continuo en un punto de .${\ Displaystyle V}$
5. ${\ Displaystyle T}$está constantemente en .${\ Displaystyle 0 \ in V}$

Ejemplos de operadores lineales acotados

• ${\ Displaystyle I_ {V} \ in {\ mathfrak {L}} (V)}$con , donde el operador idéntico está activado .${\ Displaystyle \ | I_ {V} \ | = 1}$${\ Displaystyle I_ {V}}$${\ Displaystyle V}$

• ${\ Displaystyle P \ in {\ mathfrak {L}} (H)}$con , donde es una proyección ortogonal en el espacio de Hilbert .${\ Displaystyle \ | P \ | = 1}$${\ Displaystyle P \ neq 0}$ ${\ Displaystyle H}$

• ${\ Displaystyle (n_ {k}) \ in {\ mathfrak {L}} (l_ {p})}$con , en el que la secuencia está limitada, y como un operador de diagonal en el espacio de secuencia con se interpreta.${\ displaystyle \ textstyle \ | (n_ {k}) \ | = \ max _ {k} | n_ {k} |}$${\ Displaystyle (n_ {k})}$ ${\ Displaystyle l_ {p}}$${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$

• El operador de turno está delimitado por , donde el espacio de secuencia se define con .${\ Displaystyle S \ in {\ mathfrak {L}} (l_ {p})}$${\ Displaystyle \ | S \ | = 1}$${\ Displaystyle S ((x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc)): = (0, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc)}$${\ Displaystyle l_ {p}}$${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$

• Que sea un conjunto compacto y el espacio Banach de funciones continuas con la norma supremum . Además, suponga que el operador lineal está definido por for . Entonces es y .${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}} (K)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle f \ in {\ mathfrak {C}} (K)}$${\ Displaystyle T_ {f} \ colon {\ mathfrak {C}} (K) \ rightarrow {\ mathfrak {C}} (K)}$${\ Displaystyle T_ {f} (g) (k): = (fg) (k)}$${\ Displaystyle k \ in K}$${\ Displaystyle T_ {f} \ in {\ mathfrak {L}} ({\ mathfrak {C}} (K))}$${\ Displaystyle \ | T_ {f} \ | = \ | f \ | _ {\ infty}}$

• Dejar ser un espacio de medida y la L ^p -espacio de las clases de equivalencia de las funciones medibles integrable en el poder -ésimo en el L ^p -norma para . Además, dejemos que y el operador lineal se definan mediante for . Entonces es y .${\ Displaystyle \ lbrack X, {\ mathfrak {B}}, \ mu \ rbrack}$${\ Displaystyle L_ {p} = L_ {p} (X, {\ mathfrak {B}}, \ mu)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$${\ Displaystyle f \ in L _ {\ infty}}$${\ Displaystyle T_ {f} \ colon L_ {p} \ to L_ {p}}$${\ Displaystyle T_ {f} (g) (x): = (fg) (x)}$${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle T_ {f} \ in {\ mathfrak {L}} (L_ {p})}$${\ Displaystyle \ | T_ {f} \ | = \ | f \ | _ {\ infty}}$

Aplicaciones

• Teoría espectral
• Cálculo funcional , d. H. para una función medible acotada, real o de valor complejo y se puede definir un operador lineal acotado .${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle f (T)}$

Operadores lineales sin restricciones

Cuando se consideran operadores lineales ilimitados, a menudo también se permite a los operadores cuyo dominio (dominio) solo un subespacio de retención, se habla de operadores lineales no restringidos en espacios de Hilbert, se permite como área de definición, un espacio pre-Hilbert como subespacio de un espacio de Hilbert para, más precisamente se habla entonces de operadores lineales ilimitados densamente definidos (ver más abajo). El operador se entiende como un mapeo parcial .

Se dice que un operador está densamente definido si su dominio es un subconjunto denso del espacio inicial. El interés por los operadores ilimitados se basa en la investigación de los operadores diferenciales y su espectro de valores propios y álgebras observables.

Una gran clase de operadores lineales ilimitados son los operadores cerrados . Estos son operadores cuyo gráfico está cerrado en la topología de producto de . Para operadores cerrados, p. Ej. B. el espectro se puede definir. ${\ Displaystyle A \ colon V \ rightarrow W}$${\ Displaystyle \ Gamma (A): = \ {(\ phi, A \ phi): \ phi \ in D \}}$${\ Displaystyle V \ times W}$

La teoría de los operadores ilimitados fue establecida por John von Neumann en 1929. En 1932, independientemente de von Neumann, Marshall Harvey Stone desarrolló la teoría de los operadores ilimitados.

ejemplo

Considere el operador diferencial en el espacio de Banach de funciones continuas en el intervalo . Si uno elige las funciones que alguna vez fueron continuamente diferenciables como dominio , entonces es un operador cerrado que no está restringido. ${\ Displaystyle Af: = f '\,}$${\ Displaystyle C [a, b]}$${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (A): = C ^ {1} [a, b]}$${\ Displaystyle A}$

Aplicaciones

• Los operadores diferenciales y multiplicadores son i. A. ilimitado.

• La representación de observables en mecánica cuántica requiere operadores lineales ilimitados, ya que los operadores asignados a los observables i. A. son ilimitados.

Términos / topologías de convergencia en espacios de operador

Si el espacio vectorial subyacente es de dimensión finita con dimensión , entonces un espacio vectorial es la dimensión . En este caso, todas las normas son equivalentes , es decir, proporcionan el mismo concepto de convergencia y la misma topología . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle L (V)}$${\ Displaystyle n ^ {2}}$

En el infinito-dimensional, por otro lado, existen varias topologías no equivalentes. Ahora ser y espacios de Banach y una secuencia (o una red ) en . ${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle (T_ {i}) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle L (E, F)}$

Topología estándar

${\ Displaystyle T_ {i}}$converge en la topología normal a si y solo si: ${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ lim _ {i} \ | T-T_ {i} \ | = 0}$

La topología estándar es la topología representada por las esferas abiertas producidas .

Topología de operador fuerte

${\ Displaystyle T_ {i}}$converge en la topología de operador fuerte ( detener para abreviar ) a si y solo si converge punto por punto: ${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ lim _ {i} T_ {i} x = Tx \ quad \ forall x \ in E}$

o en otras palabras:

${\ Displaystyle 0 = \ lim _ {i} \ | T_ {i} x-Tx \ | = \ lim _ {i} \ | (T_ {i} -T) x \ | \ quad \ forall x \ in E }$

La topología asociada es la topología inicial , que se define mediante el conjunto de asignaciones lineales

${\ Displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ begin {matrix} L (E, F) & \ to & F \\ T & \ mapsto & Tx \ end {matrix}} \, \ right | \, x \ in E \ right \ rbrace}$

es producido. Esta es la topología más pequeña en la que todos estos mapas son continuos. con la topología de operador fuerte hay, por tanto, un espacio localmente convexo . ${\ Displaystyle L (E, F)}$

Expresado alternativamente: La topología de operador fuerte es la topología de producto de todas las funciones desde hasta , restringida a los operadores lineales (posiblemente restringidos). ${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle F}$

Topología de operador débil

${\ Displaystyle T_ {i}}$converge en la topología de operador débil a si y solo si ${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ lim _ {i} \ varphi (T_ {i} x) = \ varphi (Tx) \ quad \ forall x \ in E, \ varphi \ in F ^ {*}}$

o en otras palabras:

${\ Displaystyle \ lim _ {i} | \ varphi (T_ {i} x-Tx) | = 0 \ quad \ forall x \ in E, \ varphi \ in F ^ {*}}$

(Aquí denota el espacio dual continuo de F) ${\ Displaystyle F ^ {*}}$

La topología asociada es la topología inicial , que está definida por el conjunto de funcionales lineales

${\ Displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ begin {matrix} L (E, F) & \ to & \ mathbb {C} \\ T & \ mapsto & \ varphi (Tx) \ end {matrix}} \, \ right | x \ in E, \ varphi \ in F ^ {*} \ right \ rbrace}$

es producido. Ésta es la topología más pequeña en la que todos estos funcionales son continuos. con la topología de operador débil, también hay un espacio convexo local . ${\ Displaystyle L (E, F)}$

literatura

• Hans Wilhelm Alt: Análisis funcional lineal. Una introducción orientada a la aplicación. 5ª edición. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2 .

Evidencia individual

1. ↑ Dirk Werner : Análisis funcional. 7ª edición corregida y ampliada. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7 . Frase II.1.4.
2. ↑ Dirk Werner: Análisis funcional. 7ª edición corregida y ampliada. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7 . Capítulo VII.6.