Cuarto separado

El término matemático separable describe una propiedad de contabilización de espacios topológicos de uso frecuente en topología y áreas relacionadas . El término es de particular importancia en el análisis funcional . Aquí, por ejemplo, se puede demostrar que siempre hay bases ortonormales contables en un espacio de Hilbert separable .

definición

Un espacio topológico se llama separable si hay como máximo un subconjunto contable que es denso en este espacio .

Criterios para habitaciones separables

• Si un espacio topológico tiene (como máximo) una base contable , es separable. (Lo contrario generalmente no es cierto).
• Para un espacio métrico se aplica lo siguiente:${\ Displaystyle X}$
  • Para que tenga una base contable, es necesario y suficiente que sea separable.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Un espacio métrico totalmente restringido siempre es separable. ${\ Displaystyle X}$
• En particular, cada habitación compacta y metrizable se puede separar. Lo siguiente se aplica con mayor precisión:
  • Si un espacio topológico metrizable es, entonces las tres propiedades son ${\ Displaystyle X}$
    • (1) tener una base contable,
    • (2) ser lindelöfsch ,
    • (3) ser separable,

  equivalente a.

• Un espacio vectorial topológico es separable si y solo si hay un subconjunto contable, de modo que el subespacio generado por él es denso.
• Si un espacio de Hilbert es de dimensión infinita , las siguientes tres condiciones son siempre equivalentes:${\ Displaystyle X}$
  • (1) es separable.${\ Displaystyle X}$
  • (2) Todas las bases ortonormales de son contables.${\ Displaystyle X}$
  • (3) Hay una base ortonormal contable.${\ Displaystyle X}$
• Para un conjunto infinito y ordenado linealmente con la topología de orden , las siguientes tres condiciones son siempre equivalentes: ${\ Displaystyle X}$
  • (1) es separable y
  contiguo .${\ Displaystyle X}$
• (2) es orden isomorfo a un intervalo de .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• (3) es homeomorfo en un intervalo de .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Si un espacio métrico está conectado y es localmente euclidiano , entonces es lindelöfsch y, por tanto, separable.${\ Displaystyle X}$

Ejemplos

Ejemplos de habitaciones separables son:

• Las habitaciones son separables porque se pueden contar y están ubicadas muy juntas .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• Las habitaciones con un subconjunto abierto restringido y son separables.${\ Displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$
• Los espacios de secuencia para son separables.${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$
• El espacio de las secuencias nulas ( reales o complejas ) es un espacio de Banach separable con la norma supremum .${\ Displaystyle c_ {0}}$
• El espacio de las secuencias de terminación ( ) es separable con la norma para .${\ Displaystyle c_ {00}}$${\ Displaystyle \ forall x \ in c_ {00} \ existe N \ in \ mathbb {N} \ forall n \ geq N: x_ {n} = 0}$${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$
• Los espacios siempre son separables para subconjuntos abiertos y números naturales .${\ Displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle C ^ {k} (\ Omega)}$
• Cada conjunto infinito con una topología cofinita es separable porque cualquier subconjunto infinito numerable tiene todo el espacio como el único superconjunto cerrado.
• El plano de Niemytzki (o plano de Moore) es un espacio separable, ya que el subconjunto contable (!) De puntos con coordenadas racionales que contiene es denso.

Contraejemplos

Hay algunos ejemplos bien conocidos de espacios no separables:

• El espacio de Banach de secuencias acotadas (reales o complejas) no es separable.${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$
• En general, para un conjunto infinito, el espacio de Banach de funciones limitadas (de valor real o complejo) nunca es separable.${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle B (X, {\ mathcal {P}} (S))}$
• El espacio de funciones casi periódicas es un espacio de Hilbert no separable .${\ Displaystyle \ mathrm {AP} ^ {2}}$
• Si se proporciona el número ordinal incontable más pequeño con su topología de orden, se obtiene un espacio no separable.${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$

Propiedades permanentes

• Las imágenes de habitaciones separables bajo funciones continuas se pueden volver a separar.
• Los subespacios abiertos de espacios separables siempre son también separables.
• En general, los subespacios de espacios separables no son separables. Por ejemplo, el nivel de Niemytzki separable (!) Mencionado anteriormente contiene un subespacio no separable.
• Sin embargo, es cierto que los subespacios de los espacios métricos separables son separables de nuevo.
• Teorema de separabilidad de Marczewski : si una familia de espacios separables y si el espesor es como máximo igual al espesor del continuo , entonces también es separable con la topología del producto . Para ver este resultado, basta con probar la separabilidad de . Para ello, es fácil considerar que el conjunto contable de sumas finitas de funciones de es denso, donde es la función característica del intervalo .${\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathbb {N}} ^ {\ mathbb {R}} = \ {f \ mid f \ colon {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {N}} \}}$${\ Displaystyle \ {n \ cdot \ chi _ {[a, b]}; n \ in {\ mathbb {N}}, a, b \ in {\ mathbb {Q}} \}}$${\ Displaystyle \ chi _ {[a, b]}}$${\ Displaystyle [a, b]}$

Conexión con otros términos

• En la literatura especializada inglesa, algunos autores se refieren a un espacio topológico con (como máximo) una base contable como completamente separable o perfectamente separable , es decir, como completamente separable o completamente separable .${\ Displaystyle X}$
• Si la topología de un espacio separable puede ser generada por una completa métrica , se llama un espacio polaco .${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$
• El concepto de espacio separable no tiene relación con el concepto de espacio separado .

A la historia

• El concepto de espacio separable se remonta a Maurice René Fréchet y su publicación Sur quelques points de calcul fonctionnel de 1906.
• Según PS Alexandroff, el término separable es un término sumamente desafortunado ... que, lamentablemente, se ha naturalizado y generalizado.
• Como escribió Horst Schubert en 1975, había ... tendencias para abolirlo [el término separable ] .

literatura

• PS Alexandroff : Introducción a la teoría de conjuntos y la topología general (=  libros universitarios de matemáticas . Volumen 85 ). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlín 1984. 
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Introducción a la topología algebraica y teórica de conjuntos (=  serie de estudios de Berlín sobre matemáticas . Volumen 15 ). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X . 
• Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspectos de la topología . 2ª Edición. BCS Associates, Moscú, Idaho, EE. UU. 1998, ISBN 0-914351-08-7 . 
• Lutz Führer : topología general con aplicaciones . Vieweg Verlag , Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3 . 
• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Ejercicios de análisis. Parte 1 (=  Libros de problemas en matemáticas ). Springer-Verlag , Cham, Heidelberg, Nueva York, Dordrecht, Londres 2014, ISBN 978-3-319-06175-7 , doi : 10.1007 / 978-3-319-06176-4 . 
• Jürgen Heine: Topología y análisis funcional . Conceptos básicos del análisis abstracto con aplicaciones. 2ª edición mejorada. Oldenbourg Verlag , Múnich 2011, ISBN 978-3-486-70530-0 . 
• GJO Jameson: topología y espacios normativos . Chapman y Hall, Londres 1974, ISBN 0-412-12880-2 . 
• Joseph Muscat : Análisis funcional . Introducción a los espacios métricos, los espacios de Hilbert y las álgebras de Banach. Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, Nueva York, Dordrecht, Londres 2014, ISBN 978-3-319-06727-8 , doi : 10.1007 / 978-3-319-06728-5 . 
• Mark Neumark : Álgebras normalizadas . Verlag Harri Deutsch , Thun y Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4 . 
• Horst Schubert: Topología (=  pautas matemáticas ). 4ª edición. BG Teubner , Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 . 
• Lynn A. Steen , J. Arthur Seebach, Jr.,: Contraejemplos en topología . 2ª Edición. Springer-Verlag, Nueva York, Heidelberg, Berlín 1978, ISBN 0-387-90312-7 . 
• Dirk Werner : Análisis funcional (=  libro de texto de Springer ). 6ª edición corregida. Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 . 
• Stephen Willard: Topología general (=  Serie Addison-Wesley en matemáticas ). Addison-Wesley , Reading, Massachusetts y col. a. 1970. 

Ver también

• Cantidad contable
• Hausdorffraum
• Sueño de Hilbert
• Espacio métrico
• Espacio compacto
• Área polaca
• Segundo axioma de contabilidad

Evidencia individual

1. ↑ Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Introducción a la topología algebraica y teórica de conjuntos. 2006, pág.34.
2. ^ PS Alexandroff: Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. 1984, pág.121.
3. ^ Joseph Muscat: análisis funcional. 2014, pág.68.
4. ↑ Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Ejercicios de análisis. Parte 1. 2014, pág.8.
5. ↑ Dado que la compacidad es un caso especial de la propiedad de Lindelöf, la declaración antes mencionada resulta de esta equivalencia como consecuencia.
6. ↑ Jürgen Heine: Topología y análisis funcional. 1970, pág.261.
7. ↑ Dirk Werner: Análisis funcional. 2007, pág.235.
8. ^ Lutz Führer: topología general con aplicaciones. 1977, pág.129.
9. ^ Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspectos de topología. 1998, pág.420.
10. ↑ ^{a b} Heine, op.cit, p. 72.
11. ^ GJO Jameson: topología y espacios normativos. 1970, pág.159.
12. ↑ Camps / Kühling / Rosenberger, op.cit, p. 18.
13. ↑ ^{a b} Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.,: Contraejemplos en topología. 1970, pág.7, págs. 100-103.
14. ↑ Heine, op.cit, p. 86.
15. ↑ Heine, op.cit, p. 72.
16. ↑ Jameson, op.cit, p. 158.
17. ↑ Stephen Willard: Topología general. 1970, pág.114.
18. ↑ La imagen del subconjunto denso en el dominio de definición simplemente sirve como el subconjunto denso en la imagen.
19. ↑ Führer, op.cit, p. 128.
20. ↑ Esto se deduce de la equivalencia mencionada anteriormente, porque obviamente esta última se traslada a los subespacios métricos.
21. ↑ Steen / Seebach, op.cit, p. 162.
22. ↑ Gasiński / Papageorgiou, op.cit, p. 226.
23. ↑ ^{a b} Horst Schubert: Topología. 1975, pág.58.
24. ↑ Willard, op.cit, p. 303.
25. ↑ Alexandroff, op. Cit, págs. 120-121.
26. ↑ Lo que aparentemente no sucedió.