Oktaeder

regelmäßiges Oktaeder
Familie: Platonische Körper
Bild des Festkörpers
Gesichter	8
Kanten	12
Eckpunkte	6
Symmetriegruppe	Oktaeder ( OH )
doppeltes Polyeder	Würfel
Schlafli-Symbol	{3. 4}

regelmäßiges Oktaeder

Unregelmäßiges Oktaeder ( dreieckige Kuppel )

Ein Oktaeder oder Oktoeder (von griechisch ὀκτώ „acht“ und ἕδρα „Sitz“ oder „Gesicht“) ist ein achtseitiges Polyeder . Bei dieser Flächenzahl kann es ein konvexer Polyeder oder ein konkaver Polyeder sein . Ihre Gesichter können Polyeder mit sieben Seiten oder mehr sein. Wenn die acht Flächen des Oktaeders gleichseitige Dreiecke sind, die einander gleich sind, ist das Oktaeder konvex und wird regelmäßig genannt , da es eine Figur der sogenannten platonischen Körper ist .

Volumen, Fläche und Entwicklung

Animation einer der Entwicklungen des Oktaeders.

Bei einem regulären Oktaeder mit Kante a können wir sein Volumen V mit der folgenden Formel berechnen:

$V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\cdot a^{3}$
(ca. 0,47 a³)

Und die Gesamtfläche seiner Flächen A (die 8-mal die Fläche einer von ihnen ist, A _c ), unter Verwendung von:

$A=8\cdot A_{c}=8\cdot {\frac {{\sqrt {3}}}{4}}\cdot a^{2}=2{\sqrt {3}}\cdot a^{ zwei}$
(ca. 3,46 a²)

Die Höhe (längste Diagonale) des regelmäßigen Oktaeders ist ]

$H=L\cdot {\sqrt {2}}\approx L\cdot 1,414213562$

Besondere Eigenschaften

Symmetrie

Ein regelmäßiges Oktaeder hat drei Symmetrieachsen der Ordnung vier, die Linien, die gegenüberliegende Eckpunkte verbinden; sechs Symmetrieachsen zweiter Ordnung, die Linien, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verbinden; vier Symmetrieachsen dritter Ordnung, die Linien, die die Schwerpunkte der gegenüberliegenden Flächen verbinden; neun Symmetrieebenen , von denen drei jede Gruppe koplanarer Kanten enthalten und sechs senkrecht zu jedem Paar paralleler Kanten; und ein Symmetriezentrum . Dadurch hat dieses Feld eine Gesamtsymmetrieordnung von 72 : 2x(3x4+6x2+4x3) .

Die obigen Symmetrieelemente definieren eine der oktaedrischen Symmetriegruppen, die nach der Schönflies- Notation _OH genannt wird .

Konjugation

Sein konjugiertes Polyeder ist ein Würfel .

Abschnitte

Als eine besondere Eigenschaft des Oktaeders kann erwähnt werden, dass durch Schneiden mit einer Ebene, die durch die Mitte von sechs seiner Kanten geht, ein regelmäßiges Sechseck erhalten wird.

Vorschläge

1. Wenn ein Oktaeder regelmäßig ist, dann sind gegenüberliegende Flächen in parallelen Ebenen enthalten.
2. Wenn in jedem regelmäßigen Oktaeder die Ecken einer beliebigen Fläche mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche zusammentreffen, werden 3 kongruente Dreiecksbereiche bestimmt, die mit der ursprünglichen Fläche einen regelmäßigen Tetraeder bilden. ]

Typen

Es ist möglich, die Oktoeder wie folgt in verschiedenen Typen zu sammeln.

1. Eine Pyramide mit siebeneckiger Grundfläche (7 Seiten) hat 7 Seitenflächen. Insgesamt hat es 8 Flächen mit der Basis, also ist es ein Oktaeder.
2. Ein Prisma mit sechseckiger Grundfläche hat 6 Flächen und die 2 Grundflächen ergeben insgesamt 8 Flächen.→ Oktoeder
3. Eine Bipyramide mit einer erzeugenden Pyramide mit vierseitiger Grundfläche ist ebenfalls ein Oktaeder. Es hat acht dreieckige Flächen.

Praktische Anwendungen, Beispiele und andere Verwendungen

• Bei Rollenspielwürfeln ist der achtseitige Würfel ein regelmäßiges Oktaeder. Seine Schreibweise ist "D8".
• Einer der Engel aus dem Anime Neon Genesis Evangelion namens Ramiel ist im Grunde ein reguläres Oktaeder.

In der Natur beobachtete oktaedrische Formen

In der Kristallographie findet man häufig Kristalle mit oktaedrischen Strukturen. In einigen Fällen ist diese makroskopische Struktur eine direkte Widerspiegelung der oktaedrischen Molekülgeometrie , die sie auf mikroskopischer Ebene aufweisen. Mineralien des regulären Systems, die einen oktaedrischen Kristallaufbau haben, sind unter anderem Diamant , Magnetit und Fluorit .

Externe Links

• Wikimedia Commons hat eine Mediengalerie über Oktaeder .