Split -kompleks nummer - Split-complex number

I algebra har et delt komplekst tal (eller hyperbolisk tal , også perplex tal , dobbelt tal ) to reelle talkomponenter x og y , og skrives z = x + y  j , hvor j ² = 1 . Den konjugat af z er z ^* = x - y  j . Da j ² = 1 , er produktet af et tal z med dets konjugat zz ^∗ = x ² - y ² , en isotrop kvadratisk form , N ( z ) = x ² - y ² .

Samlingen D af alle splittede komplekse tal z = x + y  j for x , y ∈ R danner en algebra over feltet med reelle tal . To split-komplekse tal w og z har et produkt wz, der opfylder N ( wz ) = N ( w ) N ( z ) . Denne sammensætning af N over algebraproduktet gør ( D , +, ×, *) til en sammensætningsalgebra .

En lignende algebra baseret på R ² og komponentmæssige operationer af addition og multiplikation, ( R ² , +, ×, xy ) , hvor xy er den kvadratiske form på R ² , danner også et kvadratisk rum . Den ring isomorfi

${\ displaystyle {\ begin {align} D & \ to \ mathbb {R} ^{2} \\ x+yj & \ mapsto (x+y, xy) \ end {align}}}$

angår proportionale kvadratiske former, men mapping er ikke en isometri eftersom det multiplikative identitet (1, 1) af R ² er i en afstand √ 2 fra 0, som er normaliseret i D .

Split-komplekse tal har mange andre navne; se § Synonymer herunder. Se artiklen Motorvariabel for funktioner med et split-komplekst tal.

Definition

Et split-komplekst tal er et ordnet par reelle tal, skrevet i formularen

${\ displaystyle z = x+jy}$

hvor x og y er reelle tal og mængden j opfylder

${\ displaystyle j^{2} =+1}$

Valg af resultater i de komplekse tal . Det er denne tegnændring, der adskiller split-komplekse tal fra de almindelige komplekse. Mængden j her er ikke et reelt tal, men en uafhængig størrelse. ${\ displaystyle j^{2} =-1}$

Samlingen af ​​alle sådanne z kaldes split-complex planet . Tilføjelse og multiplikation af split-komplekse tal er defineret af

${\ displaystyle {\ begin {justeret} (x+jy)+(u+jv) & = (x+u)+j (y+v) \\ (x+jy) (u+jv) & = (xu +yv)+j (xv+yu). \ end {justeret}}}$

Denne multiplikation er kommutativ , associativ og fordeler over addition.

Konjugat, modul og bilinear form

Ligesom for komplekse tal kan man definere forestillingen om et split-kompleks konjugat . Hvis

${\ displaystyle z = x+jy}$

konjugatet af z defineres som

${\ displaystyle z^{*} = x-jy.}$

Konjugatet tilfredsstiller egenskaber, der ligner det sædvanlige komplekse konjugat. Nemlig,

${\ displaystyle {\ begin {justeret} (z+w)^{*} & = z^{*}+w^{*} \\ (zw)^{*} & = z^{*} w^{ *} \\\ venstre (z^{*} \ højre)^{*} & = z. \ end {align}}}$

Disse tre egenskaber indebærer, at det split-komplekse konjugat er en automorfisme af orden 2.

Den modulus af en split-komplekst tal z = x + j  y er givet ved isotrop kvadratisk form

${\ displaystyle \ lVert z \ rVert = zz^{*} = z^{*} z = x^{2} -y^{2}.}$

Det har sammensætningen algebra egenskab:

${\ displaystyle \ lVert zw \ rVert = \ lVert z \ rVert \ lVert w \ rVert.}$

Denne kvadratiske form er imidlertid ikke positiv-bestemt, men har snarere signatur (1, -1) , så modulet er ikke en norm .

Den tilhørende bilinære form er givet af

${\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = \ operatorname {Re} \ left (zw^{*} \ right) = \ operatorname {Re} \ left (z^{*} w \ right) = xu-yv, }$

hvor z = x + j  y og w = u + j  v . Et andet udtryk for modulet er derefter

${\ displaystyle \ lVert z \ rVert = \ langle z, z \ rangle.}$

Da den ikke er positiv-bestemt, er denne tokantede form ikke et indre produkt ; ikke desto mindre omtales den bilinære form ofte som et ubestemt indre produkt . Et lignende sprogmisbrug refererer til modulet som en norm.

Et split-komplekst tal er inverterbart, hvis og kun hvis dets modul er nonzero ( ), og dermed x ± j x ikke har nogen invers. Den reciprok af en invertibel element er givet ved ${\ displaystyle \ lVert z \ rVert \ neq 0}$ 

${\ displaystyle z^{-1} = {\ frac {z^{*}} {\ lVert z \ rVert}}.}$

Splittede komplekse tal, der ikke er inverterbare, kaldes nullvektorer . Disse er alle af formen ( a ± j  a ) for et reelt tal a .

Det diagonale grundlag

Der er to ikke -private idempotente elementer givet af e = (1 - j )/2 og e ^∗ = (1 + j )/2 . Husk, at idempotent betyder, at ee = e og e ^∗ e ^∗ = e ^∗ . Begge disse elementer er nul:

${\ displaystyle \ lVert e \ rVert = \ lVert e^{*} \ rVert = e^{*} e = 0.}$

Det er ofte praktisk at bruge e og e ^∗ som et alternativt grundlag for det split-komplekse plan. Dette grundlag kaldes diagonal basis eller nul basis . Det split-komplekse tal z kan skrives i null-basis som

${\ displaystyle z = x+jy = (xy) e+(x+y) e^{*}.}$

Hvis vi betegner tallet z = ae + be ^∗ for reelle tal a og b med ( a , b ) , gives split-kompleks multiplikation med

${\ displaystyle \ left (a_ {1}, b_ {1} \ right) \ left (a_ {2}, b_ {2} \ right) = \ left (a_ {1} a_ {2}, b_ {1} b_ {2}) \ højre.}$

På dette grundlag bliver det klart, at split-komplekse tal er ring-isomorfe i forhold til den direkte sum R ⊕ R med addition og multiplikation defineret parvis.

Det split-komplekse konjugat i diagonalbasen er givet ved

${\ displaystyle (a, b)^{*} = (b, a)}$

og modulet ved

${\ displaystyle \ lVert (a, b) \ rVert = ab.}$

Selvom det ligger i den samme isomorfisme klasse i kategorien ringe , adskiller det split-komplekse plan og den direkte sum af to reelle linjer sig i deres layout i det kartesiske plan . Isomorfismen, som en plan kortlægning, består af en rotation mod uret med 45 ° og en udvidelse med √ 2 . Især udvidelsen har undertiden forårsaget forvirring i forbindelse med områder i en hyperbolsk sektor . Faktisk hyperbolske vinkel svarer til området af en sektor i R ⊕ R plan med sin "enhedscirklen" givet ved {( a , b ) ∈ R ⊕ R  : ab = 1} . Den kontraherede enheds hyperbola {cosh a + j sinh a  : a ∈ R } i det split-komplekse plan har kun halvdelen af ​​arealet i spændet for en tilsvarende hyperbolsk sektor. Sådan forveksling vil kunne videreføres, når geometrien af split-komplekse plan ikke adskiller sig fra den for R ⊕ R .

Geometri

Et todimensionalt ægte vektorrum med Minkowski indre produkt kaldes (1 + 1) -dimensionelt Minkowski -rum , ofte betegnet R ^1,1 . Lige så meget af geometrien af den euklidiske plan R ² kan beskrives med komplekse tal, geometrien af Minkowski planet R ^1,1 kan beskrives med split-kompleks tal.

Sættet med punkter

${\ displaystyle \ left \ {z: \ lVert z \ rVert = a^{2} \ right \}}$

er en hyperbel for hver ikke-nul en i R . Hyperbola består af en højre og venstre gren, der passerer ( a , 0) og ( - a , 0) . Tilfældet a = 1 kaldes enhedshyperbola . Det konjugerede hyperbol er givet af

${\ displaystyle \ left \ {z: \ lVert z \ rVert = -a^{2} \ right \}}$

med en øvre og nedre gren, der passerer (0, a ) og (0, - a ) . Hyperbola og konjugeret hyperbola adskilles af to diagonale asymptoter, der danner et sæt nullelementer:

${\ displaystyle \ left \ {z: \ lVert z \ rVert = 0 \ right \}.}$

Disse to linjer (undertiden kaldet nulkeglen ) er vinkelret på R ² og har skråninger ± 1.

Split-kompleks tal z og w siges at være hyperbolsk-ortogonale hvis ⟨ z , w ⟩ = 0 . Selvom den er analog med almindelig ortogonalitet, især som den kendes med almindelig kompleks talregning, er denne betingelse mere subtil. Det danner grundlaget for det samtidige hyperplan -koncept i rumtiden.

Analogen af Eulers formel for split-komplekse tal er

${\ displaystyle \ exp (j \ theta) = \ cosh (\ theta)+j \ sinh (\ theta). \,}$

Dette kan udledes af en power -serieudvidelse ved hjælp af det faktum, at cosh kun har lige kræfter, mens det for sinh har ulige kræfter. For alle reelle værdier af den hyperbolske vinkel θ har split-komplekse tallet λ = exp ( jθ ) norm 1 og ligger på den højre gren af ​​enhedens hyperbola. Tal som λ er blevet kaldt hyperboliske versorer .

Da λ har modul 1, bevarer multiplikation af ethvert split-kompleks tal z med λ modulet af z og repræsenterer en hyperbolsk rotation (også kaldet et Lorentz-boost eller en squeeze-kortlægning ). Multiplicering med λ bevarer den geometriske struktur og tager hyperboler til sig selv og nulkeglen til sig selv.

Sættet af alle transformationer af det split-komplekse plan, der bevarer modulet (eller ækvivalent, det indre produkt) danner en gruppe kaldet den generaliserede ortogonale gruppe O (1, 1) . Denne gruppe består af de hyperbolske rotationer, der danner en undergruppe betegnet SO ⁺ (1, 1) , kombineret med fire diskrete refleksioner givet af

${\ displaystyle z \ mapsto \ pm z}$ og ${\ displaystyle z \ mapsto \ pm z^{*}.}$

Det eksponentielle kort

${\ displaystyle \ exp \ colon (\ mathbb {R},+) \ to \ mathrm {SO} ^{+} (1,1)}$

at sende θ til rotation med exp ( jθ ) er en gruppeisomorfisme, da den sædvanlige eksponentielle formel gælder:

${\ displaystyle e^{j (\ theta +\ phi)} = e^{j \ theta} e^{j \ phi}. \,}$

Hvis et split-kompleks tal z ikke ligger på en af ​​diagonalerne, har z en polær dekomponering .

Algebraiske egenskaber

I abstrakt algebra set kan split-kompleks tal beskrives som kvotienten af polynomiet ring R [ x ] af den ideelle genereret af polynomiet x ² - 1 ,

R [ x ]/( x ² - 1).

Billedet af x i kvotienten er den "imaginære" enhed j . Med denne beskrivelse er det klart, at split-komplekse tal danner en kommutativ algebra i forhold til de reelle tal. Algebraen er ikke et felt, da nullelementerne ikke er inverterbare. Alle nullelementerne uden nul er nuldelere .

De split-komplekse tal er isomorfe som en algebra til det direkte produkt af R i sig selv. Det er således en reduceret artinsk ring .

Da addition og multiplikation er kontinuerlige operationer med hensyn til planetens sædvanlige topologi, danner split-komplekse tal en topologisk ring .

Algebraen med split-komplekse tal danner en sammensætningsalgebra siden

${\ displaystyle \ lVert zw \ rVert = \ lVert z \ rVert \ lVert w \ rVert}$  for ethvert tal z og w .

Fra definitionen fremgår det, at ringen af split-kompleks tal er isomorf med gruppen ring R [C ₂ ] i cykliske gruppe C ₂ over reelle tal R .

Matrix repræsentationer

Man kan let repræsentere split-komplekse tal ved matricer . Det split-komplekse nummer

${\ displaystyle z = x+jy}$

kan repræsenteres ved matricen

${\ displaystyle z \ mapsto {\ begin {pmatrix} x & y \\ y & x \ end {pmatrix}}.}$

Tilføjelse og multiplikation af split-komplekse tal er derefter givet ved matrix-tilføjelse og multiplikation. Modulet af z er givet af determinanten for den tilsvarende matrix. I denne repræsentation svarer split-kompleks konjugation til multiplikation på begge sider med matrixen

${\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

For ethvert reelt tal a , en hyperbolsk rotation ved en hyperbolsk vinkel a svarer til multiplikation af matricen

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh a & \ sinh a \\\ sinh a & \ cosh a \ end {pmatrix}}.}$

Det diagonale grundlag for det split-komplekse talplan kan påberåbes ved hjælp af et ordnet par ( x , y ) til og foretage kortlægningen ${\ displaystyle z = x+jy}$

${\ displaystyle (u, v) = (x, y) {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} = (x, y) S.}$

Nu er den kvadratiske form desuden ${\ displaystyle uv = (x+y) (xy) = x^{2} -y^{2}.}$

${\ displaystyle (\ cosh a, \ sinh a) {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} = \ left (e^{a}, e^{-a} \ right)}$

så de to parametriserede hyperbler bringes i korrespondance med S .

Den handling af hyperbolsk versor svarer derefter under denne lineære transformation til en squeeze kortlægning${\ displaystyle e^{bj} \!}$

${\ displaystyle \ sigma: (u, v) \ mapsto \ left (ru, {\ frac {v} {r}} \ right), \ quad r = e^{b}.}$

Der er et stort antal forskellige repræsentationer af split-komplekse tal i de 2 × 2 reelle matricer. Faktisk giver hver matrice, hvis firkant er identitetsmatrixen, en sådan repræsentation.

Ovenstående diagonale repræsentation repræsenterer den Jordan-kanoniske form for matrixrepræsentationen af ​​de split-komplekse tal. For et split-komplekst tal z = ( x , y ) givet ved følgende matrixrepræsentation:

${\ displaystyle Z = {\ begin {pmatrix} x & y \\ y & x \ end {pmatrix}}}$

dens Jordan kanoniske form er givet af:

${\ displaystyle J_ {z} = {\ begin {pmatrix} x+y & 0 \\ 0 & x-y \ end {pmatrix}},}$

hvor og ${\ displaystyle Z = SJ_ {z} S^{-1} \,}$

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Historie

Brugen af ​​split-komplekse tal dateres tilbage til 1848, da James Cockle afslørede sine tessariner . William Kingdon Clifford brugte split-komplekse tal til at repræsentere summer af spins. Clifford introducerede brugen af ​​split-komplekse tal som koefficienter i en quaternion-algebra, der nu kaldes split-biquaternions . Han kaldte dets elementer "motorer", et udtryk parallelt med "rotor" -virkningen af ​​et almindeligt komplekst tal taget fra cirkelgruppen . Ved at udvide analogien, fungerer en motorvariabels kontrast til funktioner i en almindelig kompleks variabel .

Siden slutningen af ​​det tyvende århundrede har split-kompleks multiplikation almindeligvis været set som et Lorentz-boost af et rumtidens fly. I den model repræsenterer tallet z = x + y  j en hændelse i et rum-tidsplan, hvor x måles i nanosekunder og y i Mermins fødder . Fremtiden svarer til kvadranten af ​​begivenheder { z  : | y | < x }, som har den split-komplekse polære dekomponering . Modellen siger, at z kan nås fra oprindelsen ved at indtaste en referenceramme for hurtighed a og vente ρ nanosekunder. Split-kompleks ligningen ${\ displaystyle z = \ rho e^{aj} \!}$

${\ displaystyle e^{aj} \ e^{bj} = e^{(a+b) j}}$

udtrykke produkter på enheden hyperbola illustrerer additiviteten af ​​hurtigheder for collinear hastigheder. Begivenheders samtidighed afhænger af hurtighed a ;

${\ displaystyle \ lbrace z = \ sigma je^{aj}: \ sigma \ in \ mathbb {R} \ rbrace}$

er begivenhedslinjen samtidig med oprindelsen i referencerammen med hurtig a .

To hændelser z og w er hyperbolsk-ortogonale, når z ^∗ w + zw ^∗ = 0 . Kanoniske begivenheder exp ( aj ) og j exp ( aj ) er hyperboliske ortogonale og ligger på akserne i en referenceramme, hvor begivenhederne samtidigt med oprindelsen er proportionale med j exp ( aj ) .

I 1933 brugte Max Zorn split-oktonerne og noterede sig sammensætningens algebra- egenskab. Han indså, at Cayley-Dickson-konstruktionen , der bruges til at generere divisionsalgebraer, kunne modificeres (med en faktor gamma (γ)) for at konstruere andre sammensætningsalgebraer, herunder split-oktonerne. Hans innovation blev foreviget af Adrian Albert , Richard D. Schafer og andre. Gammafaktoren, med ℝ som basisfelt, bygger split-komplekse tal som en kompositionsalgebra. NH McCoy gennemgik Albert for matematiske anmeldelser og skrev, at der var en "introduktion af nogle nye algebraer af orden 2 ^e over F, der generaliserede Cayley - Dickson -algebraer." At tage F = ℝ og e = 1 svarer til algebraen i denne artikel.

I 1935 udviklede JC Vignaux og A. Durañona y Vedia split-kompleks geometrisk algebra og funktionsteori i fire artikler i Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , National University of La Plata , República Argentina (på spansk). Disse redegørelser og pædagogiske essays præsenterede emnet for bred anerkendelse.

I 1941 brugte EF Allen split-kompleks geometrisk aritmetik til at fastslå ni-punkts hyperbola af en trekant indskrevet i  zz ^∗ = 1 .

I 1956 udgav Mieczyslaw Warmus "Calculus of Approximations" i Bulletin de l'Académie polonaise des sciences (se link i referencer). Han udviklede to algebraiske systemer, som han hver især kaldte "omtrentlige tal", hvoraf det andet danner en reel algebra. DH Lehmer gennemgik artiklen i Mathematical Reviews og observerede, at dette andet system var isomorft i forhold til de "hyperboliske komplekse" tal, emnet for denne artikel.

I 1961 fortsatte Warmus sin fremstilling med henvisning til komponenterne i et omtrentligt tal som midtpunkt og radius af intervallet angivet.

Synonymer

Forskellige forfattere har brugt en lang række navne til split-komplekse tal. Nogle af disse inkluderer:

• ( rigtige ) tessarines , James Cockle (1848)
• ( algebraiske ) motorer , WK Clifford (1882)
• hyperbolske komplekse tal , JC Vignaux (1935)
• bireal numre , U. Bencivenga (1946)
• omtrentlige tal , Warmus (1956), til brug i intervalanalyse
• countercomplex eller hyperbolske numre fra Musean hypernumbers
• dobbelt tal , IM Yaglom (1968), Kantor og Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)
• anormalt komplekse tal , W. Benz (1973)
• forvirrede tal , P. Fjelstad (1986) og Poodiack & LeClair (2009)
• Lorentz -numre , FR Harvey (1990)
• hyperboliske tal , G. Sobczyk (1995)
• paracomplex -tal , Cruceanu, Fortuny & Gadea (1996)
• semi-komplekse tal , F. Antonuccio (1994)
• split binarions , K. McCrimmon (2004)
• split-komplekse tal , B. Rosenfeld (1997)
• rumtidstal , N. Borota (2000)
• Undersøgelse numre , P. Lounesto (2001)
• tokompleks tal , S. Olariu (2002)

Split-komplekse tal og deres højere-dimensionelle slægtninge ( split-quaternions / coquaternions og split-octonions ) blev til tider omtalt som "musiske tal", da de er en delmængde af hypernumre-programmet udviklet af Charles Musès .

Se også

• Minkowski plads
• Split-kvaternion
• Hyperkompleks nummer

Referencer

• Bencivenga, Uldrico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli , Ser (3) v.2 No7. MR 0021123 .
• Walter Benz (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren , Springer
• NA Borota, E. Flores og TJ Osler (2000) "Spacetime numbers the easy way", Matematik og computeruddannelse 34: 159–168.
• NA Borota og TJ Osler (2002) "Funktioner i en rumtidsvariabel", Matematik og computeruddannelse 36: 231–239.
• K. Carmody, (1988) "Cirkulære og hyperbolske kvaternioner, oktoner og sedenioner", Appl. Matematik. Beregn. 28: 47–72.
• K. Carmody, (1997) "Cirkulære og hyperbolske kvaternioner, oktoner og sedenioner - yderligere resultater", Appl. Matematik. Beregn. 84: 27–48.
• William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Works , AW Tucker -redaktør, side 392, "Yderligere bemærkninger om Biquaternions"
• V.Cruceanu, P. Fortuny & PM Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry , Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, link fra Project Euclid .
• De Boer, R. (1987) "An also known as list for perplex numbers", American Journal of Physics 55 (4): 296.
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers , Mathematics Magazine 77 (2): 118–29.
• F. Reese Harvey. Spinorer og kalibreringer. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN  0-12-329650-1 . Indeholder en beskrivelse af normerede algebraer i ubestemt signatur, herunder Lorentz -tallene.
• Hazewinkle, M. (1994) "Double and dual numbers", Encyclopaedia of Mathematics , Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
• Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , s. 66, 157, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 MR 2014924
• C. Musès, "Anvendte hypernumre: Beregningskoncepter", Appl. Matematik. Beregn. 3 (1977) 211–226.
• C. Musès, "Hypernumbers II — Yderligere begreber og beregningsapplikationer", Appl. Matematik. Beregn. 4 (1978) 45–66.
• Olariu, Silviu (2002) Komplekse tal i N-dimensioner , kapitel 1: Hyperboliske komplekse tal i to dimensioner, side 1–16, Nordhollands matematikstudier #190, Elsevier ISBN  0-444-51123-7 .
• Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) "Fundamental theorems of algebra for the perplexes", The College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
• Isaak Yaglom (1968) Komplekse tal i geometri , oversat af E. Primrose fra 1963 russisk original, Academic Press , s. 18–20.
• J. Rooney (2014). "Generaliserede komplekse tal i mekanik". I Marco Ceccarelli og Victor A. Glazunov (red.). Fremskridt inden for teori og praksis for robotter og manipulatorer: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM-symposium om teori og praksis med robotter og manipulatorer . Mekanismer og maskinvidenskab. 22 . Springer. s. 55–62. doi : 10.1007/978-3-319-07058-2_7 . ISBN 978-3-319-07058-2.