Split -kvaternion - Split-quaternion

Split-quaternion multiplikation

×	1	jeg	j	k
1	1	jeg	j	k
jeg	jeg	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	jeg	1

I abstrakt algebra danner split-quaternions eller coquaternions en algebraisk struktur introduceret af James Cockle i 1849 under sidstnævnte navn. De danner en associativ algebra af dimension fire over de reelle tal .

Efter introduktionen i det 20. århundrede af koordinatfrie definitioner af ringe og algebraer er det blevet bevist, at algebraet for split-kvaternioner er isomorf til ringen af de 2 × 2 reelle matricer . Så undersøgelsen af ​​split-quaternions kan reduceres til studiet af reelle matricer, og dette kan forklare, hvorfor der er få omtaler af split-quaternions i den matematiske litteratur i det 20. og 21. århundrede.

Definition

De split-quaternions er de lineære kombinationer (med reelle koefficienter) af fire basiselementer 1, i, j, k , der opfylder følgende produktregler:

i ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

Ved associativitet indebærer disse relationer

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

og også ijk = 1 .

Så split-quaternionerne danner et reelt vektorrum af dimension fire med {1, i, j, k} som grundlag . De danner også en ikke-kommutativ ring ved at udvide ovenstående produktregler ved at distribuere til alle split-quaternions.

Lad os overveje de firkantede matricer

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {1}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ qquad & {\ boldsymbol {i}} = {\ begin {pmatrix } 0 & 1 \\-1 & 0 \ end {pmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {j}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad & {\ boldsymbol {k}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}$

De opfylder den samme multiplikationstabel som de tilsvarende split-quaternions. Da disse matricer danner grundlag for de to med to matricer, inducerer funktionen, der kortlægger 1, i, j, k til (henholdsvis) en algebra-isomorfisme fra split-quaternions til de to af to rigtige matricer. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {1}}, {\ boldsymbol {i}}, {\ boldsymbol {j}}, {\ boldsymbol {k}}}$

Ovenstående multiplikationsregler indebærer, at de otte elementer 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k danner en gruppe under denne multiplikation, som er isomorf i forhold til dihedralgruppen D ₄ , symmetri -gruppen af ​​en firkantet . Faktisk, hvis man betragter en firkant, hvis hjørner er de punkter, hvis koordinater er 0 eller 1 , er matrixen rotation med uret i kvart omdrejning, symmetrien omkring den første diagonal og er symmetrien omkring x -aksen. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {i}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {j}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}}}$

Ejendomme

Ligesom de kvaternioner, der blev introduceret af Hamilton i 1843, danner de en fire -dimensionel reel associativ algebra . Men ligesom matricerne og i modsætning til quaternionerne indeholder split-quaternions ikke-private nuldelere , nilpotente elementer og idempotenter . (For eksempel, 1/2(1 + j) er en idempotent nul-divisor, og i-j er nilpotent.) Som en algebra over de reelle tal er algebraet for split-kvaternioner isomorf til algebraet for 2 × 2 reelle matricer ved den ovenfor definerede isomorfisme .

Denne isomorfisme gør det muligt at identificere hver split-quaternion med en 2 × 2 matrix. Så hver egenskab ved split-quaternions svarer til en lignende egenskab af matricer, som ofte hedder anderledes.

Den konjugat af en split-kvaternion q = w + x i + y j + z k , er q ^* = w - x i - y j - z k . Med hensyn til matricer er konjugatet cofaktormatrixen opnået ved at udveksle de diagonale poster og ændre tegn på de to andre poster.

Produktet af en split-quaternion med dets konjugat er den isotrope kvadratiske form :

${\ displaystyle N (q) = qq^{*} = w^{2}+x^{2} -y^{2} -z^{2},}$

som kaldes normen for split-quaternion eller determinanten for den tilhørende matrix.

Den reelle del af en split-quaternion q = w + x i + y j + z k er w = ( q ^∗ + q )/2 . Det er lig med sporet af tilhørende matrix.

Normen for et produkt to split-quaternions er produktet af deres normer. Tilsvarende er determinanten af ​​et produkt af matricer produktet af deres determinanter.

Det betyder, at split-quaternions og 2 × 2 matricer danner en sammensætningsalgebra . Da der er nul-split-quaternioner, der har en nul-norm, danner split-quaternions en "split-sammensætningsalgebra"-deraf deres navn.

En split-quaternion med en nul-norm har en multiplikativ invers , nemlig q ^∗ / N ( q ) . Med hensyn til matrix er dette Cramer -regel, der hævder, at en matrix er inverterbar, hvis og kun dens determinant er nul, og i dette tilfælde er inversen af ​​matrixen kvotienten af ​​cofaktormatrixen af ​​determinanten.

Isomorfismen mellem split-quaternions og 2 × 2 matricer viser, at den multiplikative gruppe split-quaternions med en nul-norm er isomorf med og gruppen af ​​split quaternions i norm 1 er isomorfe med${\ displaystyle \ operatorname {GL} (2, \ mathbb {R}),}$${\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {R}).}$

Repræsentation som komplekse matricer

Der er en repræsentation af split-quaternionerne som en samlet associativ subalgebra af 2 × 2 matricerne med komplekse poster. Denne repræsentation kan defineres af algebrahomomorfismen, der tilknytter en split-quaternion w + x i + y j + z k til matrixen

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} w+xi & y+zi \\ y-zi & w-xi \ end {pmatrix}}.}$

Her er i ( kursiv ) den imaginære enhed , som ikke må forveksles med den grundlæggende split quaternion i ( opretstående roman ).

Billedet af denne homomorfisme er matrixringen dannet af formens matricer

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u & v \\ v^{*} & u^{*} \ end {pmatrix}},}$

hvor overskriften angiver et komplekst konjugat . ${\ displaystyle ^{*}}$

Denne homomorfisme kortlægger henholdsvis split-quaternions i, j, k på matricerne

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & i \\-i & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Beviset for, at denne repræsentation er en algebrahomomorfisme er ligetil, men kræver nogle kedelige beregninger, som kan undgås ved at starte fra udtrykket af split-quaternions som 2 × 2 reelle matricer og bruge matrix-lighed . Lad S være matrixen

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Derefter anvendt på repræsentationen af ​​split-quaternions som 2 × 2 reelle matricer, ovenstående algebrahomomorfisme er matrixligheden.

${\ displaystyle M \ mapsto S^{-1} MS.}$

Det følger næsten umiddelbart, at konjugatet for en delt quaternion repræsenteret som en kompleks matrix er cofaktorernes matrix, og normen er determinanten.

Med repræsentationen af ​​delte kvaternioner som komplekse matricer. matricerne i kvaternioner af norm 1 er nøjagtigt elementerne i den særlige enhedsgruppe SU (1,1) . Dette bruges til i hyperbolsk geometri til beskrivelse af hyperbolske bevægelser i Poincaré -diskmodellen .

Generering fra split-komplekse tal

Kevin McCrimmon har vist, hvordan alle sammensætning algebraer kan konstrueres efter den måde, bekendtgjort af LE Dickson og Adrian Albert for divisionen algebraer C , H , og O . Faktisk præsenterer han multiplikationsreglen

${\ displaystyle (a, b) (c, d) \ = \ (ac+d^{*} b, \ da+bc^{*})}$

bruges til fremstilling af det dobbelte produkt i real-split-sagerne. Som før, det dobbelte konjugat, så ${\ displaystyle (a, b)^{*} = (a^{*},-b),}$

${\ displaystyle N (a, b) \ = \ (a, b) (a, b)^{*} \ = \ (aa^{*}-bb^{*}, 0).}$

Hvis a og b er split-komplekse tal og split-quaternion${\ displaystyle q = (a, b) = ((w+zj), (y+xj)),}$

derefter ${\ displaystyle N (q) = aa^{*}-bb^{*} = w^{2} -z^{2}-(y^{2} -x^{2}) = w^{2 }+x^{2} -y^{2} -z^{2}.}$

Stratificering

I dette afsnit undersøges og klassificeres subalgebras genereret af en enkelt split-quaternion.

Lad p = w + x i + y j + z k være en split-quaternion. Den virkelige del er w = 1/2( p + p ^* ) . Lad q = p - w =1/2( p - p ^* ) være dens ikke -virkelige del . Man har q ^* = - q , og derfor følger det, at det er et reelt tal, hvis og kun p enten er et reelt tal ( q = 0 og p = w ) eller en rent ikke -reel delt quaternion ( w = 0 og p = q ) . ${\ displaystyle p^{2} = w^{2}+2wq-N (q).}$${\ displaystyle p^{2}}$

Strukturen af ​​subalgebra genereret af p følger ligetil. Man har ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} [p] = \ mathbb {R} [q] = \ {a+bq \ mid a, b \ in \ mathbb {R} \},}$

og dette er en kommutativ algebra . Dens dimension er to, undtagen hvis p er reel (i dette tilfælde er subalgebra simpelthen ). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

De ikke -virkelige elementer, hvis firkant er ægte, har formen aq med${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}.}$

Tre sager skal overvejes, som er detaljeret i de næste underafsnit.

Nilpotent sag

Med ovenstående notation, hvis (det vil sige, hvis q er nilpotent ), så N ( q ) = 0 , det vil sige, Dette indebærer, at der findes w og t i sådan, at 0 ≤ t <2 π og ${\ displaystyle q^{2} = 0,}$${\ displaystyle x^{2} -y^{2} -z^{2} = 0.}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle p = w +a \ mathrm {i} +a \ cos (t) \ mathrm {j} +a \ sin (t) \ mathrm {k}.}$

Dette er en parametrering af alle split-quaternions, hvis ikke-virkelige del er nulpotent.

Dette er også en parameterisering af disse subalgebras efter punkterne i en cirkel: formens split-quaternions danner en cirkel ; en subalgebra genereret af et nilpotent element indeholder nøjagtigt et punkt i cirklen; og cirklen indeholder ikke noget andet punkt. ${\ displaystyle \ mathrm {i} +\ cos (t) \ mathrm {j} +\ sin (t) \ mathrm {k}}$

Algebraen, der genereres af et nilpotent element, er isomorf til og til rummet for de dobbelte tal . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]/\ langle X^{2} \ rangle}$

Nedbrydelig kasse

Dette er tilfældet, hvor N ( q )> 0 . Lad en have ${\ textstyle n = {\ sqrt {N (q)}},}$

${\ displaystyle q^{2} =-q^{*} q = N (q) = n^{2} = x^{2} -y^{2} -z^{2}.}$

Den følger det 1/n q tilhører hyperboloiden i to ligningsarkDerfor er der reelle tal n , t , u således, at 0 ≤ t <2 π og ${\ displaystyle x^{2} -y^{2} -z^{2} = 1.}$

${\ displaystyle p = w +n \ cosh (u) \ mathrm {i} +n \ sinh (u) \ cos (t) \ mathrm {j} +n \ sinh (u) \ sin (t) \ mathrm { k}.}$

Dette er en parametrering af alle split-quaternions, hvis ikke-virkelige del har en positiv norm.

Dette er også en parameterisering af de tilsvarende subalgebras ved parene af modsatte punkter i en hyperboloid af to ark: split-quaternions af formen danner en hyperboloid af to ark; en subalgebra genereret af en split-quaternion med en ikke-realistisk del af positiv norm indeholder præcis to modsatte punkter på denne hyperboloid, et på hvert ark; og hyperboloiden indeholder ikke noget andet punkt. ${\ displaystyle \ cosh (u) \ mathrm {i} +\ sinh (u) \ cos (t) \ mathrm {j} +\ sinh (u) \ sin (t) \ mathrm {k}}$

Algebraen, der genereres af en split-quaternion med en ikke-realistisk del af positiv norm, er isomorf til og til rummet for split-komplekse tal . Det er også isomorft (som en algebra) til ved kortlægningen defineret af ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]/\ langle X^{2} -1 \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ textstyle (1,0) \ mapsto {\ frac {1+X} {2}}, \ quad (0,1) \ mapsto {\ frac {1-X} {2}}.}$

Ukomponerbar sag

Dette er tilfældet, hvor N ( q ) <0 . Lad en have ${\ textstyle n = {\ sqrt {-N (q)}},}$

${\ displaystyle q^{2} =-q^{*} q = N (q) =-n^{2} = x^{2} -y^{2} -z^{2}.}$

Den følger det 1/n q tilhører hyperboloiden i et ligningsarkDerfor er der reelle tal n , t , u således, at 0 ≤ t <2 π og ${\ displaystyle y^{2}+z^{2} -x^{2} = 1.}$

${\ displaystyle p = w +n \ sinh (u) \ mathrm {i} +n \ cosh (u) \ cos (t) \ mathrm {j} +n \ cosh (u) \ sin (t) \ mathrm { k}.}$

Dette er en parametrering af alle split-quaternions, hvis ikke-virkelige del har en negativ norm.

Dette er også en parameterisering af de tilsvarende subalgebras ved parene af modsatte punkter i et hyperboloid af et ark: split-quaternions af formen danner en hyperboloid af et ark; en subalgebra genereret af en split-quaternion med en ikke-realistisk del af negativ norm indeholder præcis to modsatte punkter på denne hyperboloid; og hyperboloiden indeholder ikke noget andet punkt. ${\ displaystyle \ sinh (u) \ mathrm {i} +\ cosh (u) \ cos (t) \ mathrm {j} +\ cosh (u) \ sin (t) \ mathrm {k}}$

Algebraen, der genereres af en split-quaternion med en ikke-realistisk del af negativ norm, er isomorf til og til feltet af de komplekse tal. ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]/\ langle X^{2} +1 \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Stratificering efter normen

Som det ses ovenfor, danner de rent ikke-reelle split-kvaternioner af norm –1, 1 og 0 henholdsvis et hyperboloid af et ark, et hyporboloid af to ark og en cirkulær kegle i rummet af ikke-reelle kvaternioner.

Disse overflader er parvise asymptote og skærer ikke. Deres komplement består af seks forbundne regioner:

• de to regioner placeret på den konkave side af hyperboloidet af to ark, hvor ${\ displaystyle N (q)> 1}$
• de to regioner mellem hyperboloidet af to ark og keglen, hvor ${\ displaystyle 0 <N (q) <1}$
• området mellem keglen og hyperboloidet på et ark hvor ${\ displaystyle -1 <N (q) <0}$
• regionen uden for hyperboloid af et ark, hvor ${\ displaystyle N (q) <-1}$

Denne stratificering kan forfines ved at overveje split-quaternions af en fast norm: for hvert reelt tal n ≠ 0 danner de rent nonreal split-quaternions af norm n et hyperboloid. Alle disse hyperboloider er asymptote til ovenstående kegle, og ingen af ​​disse overflader skærer andre. Da sættet af de rent ikke-virkelige split-quaternions er den uensartede forening af disse overflader, giver dette den ønskede lagdeling.

Historiske noter

Coquaternionerne blev oprindeligt introduceret (under dette navn) i 1849 af James Cockle i London - Edinburgh - Dublin Philosophical Magazine . De indledende papirer af Cockle blev genkaldt i bibliografien fra Quaternion Society fra 1904 . Alexander Macfarlane kaldte strukturen af ​​split-quaternion-vektorer for et eksfærisk system, da han talte på den internationale matematikerkongres i Paris i 1900.

Enhedssfæren blev betragtet i 1910 af Hans Beck. For eksempel vises dihedralgruppen på side 419. Split-quaternion-strukturen er også blevet nævnt kort i Matalske Annaler .

Synonymer

• Para-quaternions (Ivanov og Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Manifolds med para-quaternionic strukturer studeres i differential geometri og strengteori . I den para-kvaternioniske litteratur erstattes k med −k.
• Eksfærisk system (Macfarlane 1900)
• Split-quaternions (Rosenfeld 1988)
• Antiquaternions (Rosenfeld 1988)
• Pseudoquaternions (Yaglom 1968 Rosenfeld 1988)

Se også

• Pauli matricer
• Split-biquaternions
• Split-oktoner
• Hyperkompleks tal
• Doble kvaternioner

Noter

Yderligere læsning

• Brody, Dorje C. og Eva-Maria Graefe . "Om kompleksiseret mekanik og coquaternions." Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian og paraquaternionic manifolds", Differential Geometry and its Applications 23 , s. 205–234, arXiv : math.DG/0310415 , MR 2158044 .
• Mohaupt, Thomas (2006), "Ny udvikling inden for særlig geometri", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) "The roots of a split quaternion", Applied Mathematics Letters 22: 258–63. [1]
• Özdemir, M. & AA Ergin (2006) "Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3-space", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36. [2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Nogle algebraiske og analytiske egenskaber ved coquaternion algebra , Advances in Applied Clifford Algebras .