Matrix ring - Matrix ring

I abstrakt algebra er en matrixring et sæt matricer med poster i en ring R, der danner en ring under matrixaddition og matrixmultiplikation ( Lam 1999 ). Sættet af alle n × n- matricer med poster i R er en matrixring betegnet M _n ( R ) (alternative notationer: Mat _n ( R ) og R ^{n × n} ). Nogle sæt uendelige matricer danner uendelige matrixringe . Enhver subring af en matrixring er en matrixring. Over en rng kan man danne matrix rngs.

Når R er en kommutativ ring, er matrixringen _Mn ( R ) en associativ algebra over R og kan kaldes en matrixalgebra . I denne indstilling, hvis M er en matrix og r er i R , så er matrixen rM matrixen M med hver af dens indgange ganget med r .

Eksempler

• Sættet med alle n × n- matricer over R , betegnet M _n ( R ). Dette kaldes undertiden "den fulde ring af n- by- n- matricer".
• Sættet af alle øverste trekantede matricer end R .
• Sættet af alle lavere trekantede matricer end R .
• Mængden af alle diagonale matricer flere end R . Denne subalgebra af M _n ( R ) er isomorf til direkte produkt af n kopier af R .
• For ethvert indeks-sæt I er ringen af ​​endomorfier af det rigtige R- modul isomorf til ringen af søjlebegrænsede matricer, hvis poster er indekseret af I × I, og hvis søjler hver kun indeholder endeligt mange ikke-nul-poster. Ringen af ​​endomorfismer af M betragtes som en venstre R- modul er isomorf til ringen af række endelige matricer . ${\ textstyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} R}$${\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (R)}$${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (R)}$
• Hvis R er en Banach-algebra , kan betingelsen for række- eller søjlefinitet i det foregående punkt lempes. Med normen på plads kan absolut konvergente serier bruges i stedet for begrænsede summer. For eksempel danner matricerne, hvis kolonnesummer er absolut konvergerende sekvenser, en ring. Analogt naturligvis danner matricerne, hvis rækkebeløb er absolut konvergerende serier, også en ring. Denne idé kan f.eks. Bruges til at repræsentere operatører på Hilbert-rum .
• Skæringspunktet mellem rækken finite og kolonne finite matrixringe danner en ring . ${\ displaystyle \ mathbb {RCFM} _ {I} (R)}$
• Hvis R er kommutativ , derefter M _n ( R ) har en struktur af en * -algebra løbet R , hvor involution * på M _n ( R ) er matrix gennemførelse .
• Hvis A er en C * -algebra , er M _n ( A ) en anden C * -algebra. Hvis A ikke er unital, er M _n ( A ) også ikke-unital. Ved Gelfand-Naimark-sætningen findes der et Hilbert-rum H og en isometrisk * -isomorfisme fra A til en normlukket subalgebra af algebra B ( H ) af kontinuerlige operatorer; dette identificerer M _n ( A ) med en subalgebra af B ( H ). For enkelheds skyld, hvis vi yderligere antager, at H kan adskilles, og A B ( H ) er en unital C * -algebra, kan vi bryde A op i en matrixring over en mindre C * -algebra. Man kan gøre det ved at rette en projektion p og dermed dens ortogonale projektion 1 -  p ; man kan identificere A med , hvor matrixmultiplikation fungerer som beregnet på grund af projektionernes ortogonalitet. For at identificere A med en matrixring over en C * -algebra kræver vi, at p og 1 -  p har samme ″ rang ″; mere præcist har vi brug for, at p og 1 -  p er Murray – von Neumann ækvivalente, dvs. der findes en delvis isometri u sådan at p = uu * og 1 -  p = u * u . Man kan let generalisere dette til matricer i større størrelser. ^{${\ displaystyle \ oplus n}$} ${\ displaystyle \ subseteq}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} pAp & pA (1-p) \\ (1-p) Ap & (1-p) A (1-p) \ end {pmatrix}}}$
• Komplekse matrixalgebraer _Mn ( C ) er op til isomorfisme den eneste endelige dimensionelle simple associerende algebraer over feltet C med komplekse tal . Før opfindelsen af ​​matrixalgebraer introducerede Hamilton i 1853 en ring, hvis elementer han kaldte biquaternions og moderne forfattere ville kalde tensorer i , som senere blev vist at være isomorf til M ₂ ( C ). En basis af M ₂ ( C ) består af de fire matrixenheder (matricer med en 1 og alle andre indlæsninger 0); et andet grundlag gives af identitetsmatricen og de tre Pauli-matricer . ${\ displaystyle \ mathbf {C} \ otimes _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {H}}$
• En matrixring over et felt er en Frobenius-algebra med Frobenius-form givet af spor af produktet: σ ( A , B ) = tr ( AB ) .

Struktur

• Matrixringen _Mn ( R ) kan identificeres med ringen af ​​endomorfier af den frie højre R- modul af rang n ; det vil sige M _n ( R ) ≅ Afslut _R ( R ⁿ ) . Matrixmultiplikation svarer til sammensætningen af ​​endomorfier.
• Ringen M _n ( D ) over en opdelingsring D er en artistisk simpel ring , en speciel type semisimple ring . Ringene og er ikke enkel og ikke Artinian hvis det sæt jeg er uendelig, men de er stadig fuld lineære ringe . ${\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (D)}$${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (D)}$
• Den Artin-Wedderburn teorem , at hver semisimple ring er isomorf til et endeligt direkte produkt , for nogle positivt heltal r , positive heltal n _jeg , og division ringe D _i . ${\ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ operatorname {M} _ {n_ {i}} (D_ {i})}$
• Når vi ser M _n ( C ) når ringen af lineære endomorphisms af C ⁿ , de matricer, der forsvinder på et givet underrum V danner en venstre ideal . Omvendt for et givet venstre ideal I af M _n ( C ) giver skæringspunktet mellem nullrum af alle matricer i I et underrum af C ⁿ . Under denne konstruktion er de venstre idealer for M _n ( C ) i sammenhæng med delområderne for C ⁿ .
• Der er en bijection mellem de tosidede idealer af M _n ( R ), og de tosidede idealer R . For hvert ideal I af R er nemlig sættet af alle n × n- matricer med poster i I et ideal for M _n ( R ), og hvert ideal for M _n ( R ) opstår på denne måde. Dette indebærer, at M _n ( R ) er enkel , hvis og kun hvis R er enkel. For n ≥ 2 , ikke hver venstre ideal eller højre ideal M _n ( R ) opstår ved den tidligere konstruktion fra en venstre ideal eller en ret ideal i R . For eksempel danner sættet af matricer, hvis kolonner med indeks 2 til n er nul, et venstreideal i M _n ( R ).
• Den tidligere ideal korrespondance faktisk skyldes, at ringene R og M _n ( R ) er Morita ækvivalent . Groft sagt betyder dette, at kategorien af ​​venstre R- moduler og kategorien af ​​venstre M _n ( R ) -moduler er meget ens. På grund af dette er der en naturlig bijektiv korrespondance mellem isomorfismeklasser af venstre R- moduler og venstre M _n ( R ) -moduler og mellem isomorfismeklasser af venstre idealer for R og venstre idealer for M _n ( R ). Identiske udsagn gælder for rigtige moduler og rigtige idealer. Gennem Morita-ækvivalens arver M _n ( R ) enhver Morita-invariant egenskab af R , såsom at være enkel , Artinian , Noetherian , prime .

Ejendomme

• Hvis S er en subring af R , er M _n ( S ) en subring af M _n ( R ). For eksempel er M _n ( Z ) en delring af M _n ( Q ).
• Matrixringen M _n ( R ) er kommutativ, hvis og kun hvis n = 0 , R = 0 eller R er kommutativ og n = 1 . Faktisk gælder dette også for subring af øvre trekantede matricer. Her er et eksempel, der viser to øvre trekantede 2 × 2- matricer, der ikke pendler, forudsat at 1 ≠ 0 :

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}}$

  og

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}.}$

• For n ≥ 2, matricen ring M _n ( R ) over en ikke-nul ring har nul divisors og nilpotente elementer ; det samme gælder for ringen af ​​øvre trekantede matricer. Et eksempel i 2 × 2 matricer ville være

  ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}.}$

• Den centrum af M _n ( R ) består af de skalære multipla af identitet matrix , hvor skalar hører til centrum af R .
• Den enhed gruppe af M _n ( R ), som består af de invertible matricer under multiplikation, betegnes GL _n ( R ).
• Hvis F er et felt, betyder ligestillingen AB = 1 for en hvilken som helst to matricer A og B i M _n ( F ) BA = 1 . Dette er ikke tilfældet for alle ring R selv. En ring R, hvis matrixringe alle har den nævnte egenskab, er kendt som en stabilt endelig ring ( Lam 1999 , s. 5).

Matrix semiring

Faktisk skal R kun være en semiring for at M _n ( R ) skal defineres. I dette tilfælde er M _n ( R ) en semiring, kaldet matrix semiring . Tilsvarende, hvis R er en kommutativ semiring, derefter M _n ( R ) er en matrix semialgebra .

For eksempel, hvis R er den boolske semiring (den to-elementære boolske algebra R  = {0,1} med 1 + 1 = 1), så er M _n ( R ) semiring af binære relationer på et n- element sæt med union som addition, sammensætning af relationer som multiplikation, den tomme relation ( nul matrix ) som nul og identitetsrelationen ( identitetsmatrix ) som enheden.

Se også

• Central simpel algebra
• Clifford algebra
• Hurwitz's sætning (normeret opdeling algebras)
• Generisk matrixring
• Sylvesters inertilov

Referencer