En-parametergruppe - One-parameter group

I matematik , en én-parametergruppe eller en parameterundergruppe betyder normalt en kontinuerlig gruppehomomorfi

{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ højre G G}

fra den rigtige linje (som en additiv gruppe ) til en anden topologisk gruppe . Hvis er injektiv derefter , billedet, vil være en undergruppe af det er isomorf til som additiv gruppe. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

En-parametergrupper blev introduceret af Sophus Lie i 1893 for at definere infinitesimale transformationer . Ifølge Lie er en uendelig minimal transformation en uendelig lille transformation af gruppen med en parameter, som den genererer. Det er disse uendelige transformationer, der genererer en løgnalgebra , der bruges til at beskrive en løgne-gruppe af enhver dimension.

Den handling af en en-parametergruppe på et sæt er kendt som en flow .

eksempler

Sådanne en-parametergrupper er af grundlæggende betydning i teorien om Lie-grupper , for hvilke hvert element i den tilknyttede Lie-algebra definerer en sådan homomorfisme, det eksponentielle kort . I tilfælde af matrixgrupper gives den af matrixeksponentiel .

En anden vigtig sag ses i funktionel analyse , idet den er gruppen af enhedsoperatører på et Hilbert-rum . Se Stens teorem om enhedsgrupper med en parameter . ${\ displaystyle G}$

I sin 1957 monografi Lie grupper , PM Cohn afsagt følgende sætning på side 58:

Enhver tilsluttet 1-dimensionel Lie-gruppe er analytisk isomorf enten til den additive gruppe af reelle tal eller til den additive gruppe af reelle tal . Især er hver 1-dimensionelle Lie-gruppe lokalt isomorf for .

{\ displaystyle {\ mathfrak {R}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}

{\ displaystyle \ mod 1}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Fysik

I fysik beskriver enparametergrupper dynamiske systemer . Desuden, når et system af fysiske love indrømmer en gruppe af parametre med differentierbare symmetrier , så er der en bevaret mængde ved Noethers teorem .

I studiet af rumtid er brugen af enhedshyperbola til kalibrering af rumlig-tidsmæssige målinger blevet almindelig, siden Hermann Minkowski diskuterede det i 1908. Relativitetsprincippet blev reduceret til vilkårlighed, hvilken diameter af enhedshyperbola blev brugt til at bestemme en verden- linje . Ved hjælp af parametriseringen af hyperbola med hyperbolisk vinkel gav teorien om særlig relativitet en beregning af relativ bevægelse med en-parametergruppen indekseret af hurtighed . Den hurtighed erstatter hastighed i kinematik og dynamik relativitetsteorien. Da hurtighed er ubegrænset, er den ene parametergruppe, den står på, ikke-kompakt. Hurtighedskonceptet blev introduceret af ET Whittaker i 1910 og navngivet af Alfred Robb næste år. Hastighedsparameteren udgør længden af en hyperbolisk versor , et begreb fra det 19. århundrede. Matematiske fysikere James Cockle , William Kingdon Clifford og Alexander Macfarlane havde alle anvendt i deres skrifter en ækvivalent kortlægning af det kartesiske plan af operatøren , hvor er den hyperboliske vinkel og . ${\ displaystyle (\ cosh {a} + r \ sinh {a})}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle r ^ {2} = + 1}$

I GL (n, ℂ)

Et vigtigt eksempel i teorien om Lie-grupper opstår, når det antages at være gruppen af invertible matrixer med komplekse poster. I dette tilfælde er et grundlæggende resultat følgende: ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n; \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle n \ times n}$

Teorem : Antag, at det er en en-parametergruppe. Så findes der en unik matrix sådan

{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ højre pil \ mathrm {GL} (n; \ mathbb {C})}

{\ displaystyle n \ times n}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ varphi (t) = e ^ {tX}}

for alle .

{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

Det følger af dette resultat, der kan differentieres, selvom dette ikke var en antagelse af teoremet. Matrixen kan derefter gendannes fra som ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle X = \ venstre. {\ frac {d \ varphi (t)} {dt}} \ højre | _ {t = 0}}

.

Dette resultat kan fx bruges til at vise, at enhver kontinuerlig homomorfisme mellem matrix Lie-grupper er glat.

Topologi

En teknisk komplikation er, at som et underrum af kan bære en topologi, der er grovere end på ; dette kan ske i tilfælde, hvor der er injektionsmiddel. Tænk for eksempel på det tilfælde, hvor der er en torus , og er konstrueret ved at vikle en lige linje rundt i en irrationel hældning. ${\ displaystyle \ varphi (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle T}$

I dette tilfælde er den inducerede topologi muligvis ikke den standard i den rigtige linje.

Se også

Referencer

Hall, Brian C. (2015), Liegrupper, Lie Algebras og repræsentationer: En elementær introduktion , kandidattekster i matematik, 222 (2. udg.), Springer, ISBN 978-3319134666.

Languages

In other projects