Dodekaeder - Dodecahedron
| Jeg h , ordre 120 | |||
|---|---|---|---|
| Fast- | Lille stjerne- | Store- | Stor stjerne- |
|
|
|
|
| T h , ordre 24 | T, bestilling 12 | O h , ordre 48 | Johnson (J 84 ) |
| Pyritoeder | Tetartoid | Rhombic- | Trekantet- |
|
|
|
|
| D 4h , ordre 16 | D 3h , bestilling 12 | ||
| Rhombo-sekskantet- | Rhombo-firkantet- | Trapezo-rhombic- | Rhombo-trekantet- |
|
|
|
|
I geometri er en dodecahedron (græsk δωδεκάεδρον , fra δώδεκα dōdeka "tolv" + ἕδρα hédra "base", "sæde" eller "ansigt") eller duodecahedron ethvert polyhedron med tolv flade flader. Den mest kendte dodekaeder er den almindelige dodekaeder med regelmæssige femkanter som ansigter, hvilket er et platonisk fast stof . Der er også tre almindelige stjernedodecahedra , som er konstrueret som stellationer af den konvekse form. Alle disse har icosahedral symmetri , rækkefølge 120.
Nogle dodecahedra har den samme kombinatoriske struktur som den almindelige dodecahedron (med hensyn til grafen dannet af dens hjørner og kanter), men deres femkantede flader er ikke regelmæssige: Pyritoederet , en almindelig krystalform i pyrit , har pyritohedral symmetri , mens tetartoid har tetraedral symmetri .
Den rhombiske dodekaeder kan ses som et begrænsende tilfælde af pyritohedronet, og den har oktaedrisk symmetri . Den aflange dodecahedron og trapezo-rhombic dodecahedron variationer, sammen med den rhombic dodecahedra, er rumfyldende . Der er mange andre dodecahedra .
Mens den almindelige dodecahedron deler mange funktioner med andre platoniske faste stoffer, er den enestående egenskab ved, at man kan starte ved et hjørne af overfladen og tegne et uendeligt antal lige linjer på tværs af figuren, der vender tilbage til det oprindelige punkt uden at krydse andre hjørne.
Regelmæssig dodecahedra
Den konvekse regelmæssige dodecahedron er en af de fem regelmæssige platoniske faste stoffer og kan repræsenteres ved dens Schläfli -symbol {5, 3}.
Det dobbelte polyeder er den almindelige icosahedron {3, 5}, der har fem ligesidede trekanter omkring hvert toppunkt.
|
Konveks almindelig dodekaeder |
Lille stjernet dodekaeder |
Stor dodekaeder |
Stor stjernet dodekaeder |
Den konvekse almindelige dodecahedron har også tre stellationer , som alle er almindelige star dodecahedra. De danner tre af de fire Kepler -Poinsot -polyeder . De er den lille stjernede dodecahedron {5/2, 5}, den store dodecahedron {5, 5/2} og den store stellated dodecahedron {5/2, 3}. Den lille stjernede dodekaeder og den store dodekaeder er dobbelt i forhold til hinanden; den store stjernede dodecahedron er dobbelt i forhold til den store icosahedron {3, 5/2}. Alle disse almindelige stjernedodecahedra har regelmæssige femkantede eller pentagrammiske ansigter. Den konvekse regelmæssige dodecahedron og stor stellated dodecahedron er forskellige erkendelser af den samme abstrakte regulære polyhedron ; den lille stjernede dodecahedron og store dodecahedron er forskellige erkendelser af en anden abstrakt regulær polyhedron.
Anden femkantet dodecahedra
I krystallografi kan to vigtige dodecahedra forekomme som krystalformer i nogle symmetri klasser i det kubiske krystal system, der er topologisk ækvivalente med den almindelige dodecahedron, men mindre symmetriske: pyritoederet med pyritohedral symmetri og tetartoidet med tetrahedral symmetri :
Pyritoeder
| Pyritoeder | |
|---|---|
 (Se her for en roterende model.) |
|
| Ansigtspolygon | uregelmæssig femkant |
| Coxeter diagrammer |
   
|
| Ansigter | 12 |
| Kanter | 30 (6 + 24) |
| Hjørner | 20 (8 + 12) |
| Symmetri gruppe | T h , [4,3 + ], (3*2), rækkefølge 24 |
| Rotationsgruppe | T , [3,3] + , (332), rækkefølge 12 |
| Dobbelt polyeder | Pseudoicosahedron |
| Ejendomme | ansigtets transitive |
Net
|
|
Et pyritoeder er en dodekaeder med pyritohedral (T h ) symmetri. Ligesom den almindelige dodekaeder har den tolv identiske femkantede flader, hvor tre mødes i hver af de 20 hjørner (se figur). Pentagoner er imidlertid ikke begrænset til at være regelmæssige, og det underliggende atomarrangement har ingen ægte femdoblet symmetriakse. Dens 30 kanter er opdelt i to sæt - indeholdende 24 og 6 kanter af samme længde. De eneste akser med rotationssymmetri er tre indbyrdes vinkelrette tofoldede akser og fire tredobbelte akser.
Selvom der ikke findes almindelige dodecahedra i krystaller, forekommer pyritoederformen i krystallerne i mineralet pyrit , og det kan være en inspiration til opdagelsen af den regelmæssige platoniske faste form. Den sande regelmæssige dodecahedron kan forekomme som en form for kvasikrystaller (såsom holmium – magnesium – zink quasicrystal ) med icosahedral symmetri , som omfatter ægte femdoblet rotationsakser.
_-Krantz_375-_(2),_crop.jpg)
Krystalpyrit
Navnet krystalpyrit stammer fra en af de to almindelige krystalvaner vist af pyrit (den anden er terningen ). I pyritohedral pyrit har fladerne et Miller -indeks på (210), hvilket betyder, at dihedralvinklen er 2 · arctan (2) ≈ 126,87 °, og hver femkantet flade har en vinkel på cirka 121,6 ° mellem to vinkler på cirka 106,6 ° og modsat to vinkler på cirka 102,6 °. De følgende formler viser målingerne for overfladen af en perfekt krystal (som sjældent findes i naturen).
|
Naturlig pyrit (med ansigtsvinkler til højre) |
Kartesiske koordinater
De otte hjørner af en terning har koordinaterne (± 1, ± 1, ± 1).
Koordinaterne for de 12 ekstra hjørner er ( 0, ± (1 + h ), ± (1 - h 2 ) ) , ( ± (1 + h ), ± (1 - h 2 ), 0 ) og ( ± (1 - h 2 ), 0, ± (1 + h ) ) .
h er højden af det kileformede "tag" over kubens flader med kantlængde 2.
En vigtig sag er h =1/2(en fjerdedel af terningens kantlængde) til perfekt naturlig pyrit (også pyritohedronet i Weaire – Phelan -strukturen ).
En anden er h =1/φ= 0,618 ... for den almindelige dodekaeder . Se afsnit Geometrisk frihed for andre sager.
To pyritoeder med udvekslede ikke -nul -koordinater er i to positioner til hinanden som dodecahedra i forbindelsen af to dodecahedra .
|
Ortografiske fremskrivninger af pyritoederet med h = 1/2 |
Højder 1/2 og 1/ φ
|
| Animationer | |
|---|---|
|
|
| Bikage af vekslende konvekse og konkave pyritoeder med højder mellem ±1/φ | Højder mellem 0 (terning) og 1 (rhombisk dodekaeder) |
Geometrisk frihed
Pyritohedronet har en geometrisk frihedsgrad med begrænsende tilfælde af et kubisk konveks skrog ved den ene grænse af kollinære kanter, og en rhombisk dodecahedron som den anden grænse, da 6 kanter degenereres til længde nul. Den almindelige dodecahedron repræsenterer en særlig mellemkasse, hvor alle kanter og vinkler er ens.
Det er muligt at gå forbi disse begrænsende tilfælde og skabe konkave eller ikke -konvekse pyritoeder. Den endo-dodecahedron er konkav og ligesidet; det kan tessellere rummet med den konvekse almindelige dodekaeder. Fortsætter vi derfra i den retning, passerer vi gennem et degenereret tilfælde, hvor tolv hjørner falder sammen i midten, og videre til den almindelige store stellerede dodecahedron, hvor alle kanter og vinkler er lige igen, og ansigterne er blevet forvrænget til regelmæssige pentagrammer . På den anden side, forbi den rhombiske dodecahedron, får vi en ikke-konveks ligesidet dodecahedron med fiskformede selvskærende ligesidet femkantede ansigter.
| Særlige tilfælde af pyritohedronet | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Versioner med lige absolutte værdier og modstående tegn danner en bikage sammen. (Sammenlign denne animation .) Det viste forhold er forholdet mellem kantlængder, nemlig dem i et sæt på 24 (rørende terningskanter) til dem i et sæt på 6 (svarende til terningflader). |
|||||||
| Forhold | 1: 1 | 0: 1 | 1: 1 | 2: 1 | 1: 1 | 0: 1 | 1: 1 |
| h | -√ 5 + 1/2 | −1 | - √ 5 + 1/2 | 0 | √ 5 - 1/2 | 1 | √ 5 + 1/2 |
| −1.618 ... | −0.618 ... | 0.618 ... | 1.618 ... | ||||
| Billede |
Regelmæssig stjerne, stor stellated dodekaeder , med regelmæssige pentagram ansigter |
 Degenererer, 12 hjørner i midten |
 Den konkave ligesidede dodecahedron, kaldet en endo-dodecahedron . |
 En terning kan opdeles i et pyritoeder ved at halvere alle kanterne og ansigterne i skiftevis retning. |
En almindelig dodekaeder er en mellemkasse med lige kantlængder. |
En rhombisk dodekaeder er et degenereret tilfælde med de 6 krydsninger reduceret til nul længde. |
 Selvkrydsende ligesidede dodekaeder |
Tetartoid
| Tetartoid Tetragonal femkantet dodecahedron |
|
|---|---|
 (Se her for en roterende model.) |
|
| Ansigtspolygon | uregelmæssig femkant |
| Conway -notation | gT |
| Ansigter | 12 |
| Kanter | 30 (6+12+12) |
| Hjørner | 20 (4+4+12) |
| Symmetri gruppe | T , [3,3] + , (332), rækkefølge 12 |
| Ejendomme | konveks , ansigtstransitiv |
En tetartoid (også tetragonal femkantet dodecahedron , pentagon-tritetrahedron og tetrahedric pentagon dodecahedron ) er en dodecahedron med kiral tetrahedral symmetri (T). Ligesom den almindelige dodekaeder har den tolv identiske femkantede flader, hvor tre mødes i hver af de 20 hjørner. Imidlertid er femkanterne ikke regelmæssige, og figuren har ingen femfoldige symmetriakser.
Selvom der ikke findes almindelige dodecahedra i krystaller, gør tetartoidformen det. Navnet tetartoid kommer fra den græske rod for en fjerdedel, fordi det har en fjerdedel af fuld oktaedrisk symmetri og halvdelen af pyritohedral symmetri. Mineralet koboltit kan have denne symmetriform.
Abstraktioner, der deler faststoffets topologi og symmetri, kan oprettes fra terningen og tetraederet. I terningen skæres hver flade af en skrå kant. I tetraederet er hver kant trisektioneret, og hver af de nye hjørner er forbundet med et ansigtscenter. (I Conway polyhedron -notation er dette en gyrotetraeder.)
|
Ortografiske fremskrivninger fra 2- og 3-foldede akser |
Kubisk og tetraedral form |
| Forholdet til dyakis dodecahedron | ||
|---|---|---|
|
Et tetartoid kan skabes ved at forstørre 12 af de 24 ansigter på en dyakis dodecahedron . (Tetartoidet vist her er baseret på et, der selv er skabt ved at forstørre 24 af de 48 ansigter på disdyakis dodecahedron .)
Den krystal model til højre viser en tetartoid skabt ved at forstørre de blå flader af dyakis dodecahedral kerne. Derfor er kanterne mellem de blå flader dækket af de røde skeletkanter. |
.png)
.png)
.jpg)
Kartesiske koordinater
Følgende punkter er hjørner af en tetartoid femkant under tetraedrisk symmetri :
- ( a , b , c ); ( - a , - b , c ); ( -n/d 1, -n/d 1, n/d 1); ( - c , - a , b ); ( -n/d 2, n/d 2, n/d 2),
under følgende betingelser:
- 0 ≤ a ≤ b ≤ c ,
- n = a 2 c - bc 2 ,
- d 1 = a 2 - ab + b 2 + ac - 2 bc ,
- d 2 = a 2 + ab + b 2 - ac - 2 bc ,
- nd 1 d 2 ≠ 0 .
Geometrisk frihed
Den almindelige dodecahedron er en tetartoid med mere end den nødvendige symmetri. Den Triakis tetrahedron er en degenereret tilfælde med 12 nul-længde kanter. (Med hensyn til farverne ovenfor betyder det, at de hvide hjørner og grønne kanter absorberes af de grønne hjørner.)
| Tetartoid variationer fra almindelig dodekaeder til triakis tetraeder | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dobbelt af trekantet gyrobianticupola
En lavere symmetriform af den almindelige dodecahedron kan konstrueres som dual af et polyeder konstrueret af to trekantede anticupola forbundet base-til-base, kaldet en trekantet gyrobianticupola. Den har D 3d symmetri, rækkefølge 12. Den har 2 sæt med 3 identiske femkanter på toppen og bunden, der er forbundet 6 femkanter omkring siderne, som skifter opad og nedad. Denne formular har et sekskantet tværsnit, og identiske kopier kan forbindes som en delvis sekskantet bikage, men alle hjørner passer ikke.
Rhombisk dodekaeder
Den rhombiske dodecahedron er et zonohedron med tolv rhombiske ansigter og oktaedrisk symmetri. Det er dobbelt til det kvasiregulære cuboctahedron (et arkimedisk fast stof ) og forekommer i naturen som en krystalform. Den rhombiske dodecahedron pakker sammen for at fylde rummet.
Den rhombiske dodecahedron kan ses som en degenereret pyritoeder, hvor de 6 særlige kanter er reduceret til nul længde, hvilket reducerer femkanterne til rhombiske flader.
Den rhombiske dodecahedron har flere stellationer , hvoraf den første også er en parallelohedral rumfiller .
En anden vigtig rhombisk dodecahedron, Bilinski dodecahedron , har tolv ansigter, der er kongruente med rhombic triacontahedrons , dvs. diagonalerne er i forholdet mellem det gyldne snit . Det er også et zonohedron og blev beskrevet af Bilinski i 1960. Denne figur er en anden rumfiller, og kan også forekomme i ikke-periodiske rumfyldninger sammen med den rhombiske triacontahedron, den rhombiske icosahedron og rhombiske hexahedra.
Anden dodecahedra
Der er 6.384.634 topologisk forskellige konvekse dodecahedra, eksklusive spejlbilleder - antallet af hjørner varierer fra 8 til 20. (To polyeder er "topologisk forskellige", hvis de har iboende forskellige arrangementer af ansigter og hjørner, så det er umuligt at forvrænge en til den anden ved blot at ændre kanternes længder eller vinklerne mellem kanter eller flader.)
Topologisk adskilt dodecahedra (undtagen femkantede og rhombiske former)
- Ensartet polyeder:
- Dekagonalt prisme - 10 firkanter, 2 decagoner, D 10h symmetri, rækkefølge 40.
- Femkantet antiprisme - 10 ligesidede trekanter, 2 femkanter, D 5d symmetri, rækkefølge 20
-
Johnson faststoffer (regelmæssig):
- Femkantet kuppel - 5 trekanter, 5 firkanter, 1 femkant, 1 firkant, C 5v symmetri, rækkefølge 10
- Snub disphenoid - 12 trekanter, D 2d , rækkefølge 8
- Langstrakt firkantet dipyramid - 8 trekanter og 4 firkanter, D 4h symmetri, rækkefølge 16
- Metabidimineret icosahedron - 10 trekanter og 2 femkanter, C 2v symmetri, ordre 4
- Kongruent uregelmæssig ansigt: ( ansigtstransitiv )
- Sekskantet bipyramid - 12 ensartede trekanter , dobbelte af sekskantet prisme , D 6h symmetri, rækkefølge 24
- Sekskantet trapezohedron - 12 drager , dobbelt med sekskantet antiprisme , D 6d symmetri, ordre 24
- Triakis tetraeder - 12 ensartede trekanter, dobbelt af afkortet tetraeder , T d symmetri, rækkefølge 24
- Andre mindre regelmæssige ansigter:
- Hendecagonal pyramide - 11 ensartede trekanter og 1 almindelig hendecagon , C 11v , ordre 11
- Trapezo-rhombisk dodecahedron -6 rhombi, 6 trapezoider -dual af trekantet orthobicupola , D 3h symmetri, rækkefølge 12
- Rhombo-sekskantet dodecahedron eller langstrakt Dodecahedron -8 romber og 4 ligesidede sekskanter , D 4h symmetri, rækkefølge 16
- Afkortet femkantet trapezohedron , D 5d , rækkefølge 20, topologisk ækvivalent med almindelig dodekaeder
Praktisk brug
Armand Spitz brugte en dodecahedron som "globus" ækvivalent til sin Digital Dome planetarium projektor . baseret på et forslag fra Albert Einstein .
Se også
- 120-celle -En almindelig polychoron (4D polytop), hvis overflade består af 120 dodecahedral-celler.
- Braarudosphaera bigelowii - A dodekahedron formet kalkflagellat (en encellet fytoplankton alger ).
- Pentakis dodecahedron
- Romersk dodekaeder
- Snub dodecahedron
- Afkortet dodekaeder
Referencer
eksterne links
- Platons fjerde fast stof og "Pyritohedron" , af Paul Stephenson, 1993, The Mathematical Gazette, bind. 77, nr. 479 (jul. 1993), s. 220–226 [1]
- Stellering af Pyritohedron VRML -modeller og animationer af Pyritohedron og dets stellationer
- Klitzing, Richard. "3D konveks ensartet polyeder o3o5x - doe" .
- Redigerbart printbart net af en dodekaeder med interaktiv 3D -visning
- Den ensartede polyeder
- Origami Polyhedra - Modeller lavet med modulær origami
- Virtual Reality Polyhedra Encyclopedia of Polyhedra
- KJM MacLean, en geometrisk analyse af de fem platoniske faste stoffer og andre halvregelmæssige polyeder
- Dodecahedron 3D -visualisering
- Stella: Polyhedron Navigator : Software, der bruges til at oprette nogle af billederne på denne side.
- Sådan laver du en dodekaeder fra en isopor -terning
- Romerske dodekaeder: Mystiske objekter, der er fundet på tværs af Romerrigets område
